具有复合泊松损失和随机利率的巨灾期权定价

焦琳致 包振华

摘 要 分析了带有复合泊松损失过程和随机利率的巨灾看跌期权的定价问题.资产价格通过跳扩散过程刻画，该过程与损失过程相关.当利率过程服从CIR模型时，获得了期权定价的显式解，并给出相关证明.通过一个实例，讨论了资产价格与期权价格的关系.

关键词 金融数学;巨灾期权;CIR利率模型;复合泊松过程

中图分类号 O211.67           文獻标识码 A

Abstract The pricing of catastrophe put option is analyzed by compound poisson loss process and stochastic interest rate. Asset prices are characterized by a jump diffusion process， which is related to the loss process. When the interest rate process obeys the CIR model， the explicit solution of option pricing is obtained and the relevant proof is given. Through an example， the relationship between asset price and option price is discussed.

Key words financial mathematics; catastrophe option ; CIR interest rate model; compound Poisson

1 引 言

近年来，世界范围内灾难频发，因此巨灾衍生品越来越成为人类关注的焦点.Cox和Pedersen（2000） [1]研究了巨灾债券的定价，讨论了均衡定价原理以及其与标准无套利估值框架的关系.Dassios和Jang（2003） [2]使用Cox过程（也称双随机泊松过程）来模拟巨灾事件的索赔到达过程，研究了止损巨灾再保险合同和巨灾保险衍生品的定价问题.Jaimungal和Wang（2006） [3]构建了一个巨灾期权定价模型，其中损失过程为复合泊松过程，利率为Vasicek模型，给出了期权的具体定价公式并研究了动态对冲问题.Wang（2016） [4]构建了一个有违约风险的巨灾看跌期权定价模型，损失过程假设为复合重随机泊松过程，给出了期权的具体定价公式并应用一些实例进行模拟.Xu和Wang（2018） [5]构建了一个在信用风险下的巨灾期权定价模型，给出了期权的具体定价公式.在文献[3]的基础上，假设利率服从Cox-Ingersoll-Ross模型（CIR模型），给出了巨灾期权的定价公式.

2 模型结构

5 结 论

通过引入随机利率和随机索赔规模使得欧式看跌期权定价更具有现实意义，通过跳跃扩散模型的框架，阐述了巨灾损失以及相关的资产、利率动态，是如何影响期权价格的.并且通过使用标的资产T远期价格的方法，成功地得到了关于CIR利率模型的欧式看跌期权定价的封闭公式.最后，通过数值实验，证明了定价公式的可操作性.

参考文献

[1] COX S H， PEDERSEN H W. Catastrophe risk bonds[J]. North American Actuarial Journal， 2000， 4（4）：56-82.

[2] DASSIOS A， JANG J W. Pricing of catastrophe reinsurance and derivatives using the Cox process with shot noise intensity[J]. Finance & Stochastics， 2003， 7（1）：73-95.

[3] JAIMUNGAL S， WANG T. Catastrophe options with stochastic interest rates and compound Poisson losses[J]. Insurance： Mathematics and Economics，2006，38（3）：469-483.

[4] WANG X. The pricing of catastrophe equity put option with default risk[J]. International Review of Finance，2016，16（2）：181-201.

[5] XU Y， WANG G J. Pricing catastrophe options with counterparty credit risk in a reduced from model[J]. Acta Mathematica Scientia，2018，38B（1）：347-360.

[6] BRIGO D， MERCURIO F. Interest rate models——theory and practice[M].Berlin： Springer， 2006.

[7] SHREVE S E. Stochastic calculus for finance II[M].北京： 世界图书出版公司， 2007.