永磁同步电机滑模观测法转子位置检测

包广清，王 涛

(1.兰州理工大学 电气工程与信息工程学院，兰州 730050；2.兰州理工大学 甘肃省工业工程先进控制重点实验室，兰州 730050)

0 引 言

近年来,永磁同步电机(以下简称PMSM)因体积小、噪声低、质量轻、运行可靠等优点[1]，在人们的日常生活及其国家的工农业等方面都得到了广泛的使用。为了更好地控制电机，需要知道电机转子准确的位置和转速。最初获取转子位置的方法主要是通过安装机械转子位置传感器[2]，如霍尔传感器、磁阻传感器、电涡流式传感器等，但是这些设备的安装增加了系统的成本，提高了对工作环境的要求，电机整体设备也变得非常复杂，最终导致电机的可靠性降低[3]。因此，无速度传感器方法开始受到大量学者的关注与研究。

目前，PMSM无传感器检测法主要有两种：一种是外加激励信号的方法[4]，即根据电机的凸极效应，给电机绕组中通入激励信号，通过分析其响应信号提取转子位置，该方法比较适用于电机起动及低速运转时转子及转速的提取，如脉振高频信号注入法[5]；另一种是不外加激励信号的方法，即直接根据电机反电动势提取包含转子位置的信号，这种方法适用于电机高速工作情况。不外加激励信号的方法一般有状态观测器法[6]、基于磁链的估计方法[7]、模型参考自适应方法[8]、扩展卡尔曼滤波器(Extended Kalman Filter, EKF)[9]、模糊控制[10]、滑模变结构控制[11]等。状态观测器法需要获得系统的全部状态信息，但是系统的状态变量不一定都能直接测量到，即使有些变量可测,所需的传感器价格也较高，增加了系统的成本与复杂性[12]。模型参考自适应法对控制系统中电机的参数依赖性非常高。模糊控制是对检测到的信息进行模糊处理，这个过程会降低系统的控制精度，并且控制器的设计尚缺乏系统性[13]。滑模变结构通过不停地改变控制器的结构来实现系统的不间断控制，这种方法受到系统参数和外界干扰的影响较小，最后测量得到的结果误差也比较小。但是传统的滑模变结构观测法所使用的开关函数和低通滤波器会产生抖振大、电机中大量谐波无法消除等问题，系统测量得到的转子位置准确性大大降低。

针对以上提到的传统滑模观测器中的两种问题，前人提出对系统的开关转换函数进行优化，使系统的开关函数趋近平滑，从而削弱抖振。本文在传统滑模变结构观测法检测转子位置信息的基础上，引入卡尔曼滤波器，利用其滤波能力的同时去逼近未知模型参数，适当扩大解空间的搜索范围，避免了不必要的系统误差，可以滤除系统中的大量谐波。两种方法都能相应地减弱抖振，达到优化传统滑模观测器的目的。最后通过仿真建模，来对比PMSM在优化前后对电机转子位置检测的不同结果。

1 电机数学模型

图1 各坐标系关系

PMSM在两相静止坐标系即α，β坐标系中的数学模型：

(1)

反电动势在两相静止坐标系下的数学模型：

(2)

式中：iα与iβ分别是定子电流在静止坐标系α，β轴中的分量；Uα与Uβ分别是定子电压在静止坐标系α，β轴中的分量；eα与eβ分别是反电动势在静止坐标系α，β轴中的分量；R为定子电阻；ψf为转子磁链；ωr为转子角速度；L为定子电感；θ为转子位置角。

(3)

(4)

传统的滑模观测器机构图如图2所示。

图2 传统滑模观测器结构图

2 传统滑模观测器滑模面改进措施

非线性的滑模变结构控制在1950年左右被提出,其突出特点是对控制的不连续性，即对控制系统的结构不固定。并且在系统的状态改变时，非线性滑模控制的运动状态可根据系统的变化做出相应调整，不受系统状态变化的影响，可以很好地解决非线性系统问题。

如图3所示，设s(x)为一个切换面。

图3 切换面上三种不同的点

(5)

(1) A类：系统从远离曲面开始出发，运动到滑模面附近，然后穿过滑模面最后远离滑模面，称为普通点；

(2) B类：系统运动到滑模面附近，并且向两边远离滑模面，称为起始点；

(3) C类：系统运动到滑模面附近，并且从两边趋近于该点，称为终止点。

如果在该曲面的某一片范围内存在的均为C类终止点，则将这片区域称为滑模区，该点的运动状态称为滑模运动。

若知道系统的状态方程：

(6)

式中：x为系统状态；u为控制变量；t为时间。

有合适的切换函数s(x),x∈R,则有控制量u：

(7)

式中：u+(x)≠u-(x)。

结合以上PMSM数学模型以及滑模变结构，传统的滑模观测器通常设计如下：

(8)

式中：

(9)

(10)

将式(8)与式(1)做差，得到系统的动态偏差：

(11)

(12)

将式(12)代入式(3)与式(4)，就可以估算出转子位置和转速信息。

传统的滑模控制为了使系统达到稳定状态，必须要维持滑模态运动并且要产生无限的切换控制。在实际的滑模控制系统中，控制开关和测量方式存在客观局限性，并且选取的是具有不连续性质的控制开关函数，并不能实现理想中的无限快的切换控制条件，会导致系统产生比较严重的抖振现象。因此，可以通过改进开关切换函数来消除一部分抖振对系统的影响。

对于上述提到的抖振问题，在一个实际的现变结构系统中，一些理想状态是不可能完全都成立的，抖振会使系统的耗能增加，还会使系统的控制精度降低，甚至更严重的情况下有可能使整个系统振荡或者失稳。考虑到开关函数的快速切换引起的不连续控制是抖振发生的根本原因，提出采用sigmoid函数取代sign函数来削弱抖振现象。

(13)

式中:k为观测器的增益系数；a为连续函数的斜率且a>0，其中a值越小，连续函数的曲线越光滑，系统的抖振也会越小，反之，a值越大，系统的抖振也越剧烈。sigmoid函数的曲线如图4所示。

图4 sigmoid函数

采用sigmoid函数表达式：

(14)

3 基于滑模观测器的卡尔曼滤波器

传统的滑模观测器在得到zα，zβ后，其中有电机转子位置信息和高频谐波，传统方法是通过低通滤波器来消除控制信号中存在的大量谐波，得到比较平滑的开关信号，也可以减弱系统抖振现象。但是低通滤波器在滑模观测器中的使用会引起系统相位偏移，并且也不能有效滤除系统中的谐波和扰动，最后得到转子位置的误差也较大，对系统的估测精度有较大的影响。改进方法是选择在低通滤波器之后再引入扩展卡尔曼滤波器，卡尔曼滤波器是一种实时的递推算法，即使系统中有很大的噪声和扰动，最后依然可以得到一个比较准确的估计值。改进方法的核心是利用观测得到的反馈值来修正预测值，慢慢逼近真实值。本文要处理的噪声也是系统噪声，现实中的噪声大都符合高斯噪声的正态分布特性，如图5所示。

图5 高斯噪声的正态分布特性

卡尔曼滤波器首先在某一随机时刻进行估计，然后再用测量得到反馈值进行校正。如图6所示，将卡尔曼滤波器分为两个部分，即时间更新和状态更新。

图6 卡尔曼滤波器递推原理图

图6中，时间更新是利用当前所处时刻的状态估计和其诶方程估计来更新下一时刻的初步估计值。状态更新是利用系统中的反馈作用通过时间更新中的初步估计值计算出最终估计值。

在实际生活中我们所遇到的都是非线性系统，但是卡尔曼滤波器算法主要针对线性系统，所以必须要对非线性系统进行线性化处理，线性化之后再采用卡尔曼滤波器，得到扩展卡尔曼滤波器。但是，我们遇到的非线性系统并不一定都可以进行合理的线性化变换，需要假设在所处理的非线性系统中，经过合理的线性变换后依旧可以如实反映系统的各种性质，并且可以解出所建立的非线性微分方程。

在非线性系统中设系统状态变量为x(t)，系统输出变量为y(t)，则有：

(15)

式中：u(t)为输入矢量;σ(t)和μ(t)分别为相互独立且具有零均值高斯白噪声特性的系统噪声和测量噪声，其中σ(t)的协方差为Q(t)，μ(t)的协方差为R(t)。

定义Jacobian矩阵：

(16)

(17)

利用Jacobian矩阵对式(15)进行线性化处理，离散化后可得：

Δx(k)=Φ[tk,tk-1,x(k-1)]Δx(tk-1)+σ(tk-1)

(18)

开始时间需要知道系统最初值，但在一个随机的实际系统中这一点是无法办到的，在最初估计中误差会较大，随着时间的推移，在一致随机可控和可观测系统中，会慢慢收敛直到系统变得稳定。由上文提到的设计原理，设计的卡尔曼滤波器状态方程：

(19)

(20)

(21)

(22)

改进后的结构图如图7所示。

图7 改进后的滑模观测器结构图

整体优化后基于滑模观测器的PMSM转子位置检测体统结构图如图8所示。

图8 含卡尔曼滤波环节的系统结构图

4 改进后的仿真结果分析

为了验证上述的改进方法，设计了仿真建模，其中电机动态参数如下：额定功率P=1.25 kW，额定电压U=230 V，极对数p=4，d，q轴电感Ld=Lq=3.13 mH,转动惯量J=0.008 kg·m2。

电机空载起动，初始速度给定为1 200 r/min，在0.2 s时给电机突加负载10 N·m，待转速稳定之后，在0.4 s给电机减负载5 N·m，如图9～图11所示，检测对比传统方法和优化后的滑模观测器对电机转子位置和转速的估测跟踪性能。

图9 加减负载电机定子电流图

优化前后滑模观测器转速和角度对比如图10所示。传统的滑模观测器在0.05 s时系统才进入了稳定状态，但是优化后的滑模观测器在0.03 s就很快跟踪到了系统速度，在增加电机负载和减少电机负载的情况下，优化后的滑模观测器观测曲线都要比传统的滑模观测器观测曲线波动都要小，且率先进入系统稳定阶段。优化后的滑模观测器电机转子位置误差始终保持在0.05 rad范围以内。优化后的滑模观测器系统在空载起动和加减负载情况下跟踪情况波动小，超调量小，电机的响应速度提高，性能明显得到了提升。

(b) 转子角度

给定电机初始转速为1 200 r/min，在0.2 s之后转速突变为900 r/min，在此过程中传统的滑模观测器和改进后的滑模观测器对电机的转速和转子角度估测情况如图11所示。

(a) 转速

(b) 转子角度

由图11中可知，在电机起动和减速阶段，优化后的滑模观测器曲线都要比传统滑模观测测器曲线波动小，并且角度误差都在0.03 rad以内，在减速过程中转速曲线变化平缓，电机反应速度快，运行稳定，超调量小，动态静态性能都得到提升。

5 结 语

本文主要研究无位置传感器PMSM转子位置及速度检测，基于传统滑模观测器，对传统滑模变结构的开关函数进行改进；传统滑模观测器中的低通滤波器不能有效滤除谐波，影响电机运行性能，因此引入了扩展卡尔曼滤波器，高效滤除高频纹波，提高系统动态响应。最后在MATLAB/Simulink平台进行仿真建模研究，对仿真结果进行分析后有如下结论：改进后的方法对于硬件成本要求较低，系统的结构简单，超调量小，优化后性能有所提升；在电机负载和转速改变时，与传统方法相比，该方法误差变小，动态性能变好，对电机的转速和位置有更好的估测效果。