让“图示”成为问题解决的脚手架

郑梅红

[摘要]在小学数学解决问题的教学中，图示作为一种解题方式，直观、形象地呈现了题目中所隐藏的数量关系。教师要引导学生合理地应用图示，使问题化难为易，以提高学生解决问题的能力，促进学生数学思维的发展。

[关键词]解决问题;巧用图示;直观形象

[中图分类号]G623.5 [文献标识码]A [文章编号]1007-9068（2020）14-0065-02

北师大版教材中有许多采用画图策略解决的问题——利用格子图或线段图将许多抽象的数学问题直观化、简单化，帮助学生理解和探究数学问题。在实际教学中，许多教师也会引导学生用画图法解决问题，但学生对用画图法分析和解决问题却避而远之，这其中有学生嫌画图麻烦的原因，但更为主要的是学生并没有形成用画图解决问题的意识和策略。下面，以五年级下册“邮票的张数”一课的教学为例，具体阐述如何利用图示培养学生分析数量关系的意识和解决问题的能力。

一、巧用图示引入，铺垫新授内容教学

巧妙利用图示，不仅让学生要学、能学，更是让学生会学，还能有效发挥学习的迁移作用，为知识与能力的获得做准备。

在教学“邮票的张数”的导入环节，教师先出示了图1，让学生仔细观察，并说出从图上得到的信息。由于图示的直观和形象，学生很轻松就说出“弟弟的邮票张数+姐姐的邮票张数=180张”这一数量关系。教师紧接着出示图2，因为有了第一幅图的铺垫，学生也能顺理成章地得到“姐姐的邮票张数一弟弟的邮票张数=180张”这个数量关系式。

有了图示，学生不仅能清楚地看出每一个条形代表的意思，还通过大括号位置的变化，明白“180张”在图中的含义，从而找到隐藏其中的不同数量关系。有了这两个数量关系，根据教师再次提供的信息“弟弟邮票30张，姐姐邮票x张”，学生很快便能列出以前学过的方程。这不仅有效地帮助学生回忆了之前所学的等量关系和方程，更是为本课学习用方程解决问题埋下了伏笔。因此，巧妙利用图示，不仅让学生体会到看图分析问题的直观形象和简单明了，更是沟通了新旧知识间的关系，为学习用方程解决问题发挥了良好的铺垫作用。

二、运用“图示”转换。经历问题解决过程

课程标准不但要求学生学会从数学的角度发现问题、提出问题和解决问题，还要求学生获得分析问题和解决问题的基本方法，体验解决问题方法的多样性。可见，让学生经历问题解决的过程，培养学生解决问题的能力是数学教学的重要任务。

1.创设良好的问题情境

用“图示”的形式呈现情境，可以使枯燥、复杂的数学知识充满亲和力和吸引力。“邮票的张数”一课在新授环节便采用了图示（如图3）的方式呈现，收到了良好的效果。

“从图上你知道了什么？你能提出什么数学问题？”这样的问题情境新颖有趣，过渡自然，加上导人环节的铺垫，不需要教师的引导，学生就可以全然理解题目的意思，并提出本节课的核心问题——弟弟和姐姐分别有几张邮票？这样，将信息和問题连起来就得到了一道完整的应用题。

2.解读数学信息

图示可以使一些比较抽象、复杂的数量关系直观地呈现出来。在学生理解了主情境的基础上，教师可将之前的题目进行了改编，给出一道完整的文字叙述题：

姐姐的邮票张数是弟弟的3倍，姐姐的邮票比弟弟多180张。弟弟有几张邮票？姐姐有几张邮票？请你画图来帮助分析题意。

有了前面的解题基础，学生顺利画出了图示：把弟弟看作1份，姐姐就是3份，多出的2份就对应180张（如图4）。

将题目的全部信息表示在图上，不仅让人一目了然，还能迅速找到数量关系——姐姐的邮票张数一弟弟的邮票张数=180张，并正确列出方程解答。因此，教师要在合适的时机引导学生运用图示直观呈现并解读数学信息，以提高分析问题和解决问题的效率。

3.构建新的知识结构

教学中，教师要带领学生借用图示将抽象的数学表征和直观的几何图形进行有机转换，促进学生理解题意，从而找到解决问题的办法，构建新的知识结构。

例如，为什么要设弟弟的邮票为x张？为什么姐姐的邮票就有3x张？方程x+3x=180和3x-x=180分别是根据什么等量关系列出来的？从哪里可以看出来？……这一系列的问题都是基于学生对图示的理解，使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，从而帮助学生面对首次出现用两个含x的方程的问题能够构建新的知识结构。（如图5）

三、对比“图示”研究，构建数量关系模型

在解决问题时，教师不但要引导学生将题目中的数学信息转换为图示，还可以将典型图示放在一起进行对比研究，揭示问题的本质，从而帮助学生构建数量关系的模型，消除学生解题思路中的障碍。

1.揭示问题本质

教学的最终目的不是解决数学问题，而是让学生能够在一定程度上揭示数学问题的本质和隐含的规律，进而达到对一类数学问题的根本性理解。

在完成巩固练习之后，教师将课堂中出现的典型图示全部呈现在课件上，引导学生进行对比：“要用方程来解决问题，你觉得最重要的事情是什么？”学生异口同声：“找等量关系。”教师接着出示每道题目的等量关系，继续追问：“如果请你来分分类，你觉得哪几个等量关系可以归为一类？请说明理由。”（如图6）

经过讨论交流，学生得出：用方程解决问题时，要根据题意分析几个量之间的关系，如果是部分与整体的关系（一共多少）就用相加的方法列出等量关系;如果是两个量之间存在相差关系（谁比谁少、谁比谁多），就用相减的方法列出等量关系，并根据等量关系列出方程。可见，学生对找等量关系的本质有了深刻的理解，这里，“图示”发挥了巨大的作用。

2.积累数学经验

教学中，教师要结合具体内容，设计有效活动，使学生经历知识的发展过程，从而帮助学生积累数学经验。

“邮票的张数”这一课的学习主要是让学生学会用方程来解决问题，但方程的得到却是要建立在等量关系的基础上，那么如何找到等量关系呢？整节课的教学中，教师采用了“图示”的方式帮助学生分析和理解题意。例如，改变了例题中的一个条件，把“姐姐和弟弟一共180张邮票”变成“姐姐比弟弟多了180张邮票”，学生自主画图，再次来求姐姐和弟弟分别有几张邮票。有了例题的经验，学生画出了改编后题目的图示，教师引导学生检查题目的条件和问题在图示上是否已经准确呈现，帮助学生认识到画图和读图本质上是文字、符号语言和图形语言的转化，促进学生积累画图分析的经验。

四、借助“图示”创编。提升学生思维能力

小学生的思维是以具体形象逐步向抽象过渡，要经历运用符号和图示描述现实问题的过程，学生才能建立数感与符号感，发展抽象思维。

在结课阶段，教师出示了课堂上出现的全部方程：3x+x=180、3x-x=180、4y-y=180、x+2x=180……并提问：“你觉得这些方程除了能解决课堂中的问题外，还能解决其他实际问题吗？请你从中选择一个方程，用画图的方式编一道应用题。”学生非常顺利地编出了题目。

不难看出，画图不单只是解决某一个问题，它更是一种思维能力。根据方程想到解决的问题，再画出图示，这是形象思维和抽象思维的互逆，是在“文字表征”“形象表征”和“数学表征”之间进行转换。可以说，学习运用画图解决问题的过程就是学生数学思考力发展的过程。

总之，在解决问题教学中，教师要让学生自觉养成画图解题的意识，使学生在遇到问题时能利用画直观图的方式分析问题，发现解决问题的突破口，从而积累数学经验，提升思维能力，为终身学习打下坚实的基础。

（责编：童夏）