特殊化思想在高中数学教学中的应用

毛建军

摘 要：在高中数学概念、公式、解题教学活动中，我们应指导学生恰当而巧妙地运用特殊化思想来思考数学问题。这不仅能拓宽学生的解题思路，提高学生解决问题的能力，还能增强学生学习数学的信心，提高学生数学素养。

关键词：特殊化思想;特殊值法;概念;公式;数学归纳法

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2020）09-079-1

所谓特殊化，是将一般问题的研究转化为特殊情形，通过特殊情况的解决去探索一般规律，寻找解决一般问题的途径或者否定已有的猜想。这种思考方法称为特殊化思想。我们教师应在数学教学中注意特殊化思想的运用，以激发学生学习数学的兴趣，提高学生探索知识，理解知识、掌握知识、提高解决问题的能力。笔者现根据自身平时的教学实践谈些点滴体会，与同行商榷。

一、特殊化思想在数学概念教学中的应用

高中的数学概念具有很强的抽象性和严密性，深刻理解概念的本质是数学概念教学的重要任务，对于某些教学概念，教师可以运用特殊化思想进行教学，以便突出概念的本质，使学生理解其含义，加深对概念的记忆。

例1.定义在R上的任意奇函数f（x），f（0）是否确定？为什么？

经过学习小组讨论后，不少学生认为不确定，笔者给出的答案是f（0）确定的。有部分学生有疑惑，此时笔者提示引导，注意奇函数定义中的“任意”二字，其定义为：对定义域内的任意x，都有f（-x）=-f（x），那么，对特殊的x的值的等式是否成立呢？此时学生们恍然大悟，齐声回答取x=0，则有f（-0）=-f（0）=f（0），所以f（0）=0。

例2.判断函数f（x）=x2，x∈[-1，1）的奇偶性？

经过学习小组讨论后，不少学生认为是偶函数。笔者给出的答案是错误。为什么？学生们感到很诧异。于是笔者引导学生思考，仍要注意奇、偶函数定义中的“任意”二字，由奇、偶函数的定义可知：对定义域内任意的x，f（x）和f（-x）都必须有意义，而对特殊的x=-1，是否有意义？此時学生们茅塞顿开，迅速得出f（x）是非奇非偶函数的结论。同时又可进一步推出奇、偶函数的性质：奇、偶函数的定义域关于原点对称。

上面两例的教学，都运用了特殊化思想。利用特殊值法，帮助学生加深了对奇、偶函数概念的理解，有利于学生领会函数奇偶性的本质。

二、特殊化思想在数学公式教学中的应用

高中数学公式比较多，且有些容易混淆。如何指导学生记忆这些数学公式，是我们在数学公式教学中应该关注的一个问题。如果我们在教学中能运用特殊化思想，可以帮助学生理解公式，同时也能起到纠正错误，帮助记忆的效果。

比如等比数列{an}的通项公式an=a1qn-1，前n项和公式Sn=a1（1-qn）1-q（q≠1），其中的两个公式中指数n和n-1容易混淆，在教学时指导学生运用特殊化思想，可取特殊值n=1进行验证，便能进行区分。

再如圆台的侧面积公式S圆台侧=π（r1+r2）l，可令r1=0，r2=r时，得到S圆锥侧=πrl，再令r1=r2=r时，得到S圆柱侧=2πrl。

三、特殊化思想在解题教学中的应用

在解题时运用特殊化思想，可以充分挖掘隐藏于问题之中与之相关的特殊值、特殊点、特殊图形、特殊位置和特殊结构等，可以打通解题思路，简化某些题解过程，避免繁琐的运算，可以收到以简驭繁，化难为易，事半功倍的效果。每年的高考题中（尤其是选择题和填空题）都有几道题可直接运用特殊化思想获解。

（一）有关数列，函数等含有参数的问题，可赋与参数特殊值，再通过数值的计算获得正确的解答，或将其转化为具体问题求解。

例3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn=30，前2n项和为S2n=100，则它的3n项和S3n为（ ）。

A.130 B.190 C.210 D.260

析：令n=1时，原题转化为：已知S1=30，S2=100，求S3？

解：令n=1时，S1=a1=30，S2=a1+a2=100，可得a2=70，d=40，从而得到a3=110，进而得出S3=a1+a2+a3=210，故选C。

例4.已知函数f（x）=x2+2x+a，f（bx）=9x2-6x+2，其中x∈R，a，b为常数，则方程f（ax+b）=0解集为 。

解：分别令两个函数中变量x=0，可分别得到f（0）=a，f（0）=2，从而得出a=2，令f（0）=0，即方程x2+2x+2=0无实数根，所以方程f（ax+b）=0也无实数根，即方程f（ax+b）=0解集为。

以上两例都是运用特殊化思想，恰当选取特殊数值，灵活地获得正确答案，充分节省解题时间，提高了解题的效率。

（二）在求解曲线系恒过定点的有关问题时，常通过取特殊值，将其划归转为特殊曲线的问题解决。

例5.求证：对于任意a∈R，曲线y=（a+1）x2+2ax+a恒过定点，并求定点坐标。

解：曲线系经过的定点可通过其中任意两条曲线的交点来确定。

取a=0及a=-1分别得y=x2和y=-2x-1两个方程，由这两个方程联立方程组得：y=x2y=-2x-1，解得：x=-1y=1。把x=-1和y=1代入原曲线方程1=（a+1）-2a+a，此时等式对任意a∈R恒成立，故曲线系恒经过定点（-1，1）。

（三）在处理探索性问题时，运用特殊化思想，先研究简单、个别、特殊情况，从中归纳出一般的结论或规律，再寻求方法予以证明。

例6.在数列{an}中，a1=2，an+1=3an+42an+3，n∈N*，求a2，a3，试判定an与2的大小，并加以证明。

解：由题意易得，a2=107，a3=5841，经过比较得出：a1>2，a2>2，a3>2，猜想an>2，n∈N*。用数学归纳法证明如下：

①当n=1时，a1=2>2，不等式成立;

②假设当n=k时，不等式成立，即：ak>2;

当n=k+1时，ak+1-2=3ak+42ak+3-2=（3-22）ak+（4-32）2ak+3=（3-22）（ak-2）2ak+3>0，

所以ak+1>2，即当n=k+1时，不等式也成立;

综合①②得：an>2，n∈N*。

例7.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多有 个。

A.1 B.2 C.3 D.4

解析：四棱锥是多式多样的，我们从“侧面是直角三角形”这个条件出发，构造出一个侧棱PA垂直于底面且底面四边形ABCD为矩形的特殊四棱锥P-ABCD模型，再由三垂线定理可知四个侧面均可为直角三角形。故选D。

以上两例仍然是利用研究特殊情况先猜想出一般性结论再进行严密论证，以及构造出与题设相关的特殊图形作为解决问题的模型，使直接求解困难或无法借助定理、性质入手的探索性问题得到解决。

总之，在高中数学教学活动中，我们若能指导学生恰当而巧妙地运用特殊化思想来思考数学问题，不仅能拓宽解题思路，提高解决问题的能力，有效的节省时间，达到事倍功半的效果;还能增强学生学习数学的信心，提高学生数学素养。

（作者单位：盐城市阜宁县第一高级中学，江苏 盐城224000）