多波束测深中声速剖面的分层EOF自适应重构

刘杨范，王振杰,2，赵 爽

(1.中国石油大学(华东)地球科学与技术学院，山东青岛266555；2.海洋国家实验室海洋矿产资源评价与探测技术功能实验室，山东青岛266071)

0 引 言

海水声速剖面的深度修正在多波束测深中非常重要。声速剖面的深度修正是根据声速剖面，采用常梯度声线跟踪法，通过采用分层计算和逐层追加的方法计算分层深度，进而对声线弯曲进行修正。因此，若海水声速剖面存在误差，将会严重影响多波束测深精度[1-3]。为了提高多波束测深的精度，需对存在误差的声速剖面进行修正，使其接近真实的声速剖面[4]。声速剖面重构是一种有效的声速剖面误差修正方法。

文献[5]证明了在最小均方误差意义下，经验正交函数(Empirical Orthogonal Functions, EOF)是描述声速剖面最有效的基函数，通常只需要前2～3阶的经验正交函数就能够精确地表示测区内任意一条声速剖面。文献[6]证明了即使对于与平均声速剖面存在显著差异的声速剖面，通常最多也只需要前5阶经验正交函数就能够精确地表示声速剖面。文献[7-9]探讨了在浅海中采用前几阶经验正交函数表示声速剖面的可行性。文献[10]证明了EOF重构的声速剖面具有较高的内符合精度，能够较好地描述实际声速剖面，对声速改正后得到的水深数据能够满足多波束水深测量的要求。文献[11]证明了采用经验正交函数表示声速剖面时，取前6阶及以上的经验正交函数，就可使利用重构声速剖面进行多波束测深时的有效波束比达到100%。上述研究成果表明，利用前2～7阶经验正交函数可以精确地重构声速剖面，提高多波束测深精度。

但在多波束测深过程中的声速剖面误差修正时，传统的EOF重构声速剖面测深的阶次选取方法没有考虑声速浅水和深水的区别[12-16]，尤其是海水性质变化剧烈地区、时间跨度大的声速剖面，一般将声速剖面作为一个整体进行计算，确定出整体声速剖面的阶次[17-19]。该方法的实现过程中，经验正交函数的阶次较多，因此计算量大。声速受温度、盐度和压力的影响，在浅水海水温度变化剧烈，使得声速时空变化显著，而在深水海水温度比较稳定时，声速变化平稳[1-3]。本文考虑到声速浅水的复杂性和深水的平稳性，给出了利用分层EOF重构声速剖面测深的阶次确定方法。此方法考虑了浅水区和深水区的声速性质差异，将声速剖面分为上层和下层，在满足多波束水深测量限差的要求下，确定出上层和下层合理的阶次，减少了计算量，提高了测深精度。

1 声速剖面分层EOF重构原理

设有N条已知的声速剖面，由于实际条件的限制，每条声速剖面的采样点不可能完全在等深度处采样，所以采用三次样条插值[20-21]得到等深度处的声速。将N条声速剖面内插到M个等深度处的标准层，并将声速剖面分为上下两层，上下两层的分界点深度为Kh，那么N条声速剖面表示成矩阵形式C为

式(1)中：Cu、Cd分别表示上层和下层的声速剖面。右边项的每一行代表每一条声速剖面在等深度处的声速值，每一列表示一条声速剖面的声速值。

求取式(1)中每一行的平均值，得到平均声速，表示成矩阵的形式为

声速剖面相对于平均声速剖面的差值为ΔC，表示成矩阵的形式为

式(3)中，ΔCu、ΔCd分别表示上层和下层的声速剖面与平均声速剖面的差值。

定义上层和下层的协方差矩阵为

式(4)中，Ru、Rd分别表示上层和下层的协方差矩阵。

Ru中的每一个元素Rij可表示为

Rd中的每一个元素Rij可表示为

对上层和下层的协方差矩阵求解特征向量：

式(7)中，λu和Fu分别为Ru的特征值矩阵和特征向量矩阵。λd和Fd分别为Rd的特征值矩阵和特征向量矩阵。λu=diag[λu1λu2…λuK]，λd=diag[λd1λd2…λd(M-K)]。特征值均按从大到小排列。Fu=[fu1fu2…fuK]，fui为λui所对应的特征向量。Fd=[fd1fd2…fd(M-K)]，fdj为λdj所对应的特征向量。

上层取前i阶，下层取前j阶的分层EOF函数重构系数矩阵Aij为

式(8)中，Aui为上层取前i阶的分层EOF函数重构系数，Adj为下层取前j阶的分层EOF函数重构系数。Fui为Fu前i列，Fdj为Fd前j列。

测区内任意一条声速剖面可以用上层前i阶和下层前j阶分层EOF函数表示为

式(9)中，Cl为第l条声速剖面，l=1,2,…,N。

2 分层EOF重构声速剖面测深的阶次确定步骤

本文给出了分层EOF重构声速剖面测深的阶次确定方法。算法流程见图1，方法详细步骤如下：

(1) 从中国Argo实时资料中心获取温度、盐度、压力数据[19]，进行预处理，采用WD Wilson声速经验公式[1]，根据剖面的温度、盐度和压力计算声速剖面，利用三次样条插值将声速剖面内插到垂直标准层。

(2) 确定声速剖面上下层的深度界限。计算每一深度声速剖面的均方根误差，将每一深度与其相邻深度的均方根误差的平均值作为其均方根误差均值，设置阈值。深度由深到浅，判断每一深度的均方根误差均值与阈值的大小，当均方根误差均值大于等于阈值时，所对应的深度即为声速剖面上下层的深度界限。

(3) 设置初始上层、下层的阶次和水深值H，根据分层EOF重构声速剖面。

(4) 预设初始入射角，读取实测声速剖面，根据常梯度声线跟踪法(以层内声速变化为常梯度，并采用分层计算和逐层追加的方法对声线弯曲进行补偿)[2]计算声波的传播时间T，并作为重构声速剖面的参考时间，结合重构声速剖面，计算利用重构声速剖面的波束水深值H′[10]，传播时间T为

式(10)中：N表示实测声速剖面的层数；θi和θi+1分别表示实测声速剖面第i层和第i+1层的入射角；gi表示实测声速剖面第i层的梯度；Ci和Ci+1分别表示实测声速剖面第i层和第i+1层的声速；Δzi表示第i层的深度差。重构声速剖面第i层的声波传播时间ti为

图1 确定声速剖面EOF重构的分层阶次的算法流程图Fig.1 Flow chart of determining the orders of layered EOF reconstruction of sound velocity profile

式(12)中，M表示使等式成立的ti的个数。

深度误差σ为

(5) 统计符合0.25%水深限差要求的波束数，判断全部声速剖面的有效波束比是否达到100%。如果是，则确定出合理的上层和下层阶次，实验结束。反之，则继续以下步骤。

(6) 利用常梯度声线跟踪法计算实际声速剖面上层和下层的声波传播时间T1和T2，结合重构分层声速剖面，计算各个波束上层和下层的水深值H1和H2。T1、T2、H1和H2的计算公式与步骤(4)中类似。

(7) 自适应阶次选取。利用实际声速剖面上层的水深值减去步骤(6)中所计算的各个波束上层的水深值，取绝对值，对它们求平均即可求得波束上层的平均水深误差，同样可得波束下层的平均水深误差。判断波束上层的平均水深误差乘以上层深度是否大于波束下层的平均水深误差乘以下层深度。如果是，则上层的EOF阶次加1，反之，则下层的EOF阶次加1。然后重复步骤(4)～(7)，直到确定出合理的上层和下层阶次。

3 算例分析

选用中国Argo资料实时中心发布的《全球Argo浮标剖面观测资料质量再控制数据集》[22]，选取出136°E～139°E、32°N～35°N区域、2009年的91条剖面数据，深度为10～150 m，层厚为1 m。分层EOF可能会使重构的声速剖面在分层处存在声速不连续的问题，因此本文使上层和下层的声速剖面有10 m深度的重叠，上下层声速剖面重构后在重叠处取平均值。

3.1 声速剖面上下层深度界限的选取

声速剖面上下层的深度界限直接影响重构声速剖面上下层的EOF阶次。考虑到声速剖面浅水复杂性和深水平稳性的特征，采用声速剖面的均方根误差均值确定声速剖面上、下层的深度界限。声速剖面的均方根误差如图2所示，阈值为13 m·s-1。

图2 声速剖面的均方根误差Fig.2 Root mean square error of sound velocity profile

由图2可知，深度为10～67 m左右时，声速剖面的均方根误差均值起伏较大，变化范围为13.770～39.908 m·s-1；深度为67～150 m时，声速剖面的均方根误差均值变化平稳，范围为10.923～12.786 m·s-1。根据阈值判断出声速剖面上下层的深度界限为67 m。

3.2 EOF各阶次的方差贡献率

方差贡献率[23]指每一阶经验正交函数包含声速场信息的百分比。其计算公式为

式(16)中，σi表示第i阶方差的贡献率，λi表示协方差矩阵的特征值(经过从大到小排列的第i个特征值)，n表示协方差矩阵的行号。

累计方差贡献率指前几阶经验正交函数方差贡献率的和。表1、表2、表3分别为上、下层以及不分层EOF重构的前7个阶次的方差贡献率。

从表1～3可以得出前6阶的累计方差贡献率都超过了95%，可见前几阶的EOF函数包含了测区内声速场的主要信息，而剩余阶次的EOF函数反映了测区内声速场的细微变化。

对比表1和表2可以得出，对于前7个阶次的EOF函数，分层EOF下层各阶次的累计方差贡献率高于分层EOF上层相对应阶次的累计方差贡献率。验证了上层声速的复杂性和下层声速的平稳性，也说明了下层的声速剖面可以用更少的阶次有效地表示。将表1和表2与表3进行对比可以得出，分层EOF各阶次的累计方差贡献率高于EOF相对应阶次的累计方差贡献率。这是由于分层EOF函数考虑了浅水和深水的区别，对不同的层采用不同的阶次，使得浅水声速的复杂性与深水声速的平稳性不会相互影响。因此从累计方差贡献率考虑，使用相同阶次的分层EOF重构声速剖面的精度高于EOF重构声速剖面的精度，或者重构声速剖面精度相当时，分层EOF的运算量小于EOF的运算量。

表1 上层EOF重构的前7个阶次的方差贡献率Table 1 Variance contribution rate of the first 7 orders for the upper layer of EOF reconstruction

表2 下层EOF重构的前7个阶次的方差贡献率Table 2 Variance contribution rate of the first 7 orders for the lower layer of EOF reconstruction

表3 不分层EOF重构的前7个阶次的方差贡献率Table 3 Variance contribution rate of the first 7 orders of unlayerd EOF reconstruction

3.3 分层EOF重构声速剖面的误差分析

采用每个样本序列的声速均方根误差以及不同深度的声速均方根误差进行误差分析，结果如图3所示。图3中分层EOF的上层阶次为前5阶，下层阶次为前2阶，EOF使用的阶次为前5阶。

从图3(a)中可以看出，对于所有的样本序列，分层EOF的声速均方根误差总体小于EOF的声速均方根误差。分层EOF的声速均方根误差平均值为0.909 m·s-1。EOF的声速均方根误差平均值为1.940 m·s-1。从图3(b)中可以看出，对于不同的水深，分层EOF的声速均方根误差总体小于EOF的声速均方根误差。分层EOF上层的声速均方根误差平均值为0.617 m·s-1；分层EOF下层的声速均方根误差平均值为1.182 m·s-1。EOF上层的声速均方根误差平均值为1.367 m·s-1；EOF下层的声速均方根误差平均值为2.092 m·s-1。这说明分层EOF相较于EOF，提高了声速剖面的重构精度。分层EOF的下层阶次少于EOF的阶次，表明分层EOF降低了声速剖面重构的运算量。

图3 分层与不分层EOF重构的比较Fig.3 Comparison between layered EOF and unlayered EOF reconstructions

3.4 确定满足测深改正要求的分层EOF阶次

上述实验分析说明，分层EOF能够精确地表示实测声速剖面，但对于使用分层EOF重构的声速剖面进行声速修正引起的水深误差能否满足测深要求，需要进一步分析。美国国家海洋与大气局规定[24]：若使用的声速剖面与实际声速剖面对测深修正造成的互差超过0.25%水深视为超限。有效波束比为：满足水深限差的波束占总波束的百分比[25]。统计不同分层EOF阶次组合下的各种信息，采用自适应阶次选取确定出满足测深修正要求的分层EOF阶次，结果如图4所示。

为了方便表示，图4中7/2表示分层EOF上层取前7阶、下层取前2阶，其余同理。为了从图4(d)中更好地比较分层EOF和EOF的水深修正最大偏差，将EOF阶次与分层EOF的上层阶次相对应，如图4(d)所示。

从图4(a)和图4(b)可以看出，当分层EOF上层取前7阶、下层取前2阶时，平均有效波束比为100%，有效波束比达到100%的声速剖面条数为91条。虽然第4个阶次组合的平均有效波束比、有效波束比达到100%的声速剖面条数和第5个阶次组合的平均有效波束比相比前几个阶次组合有所降低。但从图4(c)可以看出，平均水深误差一直减小，说明随着阶次增加，整体水深误差持续减小，即利用分层EOF重构声速剖面进行声速修正后的水深精度越来越高。从图4(d)可以得出，随着阶次的增加，分层EOF的水深修正最大偏差呈现总体下降趋势，并且从EOF前3阶次开始，分层EOF的水深修正最大偏差小于EOF的水深修正最大偏差，说明分层EOF相较于EOF，提高了多波束测深修正精度。当分层EOF上层取前7阶、下层取前2阶和EOF整体取前7阶时，两者的水深修正最大偏差都小于0.25%水深改正限差，但分层EOF下层的阶次明显少于EOF的阶次，表明分层EOF相较于EOF降低了多波束测深的运算量。

图4 确定满足测深修正要求的分层EOF重构阶次Fig.4 Determination of the orders of layered EOF reconstruction that satisfies the correction requirement of bathemetric sounding

4 结 论

本文针对海水性质变化剧烈地区的声速剖面，利用分层EOF重构声速剖面，根据自适应阶次选取方法，在满足0.25%水深限差的要求下，研究利用分层EOF重构声速剖面测深的阶次选取方法，并与传统EOF(对水层整体取同一阶次)重构声速剖面测深的阶次选取方法进行比较，得出如下结论：

采用前几阶分层EOF重构的声速剖面能够精确地描述实际声速剖面，并且随阶次增加，越来越接近实际声速剖面。不同于传统EOF，分层EOF对不同的层采用不同的阶次，使浅水的复杂性和深水的平稳性互不影响。分层EOF重构的声速剖面相比传统EOF重构的声速剖面，提高了声速剖面重构精度，降低了运算量。

在本文选取的声速剖面中，利用上层前7阶、下层前2阶分层EOF重构的声速剖面进行测深修正时，满足多波束的水深测量要求，合理地确定了分层EOF重构声速剖面的上层和下层阶次。相比传统EOF重构声速剖面测深的阶次选取方法，考虑了声速浅水的复杂性和深水的平稳性，分层EOF重构声速剖面测深的阶次选取方法提高了多波束测深修正精度，降低了计算量。由于不同声速剖面受区域、时间、采样等因素的影响，因此其它算例中的上下层阶次可能会与本算例略有不同，但本文所提方法和所得规律性结论均具有普适性。本文中声速剖面上下层深度界限的阈值与上下层的重叠深度是根据综合分析实验中的声速剖面，结合经验人为选取所得。关于阈值和重叠深度的确定方法还需进一步研究。