数学课堂：如何促进学生深度学习

朱红伟

摘要：在数学课堂教学（尤其是数学概念、规律等的教学）中促进学生深度学习，更多地要重视学生的积极参与、基于理解、主动建构、有意义的发现式学习。具体地，可以采用如下策略：激发认知冲突，促进积极参与;利用先行组织者，促进自主构建;通过易错辨析，促进深刻理解;采取梯度设计，帮助发现规律;引导理性论证，促使“知其所以然”。

关键词：深度学习 数学教学 认知冲突 先行组织者 梯度设计

北京师范大学郭华教授指出：“深度学习是指在教师引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。”而西北师范大学安富海教授认为：“深度学习是一种基于理解的学习，是指学习者以高阶思维的发展和实际问题的解决为目标，以整合的知识为内容，积极主动地、批判性地学习新的知识和思想，并将它们融入原有认知结构中，且能将已有知识迁移到新的情境中的一种学习。”可见，深度学习强调积极参与、基于理解、主动建构，更多地属于奥苏伯尔所说的有意义的发现式学习。当然，深度学习还强调挑战性与成功的平衡（暗合积极心理学中的心流理论）、高阶思维的发展、实际问题的解决和学习的迁移。

在数学课堂教学（尤其是数学概念、规律等的教学）中，如何促进学生深度学习？笔者认为，既不是放手让学生自学，也不是刻意地追求学习的难度，更多地要重视学生的积极参与、基于理解、主动建构、有意义的发现式学习。具体地，可以采用如下策略：

一、激發认知冲突，促进积极参与

要让学生积极主动地参与学习，就要让学生认识到所学内容的价值，从而产生学习需求。为此，最有效的手段之一是激发学生的认知冲突，让学生感觉到如果不学习某个内容，客观存在的一些问题（需求）就无法解决（得到满足）。而要激发学生的认知冲突，必须了解学生已有的知识经验。

例如，教学“小数除法”时，可以出示“5千克香蕉总价12元，1千克香蕉单价多少元？”的现实问题。学生对“12÷5”这个整数除以整数的计算并不陌生，根据以前学过的“有余数的除法”，很容易得到“商是2，余数是2”的结果。但是，学生马上会发现，这一结果无法解决“香蕉的单价”这一实际问题，从而产生认知冲突，积极地想知道如何继续除下去。由此便自然地引出把2元转化为20角，即把2转化为2.0，再除以5的小数除法。

再如，教学“用数对确定位置”时，教师给每位学生一张方格纸，其中一位学生拿到的方格纸没有图案，而其他学生拿到的方格纸在相同位置的一格中画着一块奶酪。然后，教师请拿到没有图案的方格纸的学生上台，在其他学生的语言提示下，玩“小老鼠找奶酪”的游戏。台下学生的描述各不相同：“在第4行第4列。”“从上往下数在第4条线和第5条线之间，从左往右数也在第4条线和第5条线之间。”“从下往上数第7格，从右往左数第5格。”……台上的学生想听明白，却总是有些糊涂。就在这样的认知冲突中，学生积极地想知道“哪一种说法一定能找到奶酪的位置”。进而通过讨论，学生逐渐明晰，要说从哪里到哪里，即方向，还要说清数几格，即距离，而且，统一说法也非常重要。由此便自然地引出“何为列，何为行”“列从左往右数，行从前往后数”“先确定第几列，再确定第几行”这些基于笛卡儿坐标系的用数对表示位置的人为规定。

二、利用先行组织者，促进自主构建

“先行组织者”概念是美国著名的教育心理学家奥苏伯尔提出的。奥苏伯尔认为：促进学习和防止干扰的最有效策略，是利用适当相关的、包摄性较广的、最清晰和最稳定的引导性材料，这种引导性材料即为“组织者”。组织者一般在教学内容呈现之前加以介绍，目的在于确立有意义学习的心向，所以又叫作“先行组织者”。先行组织者教学策略建立了新旧知识之间的联系，能帮助学生从原有认知结构出发加工新的知识，融入原有认知结构;通过新旧知识的整合作用，增加了知识的识别度，有效避免了学生的机械记忆，激发了学生学习的主动性，促进了学生的有意义学习。

小学数学教学中的先行组织者主要有数学实验、生活实例等类比对象。教师可以利用它们帮助学生经历和体验知识形成的过程，自主建构知识。

例如，教学“有余数的除法”时，教师首先让学生分小棒，逐步理解：15根小棒，每3根一份，可以分成5份，得到算式15÷3=5;16根小棒，每3根一份，可以分成5份，还余1根，得到算式16÷3=5……1;17根小棒，每3根一份，可以分成5份，还余2根，得到算式17÷3=5……2;18根小棒，每3根一份，可以分成6份，得到算式18÷3=6。然后，及时进行点拨：余数等于除数时，还可以再分一份。接着，让学生通过更多的分小棒操作，得到更多的算式，进而在比较中发现“在有余数的除法算式中，余数都比除数小”的结论。

这里，分小棒的直观操作很好地起到了先行组织者的作用，帮助学生弥补了抽象推理能力的不足，更容易自主建构有余数的除法的算理。

再如，教学“认识方程”时，教师出示图1，让学生观察、思考，说出自己的发现。有学生说：“天平的指针在中间，天平平衡，说明天平两边的物体一样重。”教师顺势引导：“天平平衡，说明两边的质量相等，它们是等量关系。”有学生说：“也就是天平左边一颗樱桃加上5克砝码的质量等于右边10克砝码的质量。”也有学生说：“也可以用一个式子来表示：一颗樱桃的质量+5克=10克。”教师继续引导：“你们说的都很有道理。确实，一颗樱桃的质量不知道，但是，直接这样写很麻烦，如果我们用字母x来表示一颗樱桃的质量，那么，刚才同学所说的等量关系还可以怎样表示？”学生写出“x+5=10”。教师组织学生交流算式表示的意思，然后总结：“当两个式子相等，即具有等量关系时，我们通常可以用等式表示。”

接着，教师出示图2、图3，引导学生发现其中的等量关系，然后用4×x=380或4×y=380，2a+200=2000、2000-2a=200或2000-200=2a等简洁的方式表示。之后，教师引导学生交流：“这些式子是怎么得来的？它们有什么共同特点？”从而归纳出：等量关系可以用等式来表示，像这样含有未知数的等式叫方程。

这里，天平等生活实例很好地起到了先行组织者的作用，帮助学生从具体的等量关系到抽象的符号表达，更容易自主建构方程的意义，体会方程是刻画现实世界中等量关系的重要模型。

三、通过易错辨析，促进深刻理解

相关或相似的先行组织者，可以促进学生对知识的自主建构。但是，这样获得的知识，学生往往还不能深刻理解。要促进学生的深刻理解，可以提供一些“非标准”的变式，让学生进行易错辨析，强化对关键词句含义的认识。

例如，教学“分数的初步认识”时，学生知道平均分一个物体，其中的一份可以用二分之一表示之后，教师可以具体呈现一些部分涂色的图形，让学生判断其涂色部分能不能用二分之一表示，强化对分数概念中“平均分”的认识。然后，提出一个模糊宽泛的情况，让学生判断结论：把一张长方形纸分成两份，每一份一定是它的二分之一。这时，学生很容易因为具体图形的思维定式产生错误的判断，认为一定是二分之一。而教师可以将一张长方形纸随意地折成两份，提问：这也是分成两份，这一份是二分之一吗？为什么不是？我们判断是不是二分之一的依据是什么？怎么分成两份，使其中一份一定是二分之一？这样的易错辨析，可以让学生从反面思考分数概念的关键内涵，加深对分数概念的理解。

四、采取梯度设计，帮助发现规律

有些数学规律比较隐蔽，对它们进行发现式学习本身就是具有挑战性的任务。对此，教师要进行梯度设计，通过层层遞进的学习任务（探究问题），引导学生拾级而上，经历数学发现的全过程，从而充分认识数学规律，感悟思想方法。

例如，教学“能化成有限小数的分数特征”时，教师提出问题：“有的分数能化成有限小数，有的分数不能化成有限小数，这里面有没有什么规律？”学生一时不知从何入手。

于是，教师先让学生尝试将分数13、23、14、24、34化成小数，并根据尝试的结果，猜一猜一个分数能不能化成有限小数的规律在分子中还是在分母中。学生尝试后，一致认为规律在分母中。教师顺势提问：“能化成有限小数的分数的分母有什么特征？”根据刚才的尝试，学生猜测：分母是偶数的分数都能化成有限小数，而分母是奇数的分数都不能化成有限小数。

对此，教师没有表态，而是再让学生尝试将分数15、45、16、56化成小数。学生尝试后，发现并非所有分母是偶数的分数都能化成有限小数，也不是所有分母是奇数的分数都不能化成有限小数。这再次激发了学生的求知欲。

这时，教师又让学生尝试将分数58、310、1720、625化成小数，并思考这些分数的分母有什么共同点。学生尝试后，发现它们都能化成有限小数，但是找不到它们分母的共同点。教师进一步引导：“奇数、偶数是和一个数的什么有关的特征？”学生交流后，得到：“和一个数能不能被2整除有关。”教师再引导：“能不能被2整除，也就是有没有2这个因数，那么，我们能不能从所含的因数这个角度来研究这些分数的分母呢？”学生一下子找到了思维的突破口，发现了这些分数分母的质因数只有2和5，于是进一步猜测：分母不含除了2和5以外的其他质因数的分数都能化成有限小数。

正当学生心满意足之际，教师接着让学生尝试将分数315、624化成小数，又激发了矛盾：为什么分母含有除了2和5以外的其他质因数的分数也能化成有限小数呢？通过观察分析，学生发现，这两个分数化成最简分数后，它们的分母也只含有2和5这两种质因数。由此，学生认识到之前的猜想还得补充一个前提：这个分数是最简分数。

这里，教师把“能化成有限小数的分数特征”的发现式学习过程设计成一个个富有梯度的探究问题，让学生在一次次尝试、猜想、验证、反驳中，一步步逼近数学本质，发现数学规律，同时感悟其中的思想方法。

五、引导理性论证，促使“知其所以然”

数学学习不仅要“知其然”，而且要“知其所以然”，才是有深度的。小学数学学习更多地通过归纳等合情推理发现规律，同时也“知其所以然”。然而，这样的“所以然”不是真正可靠的“所以然”，缺少数学的理性。对于有些数学规律，教师可以引导学生尝试理性论证，从而真正地“知其所以然”。

例如，教学“十位相同，个位上的数相加是十”的乘法的计算规律时，学生通过多次尝试具体计算，不难发现一般规律：两个乘数个位上的数相乘的结果就是积的末两位数，十位上的数与比它大1的数相乘的结果就是积的末两位前面数位上的数。学生通过再次举例验证，也不难认同这一规律的普遍适用。如果教学到此为止，似乎学生也能掌握计算规律，并能运用计算规律解决问题。

但是，此时，学生还是停留在“知其然”的层面，没有真正地“知其所以然”。所以，教师可以继续引导学生思考为什么会有这一规律，促进学生深度学习。

当然，这一规律的严格论证需要用到多项式乘法这一代数知识，小学生很难理解，更无法想到。因此，考虑到小学生的认知能力与思维特征，可以结合具体例子，利用数形转化，将乘法计算用图形面积表示，来帮助学生思考和理解。

教师首先提问：为什么两个乘数个位上的数相乘的结果就是积的末两位数，十位上的数与比它大1的数相乘的结果就是积的末两位前面数位上的数？然后出示图4，并提问：有一个特别会思考的学生在计算22×28时，画了几幅图，你能从中找到理由吗？通过图4，学生不难发现：这个乘法的结果可以分成“十位乘十位”“个位乘十位”“十位乘个位”“个位乘个位”四个部分[对应图4中左侧四个长（正）方形的面积]——把“个位乘十位”的2×20与“十位乘个位”的20×8合起来，就是20×10;再与“十位乘十位”的20×20合起来，就是30×20，结果是600，把6写在末两位前面（即百位）;“个位乘个位”是2×8，结果是16，把16写在末两位（即十位和个位）;合起来得到结果616。由此，学生不难感悟这一规律的一般原因，即深层次的算理。

在此基础上，教师可以通过课件动态演示图4中剪、移、拼的过程;再提供方格纸，让学生通过剪、移、拼计算34×36，并说说为什么4×6的积就是计算结果的后两位，3×（3+1）的积就是计算结果的前几位，从而深化对算理的认识。