数学思维在高中剪纸课中的运用

王玉姣 田文慧

【摘要】古希腊数学家毕达哥拉斯说：“美是和谐，整个天体是一种和谐，宇宙的和谐是由数组成的，因而构成了整个宇宙的美。”①一切美皆可理解为数之美。剪纸与数学这两个看似风马牛不相及的科目其實有着千丝万缕的联系。剪纸的形式美感包括的对称与均衡、秩序与韵律、对比与统一等，这些都可以理解为“关系与数”。如果将数学思维融入剪纸课程，一方面可以使学生更加轻松地掌握剪纸的方法与特点；另一方面也可以利用学科的互补优势锻炼他们的思维能力、空间想象力与动手能力。

【关键词】剪纸；团花；对称；分形

【中图分类号】G633.955 【文献标识码】A

剪纸是历史悠久并深受广大人民喜爱的一种民间艺术。现存最早的剪纸作品可追溯刀1500年前的南北朝时期，在那时剪纸就达到了相当高的水平。在民间，逢婚娶和新年，人们都会在墙壁、门楣、家具上张贴剪纸，它可以起到烘托喜庆气氛的装饰效果。近年来，随着我们对即将失传的民间技艺高度重视，2009年剪纸被列入“世界非物质文化遗产”名录。为了能让这些即将失传的技艺代代传承，包括剪纸在内的一批非遗项目走进中小学课堂。在高中如何开好剪纸课，让高中生喜爱这项传统艺术，是值得思考的问题。剪纸在红与白的对比中展现独特的形式美感，包括有对比与统一、秩序与韵律、对称与均衡等。而这些都和数学有着内在的联系。教师在教授剪纸时，可利用数学的相关知识与思维进行引导，从而达到事半功倍的效果。

一、团花折纸的函数思维

团花是一种古老的图案，它的历史由来已久。这种图案外形为圆形或者花瓣形，骨架为“米”字形，即呈中心放射状。图案由一个或者多个图形元素组合而成。团花剪纸因象征了团圆吉祥被广泛运用于剪纸、织染、漆器、建筑装饰等领域。目前发现的最早的团花剪纸是南北朝时期的《团花》与《对马》。这两件作品也是保留下来的最早的剪纸。

团花剪纸是多角折叠的对称结构，最常见的有对折、四折、八折、十六折。这类对称剪纸最简单的制作方式是折剪，也就是先折后剪。而折纸的次数与展开后折痕（对称轴）的数量有函数的关系。这个知识学生在初中阶段学习《对称轴》一节时有所涉猎，但是他们并没有亲自总结规律与函数公式。“用函数来思考”是数学家莱克因的一句名言，如果学生能通发现过折纸次数与对称轴条数两个变量间的内在关联，对他们临习和创作团花剪纸以及数学思维的培养都是大有裨益的。让学生以自主探究或者小组合作探究的方式，亲自折一折、数一数，并记录下两个变量的数据，学生就会得到如下一组数据：

这样，学生就可以根据已知的一个变量，求得另一个变量，剪团花也就变得更加容易。

二、巧用对称讲剪纸

万物皆数，在大自然中，和谐无处不在，美也无处不在，数也无处不在。比如，向日葵花种子从中心向外延伸的螺旋数量，构成了斐波那契数列；蜜蜂筑起的蜂巢是正六边形；人和动物的对称性结构……这些都是大自然的神奇魔力所造就的，在这些神奇的魔力中，最被我们熟悉的便是对称。我们的祖先早在新石器时代就开始在作为实用器皿的陶器上追求对称的美感。对称给我们一种和谐、舒适的心理感受及充满韵律的视觉体验，被广泛运用于建筑、工艺品制作、剪纸、织染之中。

在剪纸中，对称形成了极具装饰性的形式美。剪纸中都有哪些类型的对称？它们都各自有哪些特点？这些对称形该如何剪出来？如果引导学生理解了这些问题，他们创作的图形就会更加丰富。

赫尔曼·外尔在《对称》一书中将对称归为以下几类：双侧对称性、平移对称性、旋转对称性、装饰对称性、晶体对称性。②高中学段的学生已经对“对称”有了一定的了解，在这一部分的讲授过程中，可以充分利用学生已有的知识，适时提出一些新的名词概念，从而达到“知新”的效果。

（一）双侧对称剪纸

高中学生最为熟悉的对称是轴对称，即双侧对称性。剪纸中的对折剪纸、十字对折剪纸以及一些对角剪纸都属于这种。

这类剪纸有比较清晰的对称轴，并且图案沿对称轴重合。所以其制作方法为先找出对称轴，再进行折剪。关于折几次可得到想要的图案，我们在上文已经进行了介绍。可遵循由易到难的教学原则，先让学生尝试对折、对角，让他们尝试多角折剪（团花）。多角折减是难点所在，学生往往感觉难点在于他们不知道剪完展开之后会是一个什么图案，所以多半只能进行偶然性的创作。多角折剪需要构思想象想要的图案如何在已经折好的纸上剪出来。对熟练的剪纸艺人来说或许是心到手到，但对于刚接触剪纸的高中生来说，他们需要对此进行思考和想象。这个问题的解决也需要数学思维。

首先，引导学生找出设计好的团花图案的所有对称轴，并标出来。对称轴即是折痕，两侧对称轴之间的图案就是要剪的图案。通过实践学生能得出的结论为：剪团花图案首先找出设计好的图案的对称轴，通过对称轴的数量判断折纸次数；然后在两侧折痕的中间部分画出两条对称轴中间的图案。这样，剪完展开便是想要的图案了。其原理是对称轴两侧的图案能完全重合。

（二）平移、翻转对称与连续纹样

二方连续纹样是以一个或者多个单位纹样为单元，沿水平或者垂直两个方向重复的纹样，这种带状的纹样称为二方连续纹样。在新石器时代的陶器上这种纹样早已出现，在剪纸中，连续纹样也是一种常见的图案形式。

连续纹样是单元纹样的有规律排列，依据单元纹样的特点，二方连续纹样剪纸包括两类：一类是单元纹样呈对称性，也就是相邻单元纹样对称，单元纹样本身也是对称形。这类剪纸剪时需要找出两个对称轴，即单元纹样之间的对称轴和单元纹样的对称轴，先后两次折叠后剪出；还有一类，是单元纹样非双侧对称性剪纸，这类纹样虽然不是双侧对称，但是如果将纹样平移或者翻转便能重合。学生在中学阶段已经学习了平移、翻转的几何知识。对于这个特点，可让学生用几何中平移与翻转思维对纹样进行理解。这样，他们便能够更加清晰地总结出纹样的特点。

三、分形几何与剪纸图案的形式美

二十世纪七十年代，曼德布罗特在其《大自然界中的分形幾何》一书中引入了“分形”这一概念③。自此，“分形”风靡全球并持续温度不减。分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、空间等方面具有相似性，即是指局部与整体成比例缩小的关系。分形理论能解释大自然的很多规律，比如大自然中蕨类植物的叶子的形态、雪花的形态等。正如伽利略所言：“数理科学是大自然的语言”。

在剪纸以及民间织染工艺中，有分形几何特征的装饰图案也经常出现。关于分形，学生在高中阶段的数学中题目中会有所涉猎，所以对于比如谢宾斯基三角形或者科赫曲线他们并不感到陌生。教师可利用分形几何的特征引导学生发现这类图案的特征与美感。

这类图案的特征便是“自相似性”，即整体与局部是相似形，有规律的相似图案展现出了极强的秩序感和韵律美。秩序感是形式美法则之一，秩序产生于重复，变化可以让简单的画面呈现出丰富之美。贡布里希说：“审美快感来自对某种介于单调和复杂之间的图案的观赏，简单重复的图案难以吸引人的注意力，但过于杂乱的图形则会使我们的知觉产生疲劳而影响并终止对它的欣赏。”④在二维图案里，有三维的视觉幻象，能够增强观者的视觉记忆，增加美的感受。所以，剪纸是美的，数学是美的，大自然也是美的。

在具有分形几何特点的剪纸纹样教学中，教师可以充分发挥学科的综合性，促进学生感性和理性思维的全面提升，并且要擅用已知拓展未知，从而起到“跳一跳，摘颗桃”的效果。

四、结语

本文以数学思维融入高中剪纸课为思路，分别阐释团花折叠与函数思维、对称与剪纸以及分形几何与剪纸图案。理性与感性是思维的双翼，艺术与科学密不可分。高中阶段是学生抽象思维发展的关键时期，也是学生独立思考能力发展形成的重要时期。将数学的思维融入剪纸的教学，可以打破因学科独立而产生的思想壁垒，让知识有效的迁移，从而在学生的剪纸学习过程中产生意想不到的效果。

注释：

①[法]莱昂·罗斑.希腊思想和科学精神的起源[M].桂林：广西师范大学出版社，2003.

②赫尔曼·外尔.对称[M].上海：上海科技教育出版社，2002：1.

③[波]伯努瓦·B.曼德布罗特.自然界中的分形几何学[M].上海：上海远东出版社，1998.

④贡布里希.秩序感—装饰艺术的心理学研究[M].长沙：湖南技术科学出版社，1999：14.

作者简介：王玉姣（1989-），女，汉族，山东聊城人，硕士研究生，研究方向：美术教育；田文慧（1987-），女，汉族，山东聊城人，本科学历，研究方向：美术教育。