考虑客流空间分布的地铁列车节能时刻表优化方法

冉昕晨，陈绍宽*，陈 磊，贾文峥

(1.北京交通大学交通运输部综合交通运输大数据应用技术交通运输行业重点实验室，北京100044；2.交通运输部科学研究院城市交通研究中心，北京100029)

0 引 言

地铁运营里程快速增长，系统能耗大幅增加，节能减排是该系统可持续发展的根本保障和有效途径.地铁能耗构成中，牵引能耗是主体部分，约占总能耗的40%～48%[1].在保证列车安全正点的前提下，降低牵引能耗，促进再生制动能利用，是实现列车节能运行的关键.在实际运营中，断面客流不均衡所决定的列车质量空间分布变化，是影响能耗的重要因素之一.因此，考虑客流空间分布差异，研究地铁列车节能方法具有重要的现实意义.

从运营组织层面分析，优化列车速度曲线和时刻表是效果显著、投资较低的节能措施.优化速度曲线的关键是如何控制单列车按时刻表节能运行，既有研究多利用解析法[2]或智能算法[3]求解.优化时刻表的关键是如何分配时空资源实现多列车的节能运行.不考虑再生制动时侧重富余时间的合理分配[4]，考虑再生制动时多关注耗散型方式下多列车的协同，以降低列车净能耗[5]或变电站能耗[6].在计划时刻表的优化过程中，各区间载荷常被简化为常数，如假设所有区间均满载[5]，忽略了客流空间分布差异对速度曲线和能耗计算的影响.

针对上述问题，本文在线路开行方案确定后，考虑断面客流空间分布差异，结合列车节能操纵策略和耗散型再生制动能的利用，研究如何优化地铁列车计划时刻表以实现节能.

1 模型构建

考虑一条车站总数为N的地铁线路的计划时刻表节能优化问题，上行首发车站为车站1，下行首发车站为车站N+1，依次编号，如图1 所示.定义车站索引为n，区间索引为n′，列车索引为k，总列车数为K.在给定研究时段[ts,te]内，假设每列车均按照固定发车间隔h和周转时间C沿线路站站停周期运行，且每列车在同一车站的停站时间，同一区间的运行时间和同一折返站的折返时间均相同.

图1 地铁线路示意图Fig.1 Sketch of a metro line

1.1 列车运动模型

地铁线路客流时空分布具有不均衡性，各区间载客量Ikn′通常存在差异，故列车质量Mkn′随Ikn′的变化而变化.对运行于区间n′的列车k，假设各区间载客量Ikn′，乘客平均质量m0和列车空载质量M0已知，则列车质量Mkn′为

列车区间运行节能的速度曲线包含最大牵引、巡航、惰行和最大制动4个阶段[2]，如图2所示.各阶段受动态变化的牵引力、阻力和制动力作用，结合牛顿第二运动定律，速度曲线各阶段的基本运动方程为

式中：ρ为回转质量系数；vkn′t和xkn′t分别为t时刻运行于区间n′列车k的速度与位置；dkn为列车k离开车站n的时刻；ak(n+1)为列车k到达车站n+1的时刻分别为列车k运行于区间n′时牵引转巡航、巡航转惰行和惰行转制动的时刻；FT(vkn′t)、R(vkn′t,xkn′t)和FB(vkn′t)分别为牵引力、阻力和制动力，规定与列车运动同向为正、反向为负，R(vkn′t,xkn′t)包含列车基本阻力和因坡道、曲线和隧道等线路条件变化引起的附加阻力，可按经验公式[7]计算.

图2 列车k 运行于区间n′的速度曲线示意Fig.2 Speed profile of train k running in section n′

考虑载客运行时，实施最大牵引力或制动力可能会降低乘客舒适度，列车操纵策略优先使用最大牵引或制动力，若超过最大加减速度限制，则列车按允许最大加减速度运行.定义为最大牵引力，为最大制动力，α、β分别为最大加、减速度，列车牵引力和制动力分别为

定义Xn为车站n中心线位置，则列车运行需满足

式(5)和式(6)分别为速度和位置边界约束；式(7)为阶段转换时刻顺序约束，时，表示无巡航过程；式(8)确保列车速度不超限速vlim.

1.2 净能耗计算模型

假设再生制动能可在同一供电分区内上下行方向多列车之间互相传递，电能机械能转化效率ρme，机械能电能转化效率ρem和线损ρl均为常数.定义q为供电分区索引，Q为供电分区总数.将研究时段[ts,te]以Δt等间隔划分，则在[t,t+Δt]内供电分区q的牵引能耗与再生制动能为

式中：φn′q为0-1变量，若区间n′属于供电分区q，φn′q=1，否则φn′q=0；vc为再生制动与空气制动临界速度，当且仅当vkn′t>vc时才产生再生制动能.

未安装储能装置的地铁线路中，再生制动能具有即生即用的特点.若再生制动能未被及时利用，富余再生制动能将由电阻以热能形式耗散.故Δt内被利用的再生制动能应取牵引能耗与再生制动能的最小值.净能耗则定义为总牵引能耗与被利用再生制动能的差，即

1.3 时刻表优化模型

列车运动模型和净能耗计算模型表明，净能耗主要由时刻表决定的多列车牵引、巡航、惰行和制动的时空分布与牵引能耗和再生制动能的大小决定，载客量是影响能量计算的重要因素之一.因此，结合各区间载客量差异，时刻表优化模型以净能耗最小为目标，在均匀发车间隔h和固定周转时间C下，优化列车计划区间运行时间Tn′，停站时间Dn，车站N至N+1 与车站2N至1的折返作业时间TN(N+1)和T(2N)1，实现多列车再生制动能利用的协同.

引入辅助变量列车到发时刻akn和dkn，为保证同一区间、同一车站、同一折返站，所有列车运行时间、停站时间和折返时间是一致的，辅助变量与决策变量的关系为

时刻表优化约束条件为

式(16)确保列车按固定发车间隔h均匀发车；式(17)确保列车周转时间C不变；式(18)和式(19)确保区间运行时间与停站时间不超过上下界式(20)和式(21)确保折返作业时间满足最小折返作业时间要求；式(22)确保决策变量为正整数.

2 求解算法

列车运动模型和净能耗模型是高度非线性的，难以通过解析法获得最优解，选用操作简单、收敛较快的粒子群算法[8]求解.流程如图3所示，包含粒子群算法基本流程，二分法求解列车速度曲线和多列车能耗计算，主要步骤如下.

图3 求解算法流程Fig.3 Flow chart of solution algorithm

Step 1初始化.设定最大迭代次数I与粒子规模J，定义i、j分别为迭代次数与粒子编码索引，χij为第i代粒子j的位置，Vij为第i代粒子j的速度.对决策变量进行编码，随机生成J个可行粒子，并随机赋予各粒子在[Vmin,Vmax] 内的初速度.

Step 2计算粒子χij适应度f(χij).判定χij是否可行，若不可行，赋予f(χij)一个大数L；若可行，调用速度曲线计算和能耗计算模块.利用二分法求解给定时刻表下的速度曲线.因地铁线路站间距普遍较短，大部分区间节能速度曲线由“牵引—惰行—制动”(简称三阶段)构成，故优先计算三阶段曲线.以牵引阶段持续时间为决策变量，初始化与上下界，按图3 计算三阶段速度曲线及运行时间比较与时刻表计划时间Tn′，更新上下界，直至′.

式中：[]为按四舍五入取整.

计算三阶段曲线后，判定是否需要巡航.若三阶段曲线的最高速度超过设定巡航速度或线路限速，则加算巡航过程，以巡航时间为决策变量，更新其上下界，直到.

当所有区间速度曲线计算完毕后，执行能耗计算模型，赋予净能耗值.

Step 3更新个体最优与群体最优.比较χij与的适应度：若，令；否则，第i代所有J个粒子个体最优更新完毕后，比较与J个粒子中适应度最小的粒子若令否则

Step 4按更新粒子速度和位置.

式中：w为惯性权重，取值[0.9,1.2]；r1、r2为[0,1]间的随机数；c1、c2为学习因子，通常均取2[8].

Step 5终止判定.设两个终止判定准则：一是迭代次数i达到设定上限I，二是种群最优粒子适应度持续I′代保持不变.满足其一则终止算法，输出群体最优值；否则，返回Step 2继续迭代.

3 案例研究

选取北京地铁某线路进行实例研究，线路总长约22.7 km，共14 个车站. 列车周转时间C=4 572 s，发车间隔h=254 s.研究时段取所有列车均上线后的一个发车间隔，即[4 572 s,4 826 s] .根据案例线路2019年2月某日统计数据，研究时段内每列车各区间载客量如图4所示，上下行方向各区间载荷呈现显著差异.时刻表优化模型中计划停站时间与区间运行时间的上下界设为原时刻表±5 s.其余参数取值：vc=5 km/h ，M0=192 t ，m0=60 kg，ρ=0.06，ρem=0.9，ρme=0.6，ρl=0.1，α=0.83 m/s2[4]，β=-1 m/s2[4]，120 s ，，Δt=0.1 s，I=500，I′=50，J=50.

图4 列车各区间载客量Fig.4 Train loads of each section

3.1 能耗随列车质量与运行时间的变化规律

以区间15 为例，在其他条件保持不变的前提下，仅改变列车质量与区间运行时间，利用二分法计算节能速度曲线，获得牵引能耗随列车质量与运行时间变化规律，如图5所示.

由图5 可知，牵引能耗随列车质量增加而递增，随运行时间增加而递减.当运行时间由180 s增加至200 s 时，列车质量为194 t 和304 t 的牵引能耗分别降低18.07%、20.03%.说明列车质量不同时，不同运行时间下的节能潜力存在差异，故考虑线路客流空间分布差异对地铁时刻表节能优化是必要的.

图5 区间15 不同列车质量与区间运行时间下的牵引能耗Fig.5 Traction energy consumption under different train mass and running time of section 15

3.2 时刻表优化模型节能效果分析

设定5种场景：S1为原时刻表，S2、S3、S4分别为假设各区间列车质量均为AW0(193 t)、AW2(282.08 t)和AW3(306.8 t)时应用本文模型获得的优化时刻表，场景S5 为考虑图4 载客量差异时获得的优化时刻表.

(1)优化结果.

S2～S5 均采用粒子群算法计算10 次，取净能耗最小的解为各场景的优化时刻表，S1和S5的时刻表如表1所示.经检验，优化时刻表S5符合时刻表优化约束条件.将5个时刻表应用于载客量为图4 情景，对比各优化时刻表的节能效果，计算场景S1～S5的节能效果，如表2所示.

表1 场景S1 和S5 的时刻表Table 1 Timetables of S1 and S5

表2 S1～S5 节能效果比较Table 2 Energy saving performance of S1 to S5

由表2可知，假定各区间载荷相同的3个场景S2～S4节能效果略有区别，S3节能效果较优，主要表现在促进了更多再生能的利用.相比之下，S5节能效果最显著，净能耗比原时刻表S1 降低了11.72%，比S3 进一步降低了2.13%.由此说明，考虑客流空间分布差异比假设载荷为常数时能进一步提高节能效果.

(2)牵引能耗与再生制动能利用分析.

进一步分析S5 相比S1 的节能效果，图6 给出S1与S5各区间速度曲线.由表1和图6可知，相比S1，S5延长了大部分区间的运行时间，降低了列车区间运行速度，有利于降低单列车总牵引能耗.

图6 场景S1 与S5 各区间速度曲线Fig.6 Speed profiles of each section in S1 and S5

S1 和S5 牵引能耗与再生制动能的时空分布如图7 所示.优化时刻表S5 比原时刻表S1 促进了多个供电分区内牵引与制动列车的时间重叠，具体优化位置如图7(b)所示.此外，模型考虑了供电分区内上下行方向所有列车的协同，不局限于相邻列车，故场景S5车站9/20至12/17供电分区内发生了3～4列列车互相利用再生制动能的情形.

图7 场景S1 与S5 牵引能耗与再生制动能的时空分布Fig.7 Temporal and spatial distribution of traction energy and regenerative braking energy in S1 and S5

4 结 论

本文考虑地铁实际运营过程中载客量变化对列车能耗的影响，研究地铁客流空间分布存在差异时的地铁计划时刻表节能优化方法，并以北京地铁某线路为例，分析不同载荷下的节能潜力和时刻表的节能效果.结果表明，优化时刻表能有效降低列车牵引能耗，提高再生制动能利用率，且考虑断面客流空间差异比假定断面客流为常数的方法能够进一步提升2.13%的节能效果.然而，本文案例中列车载客量是模型已知的输入参数，实际运营中客流是动态变化的且具有一定的随机性.结合不同时段动态变化地铁客流特征，深化研究列车时刻表优化与动态调整方法将是今后的重点工作.