原子核电荷半径经验公式的理论误差分析

陶 烨， 王小保, 董国香

(湖州师范学院 理学院， 浙江 湖州 313000)

随着实验设备的更新和测量方法的进步，越来越多的原子核电荷半径被测量.为更好地描述原子核电荷半径，学者们提出了很多唯象经验公式.本文对这些经验公式进行理论误差分析，依照数据得出最合适的参数，说明Z1/3律和A1/3律哪个更能准确地表述半径，从而为提出更准确的经验公式做准备.本文根据文献[1]选取最新的885个实验数据，对相关原子电荷半径研究[2]公式的单参数、两参数、三参数进行检验，并对公式进行理论误差分析，利用多元回归分析法得到相关参数；采用相关软件Origin将数据拟合，得出参数值及误差范围；将参数值及误差范围代入公式，验证参数值的可靠性，得出实验值与理论值的均方根偏差.本文的创新点在于将多元回归分析运用于参数值的获得，避免编制程序，方便更多人理解和运用，使实验简单化，利于普遍了解，减少核物理的神秘感，激发更多人对核物理的兴趣.

文中涉及的公式中，N为中子数，Z为质子数，A为质量数，r0为核电荷半径常数.有些公式会给出相关系数R，R越大，误差越小，变量之间的线性相关程度越高.

1 原子核电荷半径经验公式

1.1 单参数公式

本文研究中子数N≥8和质子数Z≥8的核电荷半径实验值.A1/3律的单参数公式[2]为：

Rc=r0A1/3.

(1)

利用数据拟合得：r0=0.845 71±0.000 13 fm；R=0.996 35.根据均方根偏差公式：

(2)

另有一个较准确的Z1/3律单参数公式[3]：

Rc=r0Z1/3.

(3)

拟合得：r0=1.227 04±0.000 19 fm；R=0.995 04.且值较式(1)明显减小，说明该式较式(1)更准确，在描述半径中Z1/3律比A1/3律更接近真实值.也有研究证明Z1/3律比A1/3律更准确[4].

1.2 两参数公式

仅用单参数描述半径存在的误差较大.有学者提出与同位旋相关的二参数公式[5]：

(4)

式中，(N-Z)/A为相对的中子剩余.拟合参数为：r0=1.005 03±0.000 07 fm；a=0.351 74±0.000 44；=0.070 63；R=0.708 17.该式在前面的基础上有了进一步的提高，说明仅凭单参数是无法准确描述半径的.

把式(4)换成Z1/3律[5]：

(5)

拟合得：r0=1.264 10±0.000 10 fm；a=-0.013 69±0.000 49；=0.072 63.通过比较式(4)和式(5)发现，A1/3律和Z1/3律两参数公式对半径描述的准确度大致相同.

将Z1/3律公式进行转换，得：

(6)

拟合得：r0=1.263 07±0.000 09 fm；a=-0.007 98±0.000 18；=0.071 75.通过比较式(4)、式(5)和式(6)发现，A1/3律和Z1/3律两参数公式描述原子核电荷半径的准确度大致相同.

1.3 三参数公式

为准确地描述原子核半径，在式(4)的基础上增设一个参数.因式(4)适合描述Z>38的核素.下面的三参数公式更符合Z≥8的核素[3]：

(7)

拟合得：r0=0.953 18±0.000 15 fm；a=0.156 42±0.000 71；b=2.413 98±0.005 70；=0.042 37.通过对比发现，该式比上述所有公式更准确，对半径的描述最接近真实值.

为形成对比，用Z1/3律再次研究.该式为：

(8)

拟合得：r0=1.202 65±0.000 17 fm；a=-0.080 95±0.000 28；b=1.136 74±0.002 68；=0.061 44.虽然三参数比单参数、二参数准确，但A1/3律比Z1/3律更准确.

1.4 四参数公式

计算核电荷半径值受很多因素影响，考虑到壳效应或形变的影响，圣宗强等在文献[2]中加入Casten因子项,用Np表示价质子,用Nn表示价中子,通过两者的简单组合,NpNn或NpNn/(Np+Nn),可以把原子核的一些物理量联系在一起.其中NpNn/(Np+Nn)也称Casten因子,用P表示.在计算Casten因子P时,文献[2]的幻数选取为:计算价质子,选取ZM=2、6、14、28、50、82、(114)作为参考质子幻数；计算价中子,选取NM=2、8、14、28、50、82、126、(184)作为参考中子幻数.

本文依据选取的幻数进行参数拟合.四参数公式为[2]:

(9)

拟合得：r0=0.948 73±0.000 15 fm；a=0.146 34±0.000 71；b=2.066 06±0.005 99；c=0.357 73±0.001 58；=0.026 15.显然，修正后的公式误差减小.说明原子核电荷半径[6]受很多因素的影响，需考虑更多情况才能更接近真实值.对丰中子核素，壳演化现象不仅会发生，相应的幻数也会发生改变，且不同幻数的选择会影响结果.因此式(9)还有待进一步完善考证.

1.5 五参数公式

文献[7]考虑到奇偶摆动，提出了五参数公式，即在(9)式的基础上增加一项δ，偶偶核δ=1，奇奇核δ=-1，其他情况δ=0.该式为：

(10)

拟合得：r0=0.949 01±0.000 15 fm；a=0.147 40±0.000 7；b=1.987 22±0.006 40；c=0.360 26±0.001 58；d=0.128 71±0.003 71；=0.026 21.结果与式(9)差别不大.

2 数值处理方法

对所有数据进行多元线性回归分析.在回归分析中，如果有两个或两个以上的自变量，就称为多元回归.用多个自变量的最优组合共同预测或估计因变量，要比只用一个自变量进行预测或估计更有效，且更符合实际.因此多元线性回归[8]比一元线性回归的实用意义更大.

以式(7)Rc=r0(1-a(N-Z)/A+b/A)A1/3为例，该式可以变形为Rc/A1/3=r0-r0a(N-Z)/A+r0b/A,符合Y=A+X1B+X2C的形式，即A=r0；B=-r0a；C=r0b；Y=Rc/A1/3；X1=(N-Z)/A；X2=1/A.根据最新数据分别得Y、X1、X2值，并进行回归处理，借助所得图像分析得A、B、C值.实际操作时加入各值误差，图像有明显的范围，使参数有一定的误差值，数值会更准确.根据计算得r0、a、b值.要判断得到的数据是否准确，可将相关参数代入原子核电荷半径公式.将有关原子核的N、Z、A等值代入，得到该原子核的理论半径，再与实验数据对比，得出均方根偏差，就可以判断参数的可靠性.本文欲让数值更准确，使所有数据都有一定的误差范围.而像上述所规定的A、B、C的误差难以直接引用，故其中有关误差的计算可利用公式得到.若B=AC，则对ΔB/B=ΔA/A+ΔC/C进行计算就可得出误差值.该方法是基础物理明确表明的，故而可靠.由此可见，回归分析方法在原子核领域有重要的应用意义.

3 分析与讨论

通过多元回归方法将得到的参数值代入相应的原子核电荷半径公式，得到理论计算值.下面用图表的形式将实验值与理论值进行对比，检验公式的可靠性，结果见图1至图5.为便于比较，各公式用符号表示，见表1.

表1 各符号对应公式Tab.1 The corresponding formulas which different labels stand for

表1 (续)

图1选取的A区间的质量数为80～130，将单参数式(1)和式(2)的理论值分别与实验值比较.从图1可知，单参数公式不能很好地描述实验结果.但对比两种理论计算发现，虽然A1/3律单参数公式的数值与实验值相差甚远，但趋势与实验值非常接近.从结果看，单参数公式Z1/3律要比单参数公式A1/3律精确.

对两参数来说(图2)，R3和R4对原子核电荷半径的描述几乎相同，且都较接近真实值，相对单参数而言进步巨大.说明(N-Z)/A这个相对中子剩余项对原子电荷半径的影响较大，这与文献[9]得出的结论一致.由于两参数公式比单参数公式多了同位旋项，故对半径的描述更准确.考虑多种因素对原子电荷半径的影响，有学者提出三参数公式，拟合结果见图3.

为方便比较，图3选取某一区间数据，图左选取的1/A为0～0.03，图右选取的1/Z为0～0.03.由图3可以发现，增加一项参数后，经验公式的值更贴近实验值，两者之间无论是数值还是趋势，都比两参数公式有进一步的提高.不论是A1/3律还是Z1/3律，都与实验值重合得很好，说明公式对这一段原子电荷半径的描述十分准确，也说明同一公式对原子电荷半径的描述不一定具有相同的准确度.因为公式有其适用的范围，在某一范围内，公式对其半径的描述结果可能不尽如人意，但换另一个范围，也许结果会符合实验值.通过对比图1、图2和图3可以看出，就单参数而言，A1/3律比Z1/3律的准确度更高；就两参数和三参数而言，A1/3律与Z1/3律对半径的描述准确度相当；单从A1/3律或Z1/3律角度看，三参数比两参数准确度高，两参数比单参数准确度高.

图4选取A区间的质量数为80～120，将四参数公式(R8)和三参数公式(R6)进行计算得到的理论值分别与实验值比较.从图4(1)发现，R6(红点)与R8(蓝点)对原子核电荷半径的描述几乎相同，且都较接近真实值.为观察明显，将部分区间放大，得到图4(2).由图4(2)可见，蓝点更接近黑点，即R8比R6更准确，两者之间仅差一个P因子.同时也看出，R8比R6更贴合实验值，说明了P因子的重要性.P因子对解释集体运动、形变等原子核低激发态结构的性质有更好的表达.

由于R8与R9的结果十分接近，所以图5(1)中的线依旧重叠在一起.但相比图4，两公式并不十分贴合实验值，说明公式还存在有待完善的空间.不过两公式的准确度似乎看不出差别，因此可换一种方式进行比较，观察其理论值与实验值之差.

图5(2)所示，若点分布在0附近，说明理论值与实验值相差不大，公式的准确度更高.红、黑两点的分布趋势虽相同，但比较而言，红点比黑点更趋于0值，波动更小，即公式R9的准确度略高些.两者相差不大，说明奇偶摆动对原子核电荷半径影响较小.

4 结 语

本文根据最新的实验数据，对A1/3律和Z1/3律的单参数、两参数、三参数，以及添加P因子项的四参数和添加δ项的五参数原子核电荷半径的经验公式进行理论研究.通过多元回归分析法，拟合得到了参数的具体数值及相应的误差范围；把具体的参数代入公式，计算得到了原子核电荷半径的理论计算值，并与实验数据进行比较，得出各公式的准确度.

通过研究发现，考虑的参数越多，相应的公式对描述原子核电荷半径更准确.说明原子核电荷半径受很多因素的影响，其中，同位旋效应对原子核半径影响较大；壳效应只在某一范围内有较突出的影响；奇偶摆动对原子核电荷半径虽有影响，但影响较小.对Z1/3律和A1/3律的选择要根据参数数量：对单参数而言，Z1/3律比A1/3律好；对其他参数而言，两者描述程度相近，或A1/3律比Z1/3律稍好.