空间曲线索的平衡方程及单索几何判定

张志宏

(上海师范大学 土木系，上海 201418)

1 引 言

索是预应力体系中最为基本的构件或单元。从平衡后的几何形状区分，索可分为平面曲线索(单索和双索体系，如传输线、索道、斜拉桥拉索、船舶锚索、深海钻井平台系泊索、悬索桥的悬索、张弦体系的下弦索和单榀平面空间索桁体系)和空间曲线索(如非球面或非圆平面的索穹顶结构、空间索桁体系和单层肋环型索网结构等的环索)两种；从垂度大小可以分为悬索和拉索；从是否闭合可以分为闭合索和非闭合索；从是否连续可以分为连续索(一阶导数连续)和离散索(一阶导数不连续)。其中，单根曲线索是索杆体系或索杆梁体系的计算分析的基础。索段的有限元数值单元模型主要有半解析的抛物线索单元、悬链线索单元、三节点或更多节点等参元等平面曲线索单元和二节点只拉不压杆单元等直线索单元。平面曲线索单元在大垂度连续长索的静力分析中具有计算精度高和计算量小等优点，但运动单索将不再保持为平面曲线，平面曲线假定将不再成立。直线索单元可很好地满足小垂度离散短索的静动力分析要求，但用于长索计算分析需要划分较多的单元，计算量较大[1-5]。因此，长期以来实际工程设计时，一般以直代曲对曲线索进行数值模拟，忽视了单索的力学本质及其受力特点的连续化解析。

从数学的角度而言，曲线和曲面是经典微分几何的研究对象。其中，曲线在直观上可看成一个空间单自由度质点的运动轨迹，可以用一组单参数方程来描述。如在三维欧氏空间R3的直角坐标系中，可表示为一组方程x1=x1(t),x2=x2(t),x3=x3(t),其中t为参数，满足该参数方程的点的集合就是空间曲线。由理论力学知识，质点的运动采用矢量表示为r(t)=x1(t)e1+x2(t)e2+x3(t)e3,而曲线的方向根据参数增加的方向确定正向。经典微分几何[6-8]中取空间曲线的弧长s作为参数,即r(s)=x1(s)e1+x2(s)e2+x3(s)e3。

然而，空间曲线的经典微分几何描述，似乎与力学描述仍旧有些距离。实际工程中的空间曲线索具有初始截面形状，且存在一定的抗弯、抗剪和抗扭刚度。采用连续化方法通过弹性力学坐标来描述则是曲线梁，与熟悉的直梁理论(Bernoulli梁或Timoshenko梁)相比，曲线梁一般情况下是具有初始曲率和挠率的弯扭耦合构件，如横截面翘曲和剪切变形等，平截面假定一般情况下也不再适用[9-11]，因此，曲线梁的数学和力学描述更复杂。

本文围绕单索的力学模型展开讨论，主要包括两部分内容。一，圆截面空间曲线梁平衡方程推导和理想柔索假定的引入，以及平面索曲线在整体坐标系下的等价形式。二，从体系几何判定方面，对单索的静不定次数和动不定次数进行讨论。本文的内容比较基础，着重于连续化分析和力学概念，供有关学者和工程师参考。

2 空间曲线索的平衡方程

先考察空间曲线梁在自然坐标系下的平衡方程，然后通过抗弯和抗扭刚度退化方法获得理想柔索的一些结论。本文采用先难后易、先繁后简的顺序，目的是与工程实践相一致。

2.1 圆横截平面空间曲线梁的平衡方程

细长的空间曲线构件通常称为曲线梁。空间曲线梁的平衡方程可采用微分方法在整体坐标系下建立[12,13]。图1中，x1x2x3表示空间曲线梁横截平面的形心主轴所在的局部坐标系。

圆形横截面构件在零状态几何下，可以假定自然坐标系与形心主轴局部坐标系重合，但对一般形状截面，此假定是不成立的。即便是圆形截面，弯剪扭耦合变形后两者也不再重合。因此，由于构件截面形状的存在，有必要引入横截平面形心主轴局部坐标系与自然坐标系eNeBeT(截面形心所在空间曲线的自然坐标系)的旋转角度参数θ(s)，如 图1(a)所示。这里存在一个简单的平面旋转变换，其变换关系如下。

(1)

(2)

图1 空间曲线梁的微元体

Fig.1 Differential segment of spatially curved beam

令p=κsinθ,q=κcosθ,r=τ+∂θ/∂s,其中κ表示曲率，τ表示挠率，代入式(2)得

(3)

采用微分方法，由微元体空间力系平衡关系建立任意形状横截面空间曲线梁的平衡方程，如图1(b)所示，由原点O处的合力和合力矩平衡得到(λ为常数且0≤λ≤1.0)

略去二阶及以上高阶小量

(4)

式(4)即为任意横截面形状的空间曲线梁一阶近似平衡方程的矢量形式，理论上与坐标系的选取不相关，虽然F(s)和M(s)定义在横截平面上，eT定义在自然坐标系中，f(s)和m(s)定义在横截面形心主轴上，但都可以看作是整体坐标下的矢量，这是矢量分析的优点即所谓的标架不变性。

在横截平面的形心主轴局部坐标系中，并将式(1，3)代入式(4)，整理得到式(4)的标量形式如下。

(5)

注意，式(4)标量形式可以直接在整体坐标系中展开。式(5)建立在横截面形心主轴坐标系下，该局部坐标系与自然坐标系的旋转角度θ(s)是未知的，且与横截平面的内力相关，非圆横截平面在大扭转位移后不再保持为平面。

值得指出，建筑结构用索主要有平行钢丝束PE索、多股钢丝绳和单股大扭角钢丝绳等，其中，平行钢丝束拉索截面钢丝排布为六边形，钢丝绳为分层捻制而成。单根钢丝有扭转拉伸，钢丝和钢丝之间存在挤压及摩擦。因此，真实的索是组合结构而非连续介质，不遵守平截面假定，索体制作过程的数值模拟应采用更为复杂和精细的实体单元数值模型且应考虑接触摩擦[5]。

2.2 理想柔索假定和方程退化

为了简化计算，结构工程用索一般假定：

(1)索为理想柔索，不能承受剪力和弯矩作用。

(2)满足胡克定律，材料为小应变。

因此，F1=0,F2=0,Mi=0,mi=0,则式(5)退化为

(6)

式(6)表明，(1)理想柔索的空间曲线形状和轴力大小取决于外荷载的大小和分布；(2)理想柔索的空间曲线平衡方程仅和曲率有关，与挠率无关。此外，式(6)的工程应用方面的几个问题补充如下，为区别横截平面局部坐标系，整体直角坐标系采用xyz表示。

2.3 理想柔索的次法线方向荷载

上述推导过程中，式(6)中f2(s)貌似没有作用。实际上，对于圆形横截平面理想柔索，横截面形心主轴局部坐标系与自然坐标系重合，θ(s)=0,由式(6)得到

(7)

式(7)表明，因为理想柔索的横截平面形心主轴局部坐标系与自然坐标系重合，所以索体不能承受次法线方向的荷载。或者说，平衡的空间曲线理想柔索只能承受主法线方向和切线方向的荷载。

3 平面曲线索整体直角坐标系下的平衡方程

式(6)建立在横截平面形心主轴局部坐标系下，结合上文关于平面径向索的讨论，探讨式(6)进一步退化为二维平面曲线索后的情况。

记二维直角坐标系xoy内平面曲线方程为y=y(x),没有扭转发生，φ(x)为理想柔索形心所在平面曲线的切线与水平轴x轴的夹角。圆形横截平面的形心主轴局部坐标系与自然坐标系重合，θ(s)=0。假设平面曲线理想柔索只承受竖向(坐标轴y负方向)的均布自重荷载w(s)作用(沿弧长均匀分布)，则

f1(s)=w(s)cosφ,f2(s)=0

f3(s)=w(s)sinφ，tanφ=∂y/∂x

qF3+f1=0 ⟹κF3+f1=0

平面曲线理想柔索横截平面上轴力的水平分力为

令整体坐标系沿x轴分布的竖向，即y轴正向荷载为q(x),则

整理上述推导得

Fx∂2y/∂x2+q(x)=0

(8)

由三维空间曲线索平衡方程式(6)退化得到二维平面曲线索在整体坐标系下的平衡方程式(8)。由式(8)可知，如果q(x)取常数，是沿水平轴的均匀分布荷载，则平面索曲线形状为二次曲线。这一点与自重作用下的垂索为悬链线形状并不矛盾，因为竖向自重荷载沿弧长均匀分布，那么沿x轴分布并不均匀。

4 单索几何判定

如图2所示，取单根平面或空间曲线索为隔离体，采用简化模型，以节点集中荷载方式近似考虑索体自重，隔离体本身在三维或二维空间中单元数b大于1情况下，计算自由度数均大于等于0(表1)，貌似是静定动定体系或静定动不定体系。这是想当然且错误的。而将非封闭的理想曲线柔索看作一维空间体系，无论索段数目多少，仅存在1个轴向多余约束。其实，空间曲线在自然坐标描述下就是一维的，单直线索段单根索以及多直线索段组成的单根索均为1次静不定体系。如索道可看作一维运动的、单根多直线索段的空间曲线索，滑轮支承处只有竖向约束。如表1所示，在二维或三维空间中计算自由度数之所以大于0，是由于单索是动不定体系，计算自由度数随着单元数的增加而增加是网格划分或离散逼近的原因，从连续化的角度而言实际上是无穷多。

图2 多段理想柔索曲线

Fig.2 Multiple ideally flexible cable curve

因此，单根空间曲线理想柔索是静不定动不定体系，静不定次数等于1，动不定次数等于无穷。

5 结 论

空间曲线索的平衡方程虽然可以由理想柔索假定出发建立，也可以由圆截面空间曲线梁的平衡返程退化而来。后者先繁后简，貌似复杂一些，但这对于丰富空间曲线索的力学模型是有必要的。另一方面，理想柔索并不能承受次法线方向的外荷载，这对理解均布自重作用下单索为何为平面曲线是有帮助的。

本文对单根空间曲线理想柔索的计算自由度进行了比较分析，单根空间曲线理想柔索的静不定次数为1，动不定次数为无穷。显然，单根空间曲线索的静力分析仅有平衡方程是不够的[14,15]。此外，由于其动不定特性，单根空间曲线索的基础理论仍需进一步研究和完善。