聚焦“数学模型建构”的生物学教学研究

左开俊

“数学模型建构”是通过符号、公式、图像等数学语言和数学工具，来定量描述生命系统发展状况的一种教学结构或教学程式。“数学模型建构”教学最大的特点就是：可以将日常中一个复杂的生物学问题借助数学模型的建构，最终转化成一个数学问题。《普通高中生物学课程标准（2017年版）》（以下简称“新课标”）在“教学建议”中强调：教师应培养学生通过文字描述、数学表格、示意图、曲线图等方式完成报告，组织交流探究的过程和结果，并进行适当的评价。［1］（P57-58）该段文字折射出来的“数学模型”思想，确立了“数学模型建构”教学在新课改中的地位，值得一线教育工作者对此课题进行深入探讨和研究。

一、研究过程

数学模型是联系数学知识与实际问题的桥梁，是数学知识在各个领域广泛应用的媒介，是数学科学技术转化的主要途径。［2］教学过程中，通过数学模型建构的方式辅助解决生物学问题，能促进学生综合运用能力和综合分析能力的提高；同时，数学模型建构的方式也能使相关复杂的生物学问题变得简单直观和一目了然。

（一）图像模型建构

图像模型就是将数与各种图形有机联合，实现彼此之间的数量关系。通过图像模型建构能直观形象、脉络清晰地呈现抽象概念的内涵与外延、众多概念彼此间的联系和区别，这既有利于创造性思维的培育、探究性教学的实施［3］，又有助于对学生归纳与概括能力的培养、科学性解题思维的训练。在开展和实施生物学教学时，如能经常考虑数图结合，则常会使教学方式别开生面，教学内容直观易懂。

【教学案例1】“密码子、反密码子、氨基酸”三者关系的教学

生物教学中，最难教的就是多个知识点间的相互联系与区别。多个知识点间错综复杂的联系，常让学生找不到学习或解题的头绪。此时，如果通过数图结合的图像模型，就会脉络分明地展现它们彼此间的相互关系和联系。例如：教师在开展和实施“密码子、反密码子、氨基酸”三者关系的教学时，若能建构如图1所示的图像模型，则其教学效能肯定会事半功倍。

“密码子、反密码子、氨基酸”三者关系的图像模型概述：正方形代表密码子，有64种；三角形代表反密码子，有61种；圆形代表氨基酸，约21种。从图像模型中可以直观得出：第一，一种密码子只能与一种反密码子配对，但有三种密码子（UAA、UAG、UGA）是终止密码子，没有与之配对的反密码子；第二，一种反密码子只能决定一种氨基酸，一种氨基酸却可以由好几种反密码子或密码子决定；第三，有两种氨基酸（甲硫氨酸和色氨酸）只能由一种反密码子或密码子决定。

图1 “密码子、反密码子、氨基酸”三者关系图像模型

通过图像模型建构实施教学的优点主要体现在：第一，其具备简单直观、深入浅出的特点，即建构合理的图像模型，一方面能使复杂的问题简单化，另一方面能使抽象的问题直观化。生物学教学过程中，建构有序的图像模型展现多个知识级层，依托彼此延伸关系的概念去分类识别。这种呈现方式避免了苍白语言的空洞性描述，使一些关键概念的内涵得以重点呈现。第二，其具备思维创造，能力培养的特点，即建构图像模型是一种思维创造，其能通过形象、直观的数学元素，来提高学生对生物知识的加深与巩固，帮助学生培养和提高分析问题、解决问题、处理问题方式的能力。

（二）函数模型建构

函数模型指对某个具体问题通过“建模”，转化成函数或方程式，进而解决问题的一种方法。运用到生物学中，就是将具体的生物学问题，通过运用生物学原理和数学方法将问题中所展示的概念性生物关系转化为相应的函数，然后利用数学知识和生物规则逐层铺展，以便寻求认知上的突破。

【教学案例2】“核苷酸种类、脱氧核苷酸和核糖核苷酸成分上异同点”的教学

2019版普通高中生物教科书（以下简称为“新教材”）在安排“核苷酸种类、脱氧核苷酸和核糖核苷酸成分上异同点”的教学内容时，建立了如下的概念模型（见图2）。该概念模型虽然清晰地解决了DNA与RNA在化学组成成分上的异同，但此概念模型未能涵盖本节教学内容的其他两个知识概念：第一，核苷酸的种类；第二，脱氧核苷酸和核糖核苷酸成分上的异同点。

图2 DNA与RNA在化学组成成分上的异同

如何通过模型的再建构，将众多概念直观、形象地整体展现呢？教师可以引入函数思想，通过建构函数模型，来开展教学。其教学过程为：首先，依据核苷酸分子组成，建构函数模型：把每个核苷酸分子看成是关于五碳糖和碱基这两个变量的二元一次函数，记作f（x，y）=x+y+P，其中x∈{核糖，脱氧核糖}，y∈{A，G，C，T，U}，P（磷酸）可看作是常数，同时当x=核糖时，y≠T，当x=脱氧核糖时，y≠U。其次，建构函数模型：根据已设定的元素种类，画出函数模型（见图3）。［4］

图3 “核苷酸种类、脱氧核苷酸和核糖核苷酸成分上的异同点”的函数模型

再次，观察模型，得出相关结论：第一，核苷酸的种类：函数模型中，每个直角三角形分别代表一种核苷酸，第一象限为DNA区，含有4种脱氧核糖核苷酸，即APD、CPD、GPD和TPD四种；第二象限为RNA区，含有4种核糖核苷酸，即APR、CPR、GPR和UPR四种，故核苷酸的种类有8种。第二，脱氧核苷酸和核糖核苷酸在成分上异同点：根据X轴的正负方向，得出五碳糖的不同，即脱氧核苷酸的五碳糖是脱氧核糖，核糖核苷酸的五碳糖是核糖；根据Y轴正方向区域不同，得出脱氧核苷酸和核糖核苷酸共同的碱基是A、C、G，脱氧核苷酸特有的碱基是T，核糖核苷酸特有的碱基是U。

通过函数模型建构实施教学的优点，主要体现在：第一，其具备概念铺展，树立观念的特点，即函数模型能够依据重要概念的元素构成，直观而清晰地呈现各构成元素之间的异同点。能帮助学生形成正确的生物学重要概念，支撑众多概念的脉络化形成，帮助学生建立正确、科学的生物学观念。第二，其具备辨识比对，去伪存真的特点，即学生通过对两个或多个概念的观察、比较和辨析，能迅速地找出其彼此间的联系和区别，一方面帮助学生消除了错误概念，建立了科学概念；另一方面也培养了学生归纳与概括、分析与辨别的思维品质。

（三）多边形模型建构

多边形是指由三条或三条以上的线段连接成的平面图形。在生物学教学中，建构多边形模型可以直观地解决多倍体复杂的减数分裂、受精作用、基因型及比例等生物学问题。这一方面提供了一种避免大量假设与讨论的解决问题模式；另一方面也实现了将多维、复杂的问题在推理上可视化。

【教学案例3】“多倍体减数分裂产生配子的基因型及比例”的教学

“新教材”必修2，在介绍低温和一定浓度的秋水仙素处理萌发的种子或幼苗，能够引起细胞内染色体数目加倍的应用时，用常规教学方法来分析二倍体生物产生配子的基因型及比例，学生是可以理解的。但如果将二倍体拓展为多倍体生物体时，常规方法就显得非常杂乱和繁琐。如何解决“多倍体减数分裂产生配子的基因型及比例”的教学难题，可以通过建构多边形模型来进行诠释。

其教学过程为：首先，展现特殊案例，思考问题，即先呈现“基因型为Aa的番茄幼苗，经适宜浓度的秋水仙素处理后形成四倍体”的案例，再引导学生思考，其在减数分裂时，形成配子的基因型及比例为多少？其次，根据已有知识体系，进行推理，即基因型为Aa的番茄二倍体，经适宜浓度的秋水仙素处理后，变成四倍体AAaa，这四个基因位于四条同源染色体上，在减数分裂形成配子的过程中，两两随机分向一极。（注：此阶段若按照常规教学法，应分三种情况进行讨论、分析、综合，最后筛选出结果。常规教学方法虽能解决问题，但过程繁琐、逻辑推理要求高，思维过程不形象）。再次，尝试建构四边形模型解决问题，即以基因型AAaa中的4个字母A，A，a，a为长方形的四个顶点。减数分裂的实质同源染色体的分离，就可以直观地表现为字母的两两结合，这样，就顺利且直观地在四边形模型上完成了三组连线（2条边长1组；2条宽1组，2条对角线1组），展现了四倍体减数分裂产生配子的基因型及比例的教学了（见图4）。（提示：如果是类似于基因型为AAa的三倍体，在建构四边形模型时，另一顶点可以用零替代。）

图4 “四倍体减数分裂产生配子的基因型及比例”的四边形模型

通过多边形模型建构实施教学的优点，主要体现在：第一，其具备融会贯通，推理探究的特点，即能够运用学生掌握的多边形相关知识、证据和逻辑，对生物学议题进行建构、思考、展开论证，培养了学生创新学习和创新思维的能力；第二，其具备他山之石，可以攻玉的特点，即依托多边形的几何知识（如案例4中四边形的2条边长、2条宽、2条对角线）为载体，引导学生将抽象、复杂的生物学行为问题，转化为形象、可演示的模型行为，体现了“新课标”的学科间联系的思想，培养了学生进阶认知的品质。

（四）集合模型建构

集合模型建构是一种在生物教学中，利用集合的属性、类型（子集、交集、补集等）及相关运算定律，直观呈现生物学关联概念之间的共性和异性，方便学生顺畅地解决物质性质区分、细胞器分工、生物进化、遗传学概率计算等生物学问题的一种学习模式。通常情况下，集合模型一般由正方形和圆组成（见图5）。

图5 通用集合模型简图

正方形代表的是具有同一相对广泛属性的所有事物的集合；A、B等圆圈代表在集合范围内，蕴藏着自我独特属性的同一类事物的集合；若不同的圆圈彼此间交叉（图中阴影部分），说明不同的群体间除了具有彰显独特个性的属性外，还具有相似的内在属性特征。

【教学案例4】“组成生物体元素”的教学

教师在实施“组成生物体元素”内容的教学时，可以通过构建“组成生物体元素”的集合模型（见图6），呈现各元素之间的归类及从属关系。

图6 组成生物体元素的集合模型图

从图6中可知：圆①中的C是最基本元素，圆②中的C、H、O、N是基本元素，圆③中的C、H、O、N、P、S是主要元素，圆④中的C、H、O、N、P、S、K、Ca、Mg是大量元素，圆⑤中的Fe、Mn、B、Zn、Cu、Mo、Ni是微量元素。通过集合模型的建构，一目了然地厘清了各元素之间的层级分类和属性分界。

【教学案例5】“生物进化学说”的教学

教师在讲授达尔文自然选择学说和现代进化理论时，可以依据两者之间的异同点，建构“自然选择学说与现代进化理论”的集合模型（见图7）。

图7 “自然选择学说与现代进化理论”的集合模型图

上图视觉化地展现了达尔文自然选择学说的主要内容及局限性、现代生物进化理论的主要内容及进步性、两个划时代进化学说的发展渊源及区别联系。

【教学案例6】“遗传病概率计算”的教学

在人类的遗传病中，若只考虑A病的情况，患A病的概率为a，只考虑B病的情况，患B病的概率为b，两个事件互相独立，则不患A病和不患B病的概率分别是集合a和集合b的补集，分别用（1-a）、（1-b）表示（见图8甲）。同时患两病的概率可看成集合a、集合b的交集（见图8乙）。只患A病的概率为集合a中集合ab的补集，数值=a-ab（集合ab是集合a的子集）。［5］（P10）

图8 “遗传病概率计算”集合模型图

通过集合模型建构实施教学的优点，主要体现在：第一，其具备层次分明，直感透视的特点，即利用集合模型区域分明的框、圆、线等组合形式，配合整合性的推理过程，将学生数学课上的集合知识转换成生物科学模型，进而产生有意义的学习。第二，其具备由点及面，聚散为合的特点，即学生通过对两个或多个知识点之间的整合，让学生通过观察和比较，激发学生的整合能力，弄清彼此间的联系和区别。这一方面能帮助学生深层次地阐述生物学关联知识的本质与内涵；另一方面也能帮助学生杜绝囫囵吞枣式的僵化式学习和记忆。

（五）几何模型建构

几何模型建构特指在生物教学中，通过建构相应的几何图形，并且根据其蕴含的相关知识（如定理、公理等），探寻和发现其与生物学问题之间的共性，达到直接解决问题的一种模式。

【教学案例7】“细胞为什么不能无限长大”的教学

“新教材”必修一在介绍细胞不能无限长大时，设计了一个“运用模型作解释”的思维训练［6］（P115），此训练中将细胞的形状设计成了一个正方体模型，该细胞模型的建构让学生们很难用肉眼从生活中找到其影子，一定程度上脱离了学生们的真实生活和认知范畴。笔者在施教此部分内容时，首先，创设了一个真实的生活情境：现场给学生展示了一只熟鸡蛋，取出蛋黄交代清楚：未受精的蛋黄，实际上是一个卵细胞。引导学生通过观察卵细胞，将细胞的形状建构成一个球体模型。其次，将生物学问题演变成数学问题：卵细胞是通过什么结构从外界汲取营养物质的？汲取营养物质后，卵细胞的生长又是以何种形式呈现的？引导学生达成共识：卵细胞通过细胞膜从外界汲取营养，促进细胞体积的增长。顺势引入“表面积和体积的商”代表的含义为：单位时间内，卵细胞单位体积所摄入的营养物质的量，即卵细胞的生长速率。“表面积和体积的商”越大，卵细胞的生长速率就越快，反之则慢。通过以上的铺垫，此时就可以根据球体表面积、体积的数学公式，推导出细胞表面积和体积的关系：

再次，观察关系式，发现矛盾：随着卵细胞的生长，细胞的半径R随之增大，将其代入关系式就发现，此时细胞生长速率（S/V=3/R）却趋向于0。即单位时间内，卵细胞单位体积摄入的营养物质量为零时，细胞就可以无限制的长大。很显然，这个观点是错误的。最后，依据以上推理，得出结论：细胞的表面积与体积的关系，是限制细胞无限制长大的一种原因。

通过几何模型建构实施教学的优点，主要体现在：第一，其具备情境体验，探寻发现的特点，即通过真实情境的体验，帮助和引导学生建构熟悉的几何模型（如案例7中的球体），利用学生已贮存的相关知识（如案例7中的球体表面积和体积公式），尝试着去分析和解决生物学问题，这一方式有助于培养学生创新学习和创新思维的能力。第二，其具备具身认知，觅求真知的特点，即依托真实存在的生物为载体（如案例7中的蛋黄），培养学生善于从实践的层面探讨或尝试解决现实生活问题，培养其勇于探索生命规律的品质。

二、总结反思

“模型与建模”作为“新课标”中需要践行的教学方略，其对于生命规律理解的落实、现实生活应用的落生与学科核心素养的落地均大有裨益。就上文聚焦生物学教学的“数学模型建构”而言，其具备了如下意义。

首先，异质性的数学模型建构为学生习得生物学知识或概念提供了多元化的知识表征。函数、集合、多边形与几何等不同的模型均可以用于展示、表述不同的生物学知识，而异质性模型建构正是寻求了某一生物学知识适切性的教学方案，让学生在简约化与客观化的数学表征中获得对生物学知识的进一步理解。

其次，数学模型的建构让学生越过了“表象迷乱”的生物学概念丛林，使其进一步提炼出概念背后的生命科学规律，并延展了科学思维。上文教学研究中的案例均将生物学术语表达的知识概念，予以理性剖析后用数学模型建构来直观展示，这样既可以帮助学生凝炼知识背后的科学规律等，又帮助其进一步训练了数理逻辑递推与现象归纳分析的科学思维。

再次，数学模型建构使得数学与生物学的课程内容实现有机统整，有利于学生跨学科能力的提升，以方便进一步解决现实的生产生活问题。以上案例通过数学符号、图示以及思维等多方面在生物学学科中的整合应用，体现了“新课标”强调的加强学科间联系和渗透的要求。一方面，数学模型建构的教学方式可以促进学生用数字表格、示意图、曲线图等完成报告；另一方面，该方式也为科学、技术、工程学和数学（STEM）的综合运用奠基，方便学生解决生活中的实际问题。［7］

数学模型建构有其独特的优势所在，但在实施“数学模型建构”的生物学教学时，有诸多方面仍需注意。

第一，教师自身应当具备良好的跨数学学科素养。这要求教师不仅应当主动思考能否用跨数学学科整合的方式，进行生物学知识提炼或展示，而且应当在此过程中不断自主学习、反思梳理，从而提升自我数学素养以及将之运用到生物学教学的能力。

第二，教师要依据不同生物学知识适切性地选择数学模型进行建构。生物学概念体系庞杂、零散具象，不同的生物学知识及其本质规律在表述、探究与应用等多个层面差异较大。应在实践中反思，在反思中实践，不断探求某一生物学知识最适切的数学模型建构方案，以便于学生依据不同的数学表征予以理解记忆。

第三，数学模型的建构要基于学生的最近发展区进行教学活动。多从学生的认知角度出发，多从学生的思维角度出发，多从学生贮备的数学知识出发，开发和探究出易于让学生接受的数学模型。教师在教学中只有充分调动了学生的思维，并根据不同生物学问题的特点，引导学生进行有意义的数学模型建构，才能使数学模型内化于学生的头脑，成为他们分析和解决问题时心智操作的工具。