余数不同，结果就不相同？

马迎雪

摘要：对于数学教材中的知识，无论学生还是老师，都应该对其深度挖掘，追求知识本质，不应局限于课本本身。在学习知识的过程中要善于利用教学思想把知识连点成线，建构属于自己的知识结构，进一步提高数学学习能力。

关键词：本质 深度挖掘 过程 思想 能力

学习了“商不变的规律”（苏教版四年级上册）后，学生出现了较大面积的理解误区：200÷30=20÷3=6……2或者200÷30>20÷3。这种情况立刻引起笔者的重视和研讨的兴趣。为了调查全班的理解状况，笔者在班级进行了一次针对性问答。

对于算式200÷30=6……20，20÷3=6……2，

调查显示，大部分四年级的孩子认为余数不相等，结果就不相等。

而五年级学生不再轻易地被表面的结果迷惑，几乎所有学生都认定余数不同只代表没有充分地平均分，充分平均分后的结果是一样的，就是那个小数结果。随着学习的深入，学生在解决问题时有了更多的思考方式，当不同方法呈现的表象不一样时，学生会换个角度思考，综合理解。

在与五年级学生的交流过程中，四年级关于余数的思想误区已经消除。从除法的本质平均分入手，有余数说明有剩余的部分没有充分地平均分，如果继续平均分呢？用此方法跟四年级学生分析时，学生也是豁然开朗。

在班級较大面积出现理解误区并对该误区进行调查、解决的过程中，笔者引发了几点关于课堂教学的思考。

一、追求知识本质，规避表面误区

学生产生余数不同、结果就不相同的误解，归根结底还是因为没有重视知识的本质，没有养成从本质入手去思考问题的习惯。其实，无论课堂上，还是习题中，学生都能很快判断什么情境用除法，也知道除法包含平均分和除。但在这个余数问题中，学生似乎把目光都放在余数上，完全忘记了这是除法中产生的余数，更别说从平均分的角度来思考问题。

面对每一个新接触的数学知识，学生需要充分经历知识的产生和发展过程，才可以把新接触的知识纳入自己的知识系统中。比如，本文的案例中的除法可以说是四则运算中最抽象的运算，这就要求学生在第一次接触除法时，充分经历“平均分”的过程，知道分的是什么、怎样平均分、分的结果又是怎样的，加深对除法本质的认识。这样，学生面对类似问题时，才能及时从潜意识中调动出相应的知识本质并进行思考，这样就不易受到年级、知识广度的限制。

追求公式、定理、题海的数学时代已经过去，义务阶段更是注重对知识的追根溯源及追源过程中建立的数学素养。这显然对学生尤其是老师提出了更高的要求。要使学生获得一颗珍珠，老师必须拥有一串项链，要求学生养成从知识本质思考的习惯。老师必须对每一个知识的来龙去脉了如指掌，而且还要善于洞察学生对每个知识的关键点、困难点的把握，并及时引导突破。比如：本文围绕的案例出自“商不变的规律”，进行教学时，老师就可以从不同角度阐释知识本质。书上是利用归纳推理的方式，从三个算式的对比中找到变与不变：变化的是被除数和除数乘或者除以的数值，不变的是施加于被除数和除数的运算同时进行，而且商不变。进而归纳出商不变的规律。那除此之外，还有其他的理解方式吗？比如，放入具体情境中：“带20元买笔记本，3元一个，可以买几个”这个问题和“带200角买笔记本，30角一个，可以买几个”一样吗？情境代入的方式似乎更能让学生理解“商不变的规律”，而且也为进一步理解余数的变化提供了很好的思想土壤。

二、提高推理能力，抓住培养关键期

在调查五年级时，发现学生虽然会有短暂的思考停顿，但是很快就得出虽然余数不相等，但是得数依然相等的结论。学生尽管已经有了小数除法的理论基础，但是没有停止思考，而是用小数除法的知识得出肯定结论后，反过来思考为什么会出现余数不同的表象，一步步想到为什么会出现余数，深层次思考除法的本质，这个问题就不攻自破了。这一切都得益于学生有一定的推理能力。而对比中明显可以看到四年级学生推理能力的不足。小学生思维能力的发展是有一定规律的，其中四、五年级是推理能力发展的关键期。虽然数学课程标准中没有明确给出推理能力的定义，但是可以通俗地理解为“学生思考‘为什么是这样，然后一步步‘因为……所以……的思维过程”。所以老师应该抓住培养关键期，有意识培养学生的推理能力，上课多设计有效的核心问题及问题串，组织学生思考“为什么”。

其实数学课程本身就包含很多培养推理能力的内容，比如商不变的规律，就能培养学生归纳推理能力，这是从特殊到一般的推理。对该内容进行教学时经常出现这样有意思的现象：通过对比式子大部分学生得出的结论是“被除数和除数同时乘2，商不变;被除数和除数同时乘4，商不变……”结论倾向于就题论题。而只有少部分同学可以得出比较有概括性的结论：不管被除数和除数同时乘几，商都不变。所以，如何通过课堂教学的组织，实现全班学生从特殊到一般的思想飞跃，再进而验证推理的严谨性、完善推理等，对学生和老师都提出了更高的挑战。

对学生能力的培养和加强应该融进课程本身，老师要深入思考学生和课堂的结合点，提高课堂质量，聚焦素养培养。

三、深度挖掘教材，拓宽思维视角

学习商不变的规律是通过具体的计算、表格填写，而后对其归纳推理，进而得出结论。这个知识点本身并不难，但是容易造成什么都不变的假象。就像刚开始问学生“200÷30=20÷3成立吗”，学生都回答成立，因为懂得商不变的规律。其实学生这时根本就没有认识到虽然结果是相等的、商是不变的，但是余数是会变化的事实，更不会认识到余数不仅有变化，而且也是有规律的。因此在教学中，老师有必要深度挖掘教材，拓宽思维角度。

在教学中，商不变的规律是否可以升级为2.0版本：商不变、余数变化的规律？在设计表格时，除了被除数、除数、除法算式和商，增设余数一栏，通过同样的推理方式，得到2.0版结论：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变，但是余数会变，余数随被除数或除数变化，也要乘或除以这个相同的数。其实这个设计老师肯定不陌生，因为它正好出现在课后练习中，但是这个问题是不是可以渗透到新课程的学习中呢？各位老师可以进行思考。甚至可以拓展出更多的版本：商随被除数变化的规律、商随除数变化的规律等等。

知识和思维的延展对学生来说是有必要的，但是更重要的是通过这种方式，让学生了解到书本上的知识是有限的，而在知识学习的过程中感悟收获的思维和能力却是无限的。学生可以从不同知识内容的学习中感受到相同的思维方式和知识本质，比如：“小数点向右（左）移动引起小数大小变化的规律”（苏教版五年级上册）学习中同样应用到了归纳推理，“小数除以小数”（苏教版五年级上册）转化时亦用到了商不变的规律等等。学习时，学生对相同的数学思路又进行了一次调用和巩固，并且通过相同思维方式的牵引，把看似不同的知识点连成线，建立自己的知识体系，进一步增强了学习数学的能力。

作为老师，针对平时教学中出现的问题，及时反思，改进教学，应该成为常态，并以此激励自己：学生引领，让课堂更有质量。

责任编辑：黄大灿 赵潇晗