数学实验，让数运算教学厚重起来

马文英

【摘要】数学是“思维”的科学，运算能力是数学能力的核心要素。用数学实验的方式进行数运算的教学，让学生经历大胆猜想、小心求证、变式迁移的过程，从而在落实基于数学课程标准的数运算教学目标的同时，又能发掘出知识本身蕴含的数学思想，发展学生的思维。

【关键词】数学实验 思维 数学思想 分数计算

[提出问题]学科核心内容是某一学科的主要内容、关键内容，是联系学科各部分的中心和纽带，能反映该学科的基本问题，是学科形成稳定的内容结构后保持不变的那些东西。新课标在1～3年级和4～6年级的知识技能学段目标中均指出要让学生能够掌握必要的运算技能，准确进行运算。数的运算便是数学学科的核心内容之一，无论是哪个版本的教材，在整个小学阶段学习内容中都占有相当大的比重，它是小学数学教学的基本内容。

我们学校数学组长期进行着“小学数学实验的设计与实施研究”课题研究，小学数学实验就是基于小学生的年龄特点和认知规律，依据数学课程标准（2011年版）的目标要求，小学生借助实验材料进行观察、操作、猜测、计算、验证和推理等活动过程，来检驗数学事实（数学概念、公式、定理、规律等）、验证数学猜想、探索数学规律、解决数学问题的一种数学学习方式。

本学期我们重点研究了数学实验在数运算教学中的应用，通过数学实验探究，让学生针对算理形成猜想、进行验证、最终获得，这样的教学方式和学习方式既让学生明白了算理，学会了算法，还发展了思维。本文以苏教版数学六年级上册“分数乘整数”为例进行阐述。

[实施问题]“分数乘整数”是苏教版数学六年级上册第二单元《分数乘法》第一课时的内容，分数乘法也是小学数学中乘法内容的最后一项。在此之前学生已经掌握了整数乘法，经历了整数乘法、小数乘法的学习过程，理解了分数的意义和性质，并能正确计算分数加、减法。

依据对学生实际情况的分析及以往教学经验，这节课中后阶段往往会出现这些现象：出示例题后绝大部分学生能独立地根据乘法的意义算出最后的结果，用++的方法算出×3的结果，最后总结出分数乘整数计算法则是分母不变，分子乘整数。这时教师往往觉得整堂课的教学目标已经达成，之后的半节课就是不断地练习计算，学生学习情绪不高，觉得枯燥、乏味。课后作业得到的反馈也与设想的结果大相径庭，首先是计算错误的方式五花八门：整数乘分母，整数同时乘分子和分母等。其次，学生的思维方式也产生了微妙的变化，课堂里仅从一个例子就得出了计算法则，一定程度上给了学生这样的暗示：探究问题举一个例子就可以了，长此以往在学生眼里探究似乎就是这样的不严谨。

由此可见，对于数运算的教学，将目标仅仅着眼于“双基”是狭隘的。教师可以尝试用数学实验的方式，让学生经历操作、推理、验证等过程，在扎实落实基于数学课程标准的教学目标的同时，又能发掘出知识本身蕴含的数学思想，发展学生的思维，让数运算教学厚重起来。

[教学实践]

一、大胆猜想——尊重学生的直觉思维

对于数的运算，学生在进入课堂前并非一无所知，他们总会有一些想法，或对或错，与其小心翼翼想绕过它，不如直面它，然后战胜它。罗素说“参差多态是幸福的源泉。”课堂亦如此。

【分数乘整数课堂教学片段一：大胆猜想】

本节课执教教师没有使用任何情境导入，而是直截了当、开门见山揭示课题：“分数乘整数”。

师：如果用（b≠0）表示分数，用n表示整数，凭直觉，大胆猜想一下，你认为像这样的分数乘整数，可以怎样计算？

学生大胆说出了自己的想法：有以下3种，

师：这些猜想，是不是都合理呢？口说无凭，必须要进行——验证。

学生在经过独立思考、同桌交流探究后得出：

②号方法不合理。因为分数乘整数，结果应该比这个分数大，而分母变成“b×n”、分子不变，整个分数值会小于原分数值，所以不合理。

③号也不合理。因为分子和分母同时乘n，分数大小不变，这是分数的基本性质。

基于学生自发产生的问题展开学习 ，让学习真正发生。在学生的心里，分数是一种包含着分子和分母两个数的数，那么在计算分数乘整数时究竟整数是乘分母还是乘分子，还是两个都乘呢？直面正确，学生学会了正确的算法;直面错误，学生依然能习得正确的算法，但还多了学生经历的逻辑推理的过程。逻辑是针对问题进行理性思维的方式，关系到我们思想的正确性和有效性。如学习小数乘法，学生会从小数加法算法迁移得出小数乘法计算也可能是“相同数位对齐”，不妨就此展开讨论，通过估算和分析就能发现结果不合理，那这样的方法自然是错误的。

二、小心求证——发展学生的分析思维

算法的抽象离不开算理的支撑，只有深刻理解了算理，才能更好地感悟和运用算法。在学生探究算理的过程中，本身就涵盖着推理、抽象、建模等基本的数学思想，扎实推进验证环节，促进学生思维能力的提升。学生在片段一中，已经有了对分数乘整数算法的初步猜想：×n=，猜想是否成立呢？给学生时空，让他们小心求证。

【分数乘整数课堂教学片段二：小心求证】

在验证环节执教教师给学生提供了如下实验单：

经过独立探究，学生呈现了各式各样的例子和验证方法。

①把分数乘整数转化为小数乘整数。如×3=0.2×3=0.6= →×3=。

②画图。

③根据乘法的意义，借助加法和乘法之间的联系，让学生经历“乘法 → 加法 → 乘法”的推导过程，最终抽象出算法：×3 = +  += 。

整个验证环节其他学生在交流分享自己的验证方法时也认真倾听他人，或认同或补充或反驳。

如针对方法①学生就进行了辨析，是不是分数乘整数都可以用小数乘法计算？最终明确用小数乘法计算有局限，若转化成的小数很复杂就不方便计算了，因此还是要寻找属于分数乘整数本身的计算方法。

针对方法②，学生认为可以和方法③整合思考，它们都是运用了乘法的意义，只是表现形式不同。在这个交流过程中学生们达成共识，原来分数乘法与之前学习的整数乘法、小数乘法意义一样，从而沟通了小学阶段所有种类的乘法运算算理和算法。最后针对方法③抽象出分数乘整数的算法模型：×3 = ++，可以简写为=。并且结合图形和之前的推导过程让学生从不同角度再次对算法中两个“3”做出解释，增进数学理解，发展数学思维。

验证的过程充满了抽象、推理、转化、模型等基本思想，深入激活了學生的数学思考，学生在这个过程中经历的是思维的碰撞，处处是学生思维能力的拔节点。

三、变式迁移——内化学生的批判思维

如果数学思想方法在新授中属于“隐含、渗透”阶段，那么在巩固练习中就进入了明确、固定的阶段，也是数学思想方法的获得和应用的过程。精心设计练习也是固化数学思想方法、提升思维能力的一条途径。

【分数乘整数课堂教学片段三：变式迁移】

出示两道巩固练习：4×;2÷9×4。针对第2题，同学们反映：这题有点麻烦。

教师介入：能不能也把它看作是分数乘整数的算式？学生们恍然大悟，是啊，2÷9不就是嘛，其实就是算 ×4，原来还能这样转化啊！

到这里教师并没有终止对学生思维的挑战，难度继续升级。

“巩固新知”环节教学目标的定位应该要实现多元，从“双基”走向“四基”，从“两能”走向“四能”，对学生思想方法的掌握和思维发展水平的评估也应该纳入“巩固新知”的环节。以上教师设计的巩固练习题既让学生复习了分数乘整数的算法，又培养了学生的推理能力。一次经历生出了新的意义，学生在已有基础上对知识有更新的思考，更重要的是这种思考已然提升为一种数学方法或一种数学思想。

数学实验的学习方式带给学生的是“充分地经历”，是“深刻地体验”，也是“数学地思考”，在此之后学生对数运算的算理就会有自己的一套思考方法，如之后的分数除法，因此数学实验是在扎实落实基于数学课程标准的教学目标的同时，又发掘出了知识本身蕴含的数学思想，发展了学生的思维。

综上所述，运算能力作为数学能力的核心，本身就涵盖着抽象、推理、建模等基本的数学思想，通过数学实验的方式让学生经历提出猜想、进行验证、得出结论、巩固应用，可以让教学超越具体的知识和技能深入思维层面，让学生能够通过数学学会思维。由具体的方法与策略过渡到一般性思维策略的教学与思维品质的提升，最终让学生学会学习，学会思维，获得适应终身发展的核心素养。正如布鲁纳所说，教学不仅应当尽可能使学生牢固地掌握科学内容，还应当尽可能使学生成为自主且主动的思想家，这样的学生当他在正规的学校教育结束之后，将会独立地向前迈进。

【参考文献】

田润根，胡明.小学数学“数的运算”教学中渗透数学思想方法的实践研究[J].西北成人教育学院学报，2015（4）.