“心形函数”的爱情

陈璐

一封数学情书

发明了解析几何的法国数学家勒内·笛卡尔和瑞典公主克里斯蒂娜之间，有一段浪漫的爱情传说，堪称理工科学霸的表白典范。

故事开始于1648年斯德哥尔摩的一个午后，52岁的笛卡尔正在街头研究数学问题。这位法国哲学家、数学家，因为黑死病的蔓延逃到了瑞典，此时他的全部财产只有身上破破烂烂的衣服和随身携带的几本数学书。

他专注的神情吸引了一位路过的少女——18岁的克里斯蒂娜。她拿起笛卡尔的数学书和草稿纸，和他交谈起来。言谈中笛卡尔发现，这个女孩思维敏捷，对数学有着浓厚的兴趣。两个人道别后不久，笛卡尔接到国王的通知，他被聘为公主的数学老师。克里斯蒂娜就是这个公主。爱情，在日复一日的相处中悄然萌芽。然而，当这一切传到国王耳中时，国王大怒，下令马上将笛卡尔处死。最终，在公主的哀求下，笛卡尔被遣送回法国。

法国数学家勒内·笛卡尔

身体羸弱的笛卡尔回国后很快就染上了黑死病，生命进入倒计时。在最后的日子里，他仍然思念着克里斯蒂娜，每天坚持给她写信，并盼望心上人的回音。可是这些信都被国王拦截下来。在寄出第13封信后，笛卡尔永远地离开了这个世界。这封最后的情书中没有写一句话，只有一个方程式：

r=a（1-sinθ）。

看不懂这封信的国王，召集了全城的数学家，却没人能解开这个方程式。于是国王放心地把信交给了闷闷不乐的公主。拿到信的克里斯蒂娜立刻找来纸和笔，将这个函数的曲线图在坐标轴上画了出来，一个心形图案出现在眼前，这是笛卡尔对克里斯蒂娜最后的告白。这就是著名的“心形函数”。

这段传说既美丽又“硬核”，符合人们对一位数学家至深告白的全部想象，因此流传甚广，感动了无数痴情男女。

历史上，笛卡尔确实担任过克里斯蒂娜的老师，并因她而死，但故事远没有这么浪漫。和传说不同，克里斯蒂娜并不是一位柔弱的公主，她的父亲是著名的“北方雄狮”古斯塔夫二世。1632年古斯塔夫二世在吕岑战役中去世，年仅6岁的克里斯蒂娜即位成为女王，并在20多年的统治期内，带领瑞典进入鼎盛时期。

1649年9月，53岁的笛卡尔接受克里斯蒂娜女王的邀请，从荷兰来到瑞典的斯德哥尔摩担任宫廷教师，为女王讲授哲学。此时的克里斯蒂娜23岁，已掌权多年。克里斯蒂娜对笛卡尔的到来感到非常高兴，免去他一切宫廷琐务，只需每周3次在早上5点前来和她讨论哲学问题。但是，她没有料到的是，笛卡尔痛恨早起。因为自幼体弱多病，笛卡尔养成了赖床的习惯，上午11点之前不会起床。刚好，那一年冬天是斯德哥尔摩60年来最寒冷的冬季，所以，这场教学成了一道意料之外的催命符，笛卡尔很快患上肺炎，并因此在第二年2月离开了人世。

真正和故事中这位公主形象比较相符的，其实是波希米亚国王腓特烈五世的长女——伊丽莎白公主。她天性聪慧，求知欲极强，在认识笛卡尔之前就通读了他的大部分著作。1643年，笛卡尔与伊丽莎白公主开始通信。伊丽莎白渴望弄懂笛卡尔的形而上学问题，她特别关注肉体与灵魂之间的关系。她提出的第一个问题，就与身心互动有关。但笛卡尔的回信并没有令她感到满意，所以公主恳请笛卡尔就“灵魂的激情”做出更清楚的说明。这影响了笛卡尔的思考方向，同时也令《论灵魂的激情》这本著作得以诞生。

更有意思的是，伊丽莎白还很喜欢数学，她的一项业余爱好就是解代数题。笛卡尔曾在给伊丽莎白的信中写道：“经验告诉我，有能力了解形而上学推论方法的人，大多数无法理解代数的结构;而那些能够理解代数的人，又通常没有能力了解形而上学。我尊贵的公主殿下，在我看来，您却同时能够轻易地了解二者。”而公主给笛卡尔的信，落款总是“对您充满深情的朋友”。虽然两个人相差22岁，但他们的书信中充满了感情，看不出任何年龄差距。几乎所有的笛卡尔传记作者都猜测，他们之间是不是有了男女之情，然而谁也无法从这些满是思想讨论的书信中捕获任何证据。

不过，对于笛卡尔去瑞典宫廷担任女王老师的决定，伊丽莎白曾坚决反对，态度异常激烈。后来，当波兰瓦萨王朝的瓦迪斯瓦夫四世向伊丽莎白求婚时，她断然拒绝，理由竟然是：“我已经爱上了笛卡尔的哲学，并希望为此奉献终身。”

人类的心脏，爱情的象征

心形函数所使用的极坐标系，是在笛卡尔去世80多年后，由艾萨克·牛顿在他1736年出版的《流数法和无穷级数》中首先应用到平面上的。此外，心形函數的英文名称“Cardioid”，则是意大利数学家卡斯蒂隆1741年正式命名并发表在英国皇家学会期刊《自然科学会报》上的，意为“像心脏的”。

即便心形函数不是笛卡尔发明的，但作为解析几何的奠基人，没有他，便不会有心形函数的诞生，人们因此乐得将这个故事安在他身上。那么，为什么我们看到心形就会联想到爱情呢？从什么时候起这种图形成了爱情的标志呢？

“在14世纪之前，它并不意味着爱情。”美国加州大学洛杉矶分校的中世纪文学教授埃瑞克·贾格尔在他那本《心形图案的前世今生》中指出。尽管现在人们看到心形的时候就会联想到一系列与爱相关的词语，但古希腊人可能会对这种联想感到极度困惑。

现在人们熟悉的这种形状，最早是作为装饰图形出现在许多古希腊陶器上的。那些被粗略描绘的叶子等植物图案，环绕成一个并不复杂的曲线，且不蕴含特殊意味。但当爱情的概念在中世纪开始成形时，它的象征意义也随之成形。

心形函数曲线图

爱情诗《梨之恋》的插图

早在古希腊，抒情诗就常常把心和爱联系在一起。在已知最早的希腊故事中，诗人萨福为自己“疯狂的心”因爱颤抖而痛苦。她生活在公元前7世纪的勒斯波斯岛，身边环绕着她的女弟子，她为她们写了充满激情的诗歌，比如，“爱摇撼了我的心，就像山上的风吹乱了橡树。”

古希腊哲学家也都不同程度地同意，心脏与人们最强烈的情感有关，包括爱。柏拉图认为，在爱情以及恐惧、愤怒、暴怒和痛苦等情绪中，胸部占据了主导地位。亚里士多德进一步扩展了心脏的作用，赋予它至高无上的地位。古罗马人时常把心和爱联系起来。爱神维纳斯在她的儿子丘比特的帮助下点燃了人们的心，而丘比特的箭总能射中人的心脏。在心形图像的历史上，常被提及的一幅作品，是诗人蒂博1255年创作的法语爱情诗《梨之恋》的插图，这被认为是解剖学文献之外的第一张心脏插图。人们认为，这首诗和这幅图画的灵感，来自一个深陷爱情的人可以把自己的心交给所爱之人，就像诗中的情人把梨给别人一样。然而，诗作插图中这颗心的形状更像一只梨，与我们如今熟知的心的样子仍然有些差别。

另一个早期将心脏与爱结合在一起的例子，来自中世纪手抄卷《马内塞古抄本》。这是一本创作时间在1300年至1340年之间的情诗合集。其中一页的插图中，一棵奇特的树矗立在一对夫妇之间，形成一颗心的轮廓，心形中的徽章上写着拉丁文的“爱”。

到了1400年，意大利诗人弗朗西斯科·巴尔贝李诺的诗集《爱的记录》出版。书中插图大胆描绘了裸体的丘比特，他站在一匹脖子上戴有心形花环的马的背上，射出箭和玫瑰。这个心形图案很快得到普及，心形开始出现在挂毯、扑克牌和其他艺术作品中。

意大利诗集《爱的记录》中的插图

如今收藏在罗浮宫的15世纪早期挂毯《心的礼物》，描绘的是一名男子小心翼翼地拿着一颗红色的小心脏，向一个静坐在绿叶间的女子走去，似乎要把这颗心交付于她。这一形象成为“宫廷式爱情”最受欢迎的代表之一。宫廷式爱情是支配着欧洲宫廷贵族行为的柏拉图式爱情规则。这一富于幻想的画面，在贵族圈子里广泛流传，表现了高尚而有礼貌的爱情。15世纪，约翰内斯·谷登堡用活字印刷机引发了一场信息革命，心形所代表的爱情含义也就此传播开来，为人们广泛接受。

如何用数学找到真爱

数学家用数学的方法处理与爱相关的问题，这似乎是很常见的做法。2010年菲尔兹奖得主赛德里克·维拉尼曾在他的日记体自传《一个定理的诞生》中写道，“我坐飞机一向只选择经济舱”，因为从统计学意义上来说，“经济舱里的姑娘更可爱”。

数学还被运用到对婚姻关系的预测中。心理学家约翰·葛特曼和数学家詹姆斯·穆雷开发了一种数学模型，通过给夫妻对话时的情绪表现打分，比如认同加4分、有兴趣加2分、拒绝沟通扣2分，以此来量化夫妻吵架时彼此间的互动和影响，并通过视觉化的图像分析，为遭遇婚姻危机的夫妇提供咨询。

他们发现，最终每对夫妇的分数走势都会慢慢趋于稳定，不会有太大出入。这种趋势代表了这对夫妻之间的问题。如果他们的对话评分曲线一直向下，就代表两个人实在很难彼此欣赏，婚姻最终可能走不下去。根据不同的函数图像，葛特曼和穆雷将婚姻分为5类：不稳定型、理智型、逃避型、敌意型和分裂型。其中前三者尽管相处模式不同，但都属于比较能够长久的婚姻。通过对130对伴侣长达12年的跟踪测验，这套模型的总體预测精准度高达94%。葛特曼和穆雷将这项研究写成书出版了，名为《婚姻的数学：动态非线性模型》。

如果说将爱情和数学联系起来，在以前是专属于数学家的高端玩法，那么，如今随着在线约会逐渐普及，数学在爱情中的作用逐渐加强。在日本漫画《恋爱禁止的世界》中，为了解决少子化问题，日本政府禁止了自由恋爱，改为由政府全面接管。也就是说，政府会通过分析一系列遗传基因和各种数据资料，利用数学模型帮你决定合适的婚姻对象，保证两个人之间的契合度。尽管这是一个极端的假设，但越来越多的交友软件正在利用一些数学解决方案来帮助用户匹配潜在的合适人选。

伽利略曾说：“数学是描述现实、揭示世界运作原理的语言。这种通用语言现已成为检验真理的黄金标准。”或许，正是因为爱情的不确定性，人们才希望能够用一种准确的语言去描述和检验它。而数学“非错即对”的标准，也能够为那些在情感中犹豫不决的人提供直接的解决方案。不过，值得注意的是爱因斯坦所说的那句话：“数学定律离现实越近，就越不确定;数学定律越确定，离现实就越远。”