几何画板在平面向量数量积求最值中的应用

王晓明

【内容摘要】随着教育课程的不断变革，各科的任课教师要根据现有的课程标准采取高效的课堂授课模式。在高中数学教学中，几何画板因其自身的优势，已经成为众多数学教师首选的教学工具。运用几何画板辅助教学，不仅能增加课堂教学容量、优化课堂教学结构，而且能增强学生的学习兴趣，激发学生的探究精神。高中的平面向量知识对学生是有一定难度的，尤其是对于平面向量数量积求最值问题，学生处理起来相当棘手。因而，借助于几何画板这个教学工具来进行动态演示，使得数学问题更加形象、直观，学生易于理解、掌握，同时增强学习积极性，进而提高课堂教学效率。所以，本文就几何画板的优势特点探讨其在平面向量数量积求最值中的应用，旨在为高中数学教师的教学提供一定的借鉴意义。

【关键词】几何画板 平面向量数量积求最值 应用

一、几何画板的优势特征

几何画板在高中数学教学中是一种非常有用的教学工具，它可以被应用到平面几何教学，立体几何教学甚至是高中代数教学。几何画板操作简单，功能强大，而且在任意拖动几何图形的过程中保持几何关系都不变，以一种动态的方式来呈现需要学习的几何图形。因此，在如今以学生为主体的课堂教学中，借助于几何画板平台，学生在观察、探索、发现过程中深化对知识的理解和掌握。几何画板在平面向量数量积求最值中的应用有以下两大优势：

首先，数学教师运用几何画板有助于学生能更加直观地了解抽象的数学语言，从而可以加快课堂的学习进度，提升课堂的教学效率。其次，恰当地运用几何画板，可以提升学生的自主探究能力，进而提升学习兴趣和积极性，进一步培养学生的创新能力。

二、几何画板在平面向量数量积求最值中的应用

1.引入几何画板，激发学习兴趣

初中数学对于平面向量这一块要求不高，学生只需初步了解一些概念，但是高中的平面向量教学颇有难度。况且高一学生从初中升入高中，有时无法适应高中数学教学，导致学生对数学有一定的恐惧心理。因而，在进行平面向量数量积求最值的教学中引入几何画板，借助于几何画板的动态演示来突破解题难点，使得学生易于接受，更能提高学生的学习兴趣和积极性，从而取得较好的教学效果。

2.任务驱动，培養探究能力

在进行平面向量数量积求最值的教学过程中，教师可以先让学生了解平面向量数量积的相关理念，然后让学生动手操作几何画板来进行验证。在验证过程中出现的问题，可以小组之间进行相互讨论，倘若学生在多次尝试之后仍然无法解决，教师利用几何画板进行演示，之后再让学生自己进行探究。在反复的尝试中思考、分析，从而提升学生的探究能力。

3.实践应用，关注教学成果

将几何画板的教学工具引入到学生的群体中，让学生自己动手操作来解决下面习题。

已知：△ABC的外接圆是半径为1的⊙0，且∠BOC=120°，求：（1）BA→·BC→的最大值;（2）AB→·AC→的最小值。

分析：第一小题，作AH垂直于BC于点H，如图1，BA→·BC→=∣BA→∣·∣BC→∣·cos（BA→，BC→）根据平面向量数量积几何意义，BA→·BC→即为∣BC→∣与BA→在BC→上的投影的乘积，由题可得∣BC→∣=3，故求BA→·BC→的最大值就转化为求投影的最大值。为此，借助于几何画板地操作，当点A在圆上运动时，观察BA→在BC→上的投影变化情况，学生容易发现当点A在点A1处时，即A1H1与圆相切，而A1H1垂直BC时，∣BH→∣max=∣BH1→∣=1+32，所以BA→·BC→最大值为 3（1+32）。

第二小题，取BC中点为点M，如图2，根据极化恒等式，AB→·AC→=∣AM→∣2-14∣BC→∣2所以AB→·AC→即为第三边BC中线长与第三边BC一半的平方差，由题可得∣BC→∣=3，∣OM→∣=12，故求AB→·AC→的最小值就转化为求中线长的最小值，为此，借助于几何画板地操作，当点A在圆上运动时，观察中线AM的变化情况，学生容易发现当点A在点A2处，即A2、0、M三点共线时，∣AM→∣min=∣A2M→∣=12，所以AB→·AC→最小值为-12。

通过对这道习题的研究，我们发现让学生参与甚至动手操作几何画板的动态演示，从中观察、分析，这样易于探究出动点A在何处位置时取得最值。这样的课堂教学学生真正做到了合作探究，发现新知。

三、小结

高中数学教学的难度已经比初中要高很多，高中数学的知识点会结合其他的知识点共同考核，如果学生不能够完全地理解知识点的含义，很容易在综合题的解题过程中出现看不懂题的情况。因而，在解决平面向量数量积求最值问题时，借助于几何画板操作，使得学生能够更加直观地了解问题本质，从而快速有效地解决问题，大大提升教学效率。所以，几何画板使得数学课堂教学变得更灵活，更有效，更直观。其实几何画板更为学生提供了一个可以进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性，积极性和创造性，充分体现了现代教学的思想。

【参考文献】

[1]刘胜利.几何画板与计算机辅助教学.北京：科学出版社，2001.

[2]陶维林.几何画板实用范例教程[M].北京：清华大学出版社，2001.

[3]王奋平.高师数学专业开设《几何画板》课的必要性研究[J].琼州学院学报，2011，（5）：56-57.

（作者单位：浙江省天台育英中学）