一种基于Hadamard矩阵的扩频方法

李常春，刘绍华，王 伟，谢 箭

(1.重庆工程学院，重庆 400056；2.重庆金美通信有限责任公司，重庆 400030)

0 引言

在同步时分复用系统中，每路信号周期性地占用一个指定的时隙，此时隙一旦划定，不管信息量的多少或者有无，时隙所占带宽都已确定，不再变化。如果一个指定的时隙传输的信息不是固定码率，而是变化的，指定的时隙则按照最大的码率进行分配，各种变化的码率需要统一到最大码率上，传统的方法是通过扰码将低码率提高到规定的码率上去，这种方法的弊端可带来错码的扩散。要解决此问题，方法较多，一些复杂扰码算法[1-3]、基于无线信道估值算法[4-5]和扩频[6-8]方法均有效，而扩频方法主要用在抗干扰和保密通信等领域。综合考虑，采用具备严格正交特性的沃尔什码作为扩频码对所传信息进行直接扩频后再传输，沃尔什码通过Hadamard矩阵[3]递推运算生成，本文称此方法为基于Hadamard矩阵的扩频方法，该方法的复杂度低并能解决速率匹配问题。

1 Hadamard矩阵

正交编码的实现最为关键的是要找到正交码组，正交码组数又和每组正交码的码元个数有关，其基本规律是码组越长，码组数越多，但正交码越复杂，越不易找寻到。本文采用熟知的Hadamard矩阵，从中选取正交码组，因为它的每一行(或列)都是正交码组，而且通过它还很容易构成超正交码和双正交码。Hadamard矩阵是一个方阵(即H矩阵)，其元素仅由‘+1’和‘-1’构成，而且各行(和列)是互相正交的。最低阶的H矩阵是2阶的，即：

为了简化，将上式中的‘+1’和‘-1’简写为‘+’和‘-’，上式就变为：

阶数为2的幂的高阶H矩阵可以从下列递推关系得出：

HN=HN/2⊗H2，

式中，N=2m；⊗为直积。直积是指将矩阵HN/2中的每一元素用矩阵H2代替：

在H矩阵中，交换任意2行，或交换任意2列，或改变任一行中每个元素的符号，或改变任一列中每个元素的符号，都不会影响矩阵的正交性质。H矩阵中各行(或各列)是相互正交的，若把其中每一行看作是一个码组，则这些码组也是互相正交的，而整个H矩阵就是一种长度为n的正交编码，它包含n个码组。

2 基于Hadamard的扩频方法的实现

Hadamard矩阵具备严格的正交特性，被广泛应用在图像压缩编码、模式识别、人工智能和大数据等领域中[9-10]，用于特征提取，同时也用到移动、卫星等通信中的多址技术。扩频通信是指在普通通信系统中加入扩频调制和扩频解调的通信方式。在发送端，除了通常采用的基带信号对正弦载波调制之外，再用独立于传输信息的扩频码进行扩频调制，产生带宽远大于欲传送信息所需的最小带宽扩频信号，在接收端先用同步于接收信号扩频码的本地扩频码对输入信号解扩，然后再用通常的数据解调方式解调。常用的实现方式有：直接序列(DS)扩频、跳频(FH)扩频、跳时(TH)扩频和混合扩频等，考虑到抗干扰性、抗截获性和解扩算法复杂度等因素，关键是扩频码的选取，本文选用沃尔什码直接编码来实现扩频。

设计时，用VHDL[11-12]编程在Modelsimgon仿真软件[13]中仿真，选取将码率为8 kbit/s的数据统一提高到64 kbit/s的码率上去作为示例，其他情况可以类推。因为8×8 kbit/s=64 kbit/s，所以设计选用H8矩阵中某2行作为2个码组使用，具体选用H8矩阵中第2行和第6行2个码组，符号‘+’代表二进制中的‘1’，符号‘-’ 代表二进制中的‘0’，第2行码组的特点是前半部分数据和后半部分数据完全相同，都是“10”循环；第6行码组的特点是前半部分数据和后半部分数据相反，前半部分是“10”循环，后半部分是“01”循环。输入数据为‘0’时，选用第2行码组“10101010”来实现；输入数据为‘1’时，选用第6行码组“10100101”来实现，即：

3 基于Hadamard扩频方法的仿真分析

3.1 扰码和Hamard扩频数据实现对比

扰码的作用就是将二进制数字信息做随机化处理，变为伪随机序列，可以限制连“0”、连“1”的长度。其实现就是在选定特征多项式以后，通过线性反馈移位寄存器和模二和相加等来实现，连“0”、连“1”的长度与特征多项式的级数有关。在接收端，也是通过线性反馈移位寄存器和模二和相加等来实现解扰，恢复出与发送端完全相同的数字信息。该方法简单可行，但如果出现错码会带来错码扩散的弊端。

基于Hadamard矩阵的扩频方法是选用Hadamard矩阵中的某些行作为相应数据的编码，输入数据为“0”时，选用第2行码组“10101010”来代替；输入数据为“1”时，选用第6行码组“10100101”来取替。当原始数据出现“1”时，编码后会出现2个连“0”；当原始数据出现“1”到“0”的跳变，或者出现连“1”时，编码后会出现2个连“1”。也就是说，采用基于Hadamard的扩频方法实现的编码，连“0”、连“1”的长度最长也只有2个，相比扰码实现方法而言，相同码元长度短了很多，更不会出现长串的“0”或“1”，在接收端定时提取的信息就更丰富，更利于定时地提取。基于Hadamard的扩频方法在接收端根据识别连“1”的位置来解析数据，扩频后接收到的8 bit数据对应原始1 bit的数据信息，在接收端，设定相应的判决门限值，只有达到相应门限值才将数据判定为“1”，否则判定为“0”，该方法可以保证在接收端出现误码的情况下，也能正确恢复出原始数据，即具备一定的纠错能力。扰码实现的码率提升以及采用基于Hadamard扩频后的数据对比如图1所示。

图1 通过扰码和Hadamard实现的扩频数据仿真对比Fig.1 Simulation comparison between scrambling and Hadamard spread spectrum data

图1中，txc为8 Hz的时钟，txda为8 kbit/s的数据，ss_clk为64 Hz的时钟，scramble_txda为直接通过扰码方式将8 kbit/s的数据提速到64 kbit/s，ss_txda为通过基于Hadamard的扩频方法将8 kbit/s的数据提速到64 kbit/s。从图1中可以看出，编码扩频后的数据连“0”、连“1”极少，且最大长度值为2。在数字通信设备中，需要从“0”和“1”码元的交变点提取定时信息，若经常出现长“0”和长“1”，则不利于定时的提取。从图1中可以看出，基于Hadamard扩频后的数据相比扰码后的数据更有利于定时信息的提取。

3.2 扰码和基于Hadamard扩频的纠错能力对比

扰码的主要缺点就是在接收端会带来误码的扩散，这是由错码在移位寄存器内的这段时间带来。分析发现，扩散误码与线性反馈移位寄存器的特征方程式的项数有关。产生一个误码时扰码恢复后的扩散如图2所示。

图2 扰码在一个错码时的纠错能力仿真Fig.2 Simulation of scrambling correction capability of an error

图2中，clk为64 Hz的时钟，scramble_txda为直接通过扰码方式将8 kbit/s的数据提速到64 kbit/s，data_err为人为添加的1个错码，scramble_txda_err为scramble_txda添加1个错码后的数据(圈出处为错码处)，txda为8 kbit/s的数据，unscramble_txda_err为解扰恢复的数据，本应和txda一致，但其中出现了错码(圈出处)。扰码的实现是通过移位寄存器来实现的，当信道干扰造成错码时，错码在移位寄存器内的这段时间就会一直带来错码，错码会进行扩散。

基于Hadamard的扩频在1个错码时的纠错能力仿真如图3所示。基于Hadamard的扩频方法在接收端会对收到的8 bit数据进行判定，错码的个数只要低于设定的门限值就能恢复出正确的码元。

图3 基于Hadamard的扩频在1个错码时的纠错能力仿真Fig.3 Simulation of Hadamard correction capability of an error

图3中，clk为64 Hz的时钟，ss_txda为通过基于Hadamard的扩频方法将8 kbit/s的数据提速到64 kbit/s，data_err为人为添加的1个错码，ss_txda_err为ss_txda添加1个错码后的数据(圈出处为错码处)，txda为8 kbit/s的原始需要传输的数据，rxd_dess_err为扩频状态下接收端恢复的数据，与txda一致，圈出处并未因为1个错码的引入而导致错码。由此可以看出，采用基于Hadamard的扩频方法具有一定的纠错能力。

3.3 基于Hadamard扩频的纠错能力分析

基于Hadamard的扩频方法的纠错能力与选择的Hadamard矩阵大小有关，同时门限值的设定也是参照Hadamard矩阵的大小来设，一般正确数据过半即认为数据传输正确。当然也可以设定更为苛刻的条件，比如8 bit数据设定6 bit或者7 bit的门限值。连续3个错码时的仿真如图4所示。

图4 连续3个错码时的仿真Fig.4 Simulation of Hadamard correction capability of three successive errors

图4中，clk为64 Hz的时钟，ss_txda为通过基于Hadamard的扩频方法将8 kbit/s的数据提速到64 kbit/s，data_err为人为添加的3个连续错码，ss_txda_err为ss_txda添加3个连续错码后的数据(圈出的为错码处，txda为8 kbit/s的原始需要传输的数据，rxd_dess_err为扩频状态下接收端恢复的数据，与txda一致，圈出处并未因3个连续错码的引入而导致错码。由此可以看出，采用基于Hadamard的扩频方法的纠错能力不仅限于一个错码情况，其纠错能力与选用的Hadamard矩阵大小有关，Hadamard矩阵选用的越大，纠错能力就会越强。

由此可见，采用扰码的方式，即便传输过程只出现一个错码的现象发生，在解扰恢复数据时错码都会出现扩散，但如果采用基于Hadamard的扩频方法，数据中出现连“0”、连“1”概率极小，扩频后的数据相比扰码后的数据更有利于定时信息的提取，扩频后的码抗干扰能力增强；同时，在数据恢复时，可以灵活选择合理的判决门限值方法，降低对数据的误判，具有一定的纠错能力。

4 结束语

针对速率匹配问题，开展了扰码、正交码组产生和扩频等技术工作研究，通过实验仿真发现，采用基于Hadamard的扩频方法，扩频后的码抗干扰能力增强，不但有利于定时信息的提取，同时，在数据还原时具有一定的纠错能力。该方法具有一定的实用性，可以运用到具体的通信设备中。