浅谈数学建模在初中数学教学中的应用

吕鹏

【摘要】数学建模是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。在初中数学教学中，很多“课题学习”探究活动都涉及建立数学模型来解决实际问题。

【关键词】数学建模    初中数学

【中图分类号】G633.6

【文献标识码】A

【文章编号】1992-7711（2020）16-091-01

一、提出启发性问题

通过创设情景，引出问题，让学生体会到现实生活中数学建模问题的普遍存在;引导学生理解问题，明确目标，让学生知道如何把实际问题转化为数学模型。

1.创设情景，引出问题

做一件事，有时有不同的选择方案。比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的。当我们面对不同的方案，怎样运用数学方法进行比较并作出合理的选择？请看下面问题：

问题：怎样租车？

某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师。

现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示：

（1）共需租多少辆汽车？

（2）给出最节省费用的租车方案。

设计意图：在这一环节，让学生体会到现实中选择问题，对各种方案运用数学方法作出分析，在此基础上进行理性选择，具有重要的现实意义。为此提出一个问题以供研究。

2.理解问题，明确目标

（1）面对这样的问题，询问学生从哪里入手？

（2）这个问题学生要做什么？

（3）学生选择租车方案的依据是什么？

设计意图：感知问题首先要感知问题的起点和目标，即知道在什么条件下做什么事。在解决问题的过程中，问题的目标必须始终在大脑中，设计这几个问题是让学生明白起点和目标。

二、建立数学模型过程

首先引导学生学会分析问题，规划思路，让学生感知问题的整体结构和数量关系，从粗略到精细，从定性到定量的过程;然后，确定模型、解决模型问题，让学生体会把实际生活问题转化为数学问题，感受数学的魅力。

1.分析问题，规划思路

分析：第（1）问

老师：问题1.租车的方式有哪几种？

学生甲：共三种：单独租甲种车、单独租乙种车、甲种车和乙种车都租。

老师：问题2.如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？

学生乙：由240÷45=5   ，240÷30=8 ;单独租甲种车要6辆，单独租乙种车要8辆。

问题3.如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？

学生丙：汽车总数不能小于6辆，不能超过8辆。

问题4.要使6名教师至少在每辆车上有一名，你能确定租车的辆数吗？

学生丁：说明了车辆总数不会超过6辆，可以排除方案单独租乙种车;所以租车的辆数只能为6辆。

分析：第（2）问

问题5.在“问题3”中，合租甲、乙两种车的时候，又有很多种情况，面对这样的问题，我们怎样处理呢？

同学戊：用分类讨论思想——分5种情况讨论（甲车分别为1—5辆）;

同学己：老师，分5种情况讨论太麻烦了，我们还可以设租甲种车x辆，确定x的范围。

老师：很好，同学己思考的很到位，那我们如何确定x的范围呢？来同学们看下面的问题

问题6.设租用 x 辆甲种客车。

（1）为使240名师生有车坐，可以确定x的范围吗？

学生庚：可以，由45x+30（6-x）≥240→x≥4

（2）为使租车费用不超过2300元，对x的范围有影响吗？

学生辛：可以，

由400x+280（6-x）≤2300→x≤5

老师：很好那我们就知道了x的取值范围为：

4≤x≤5    （x为整数，故x取值为4或5）

设计意图：感知问题的整体结构和数量关系，从粗略到精细，从定性到定量的过程。要感知租车费用随着不同的租车方案变化而变化，怎么从一个不确定的租车总数到确定的租车总数，并不是自动生成的，需要经过人数分析，总费用限制以及各要素可变性分析、变量的确定、变量之间关系的确定及数量表示等过程。

2.建立模型、解决问题

问题7.结合问题的实际意义， 设租车费用为y（单位：元），试写出y与x的函数关系式，并分析x取何值时，租车费用y最小？

学生壬：y=400x+280（6-x）=120x+1680（x=4、5）

有以下两种方案：

方案一：当x=4时，即租4辆甲种汽车，2辆乙种汽车y=120×4+1680=2160;

方案二：当x=5时，即租5辆甲种汽车，1辆乙种汽车y=120×5+1680=2280。

所以选择方案一租车费用最少，为2160元。

设计意图：上述函数问题需要在确定自变量的范围、了解一次函数的增减性的基础上，进行分类讨论或利用函数性质得出结论。

整个建立数学模型的过程贯穿了数学中常用的分类讨论、转化的数学思想，引导学生找出解决每类或者每一步问题的关键。

本文通过租车问题，说明数学建模在解决实际问题中的应用。在这过程中巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题.把各种数学模型通过函数统一起来使用，提高解决实际问题的能力.让学生认识数学在现实生活中的意义，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。

数学建模对初中的学生来说认知要求比较高，属于问题解决层次。问题解决过程需要感知和確定问题、表征和定义问题、形成解决问题策略、组织信息、资源分配、监控评估等认知活动。与学习数学概念、数学事实原理相比较，学生学习数学问题解决的经验相对缺乏，因此，在学习解决问题时会遇到较大困难。学生习惯于接受老师的解题分析，一旦自己独立面对陌生问题，就无从下手。在这种情况下，教师因适当引导，发展学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。