关于矢量加减的平行四边形法则证明

杨昊宇

摘 要 现在物理中对力、速度等矢量的部分研究，以及数学的向量分析，还有很多地方都会用到平行四边形法则去计算、分析矢量（向量）。但你若从网上搜索，得到的证据与证明，几乎都是实践或实验证明，若有部分数学、物理上的证明，也大多是没有说清楚，更有甚者说这个是无法用理论证明的。那，如果我们一直在使用一个不能完全证明，只能实际大概正确的理论的话，我是不敢想象的。那如何证明矢量的平行四边形法则呢？我们这就进入正题。

关键词 矢量加减 平行四边形法则证明

中图分类号：G633.6文献标识码：A

在高中我们就学过，为了区别有方向的量和无方向的量，数学中我们就学到了向量（物理中称作矢量），但书中并没有给出相应的证明，其中定义了符号a、b（用黑体表示向量）用来表示向量。大家先不要去想各种向量算法，因为我们要证明的就是其中较为本质的算法。全部的证明只要用到三个最基本的关于向量的公式，就是两个向量的数量积与共线向量的加减。具体就是：

（1）a·b的结果是个标量;

（2）当a与b垂直时，a·b=0;

（a·b=|a||b|cos ）

（3）a、b共线，其加减运算与标量运算方法相同。

但为了不出现“用自己证明自己”的错误局面产生，我们也把这三个东西证明一下。

（1）先说第一个。高中书上的证明，是直接定义了向量的数量积就是a·b=|a||b|cos ，从公式可知，结果是标量。

我再举个例子，做功的最基本的公式大家一定都记得吧——W=Fs。这里初中用的（F、s共线，即cos =1时），在这里也足够用的了。举这个例子就是为了说明，两个向量的数量积的结果是个标量（cos 当作常量）。功是个标量吧，它怎么也无法有方向。力与位移是很普遍的矢量，不然，没有方向都无法构成一个完整的力，位移的基本定义也是一定有方向的。

再从理论上推一下这第一个理论，矢量的数量积的物理意义其实是两不同矢量相互作用的结果体现，像是W=Fs等等。这个结果体现不可能有方向，它是个两不同矢量作用结果，是个标量。

由这三个推证可知，两个矢量的数量积，结果一定会是个标量。这个推论高中老师都说过，考试也经常用到。我这里提一下是为了更准确严谨，怕与大家产生认知理解偏差。关于这个小理论的证明我也就只举这几个例子，因为其他还有太多例证了。

（2）那么，再看第二个，当a与b垂直时，a·b=0，这个如何证明呢？

高中书上的证明，它是直接定义了向量的数量积就是a·b=|a||b|cos ，当 =90埃琧os =0，所以a·b=0了。

但我实在无法就这样信服，于是，也不得不证明一下这个理论。我先是用了反证法，就是假设当a、b垂直时，a·b=k，则（a+b）2=a2+b2+2a·b=c2+2k，所以a+b=，由于一定是个常数，与矢量相加还是矢量相违背，所以k必须等于0，才符合矢量加减。

第二种方法就是物理意义解释。我认为矢量的数量积的物理意义就是“共线两不同种矢量相互作用的结果”，不共线的都需转成共线的（cos ），而当相互垂直时，二者之间不会有任何影响，从而作用结果为0。

（3）那再看第三个，对于共线向量加减，这个就是最基本的了，因为当a、b共线时，矢量相加减就等效于标量加减，你就可以先直接把它们看成标量，相加减（这就又回到了标量的运算法则），再改成矢量。就是：a、b共线，a+b=c，c数值上=|a|+|b|。

下面就好办了，我们手中已经有了3个完全证明过的靠谱的小公式理论了（这些也都是大家熟知的），那么证明矢量运算遵守平行四边形法则的道路就正式开始。

首先，用这三个小理论证明一个公式——矩形中的向量分解，如图1：

在前面我们之所以先列出并说明3个小理论，一大部分就是为了证明这一个。注意，这里只是矩形。

由于ABOC为矩形，又因为勾股定理，所以→OC2+→AC2=→OA2，也可以写成c2+b2=a2。因为a2=a·a，b·c=b·c两个向量的数量积是个标量，也就是等于OA2。同理，可以写成OC2+AC2=OA2，用a=OA，b=AC，c=OC，所以b2+c2=a2，對于b2+c2，你能想到什么？b2+c2=（b+c）2-2bc。这个公式可是初高中考试常用的代换式，你若不太熟悉可以自己拆开算算，这里不再赘述。

那么，之前的那个小理论还记得吗？a与b垂直，则a·b=0，那在这里，b与c垂直，那b·c=0。所以，在矩形中有关标量的计算时，（b+c）2-2bc=（b+c）2-0=（b+c）2，所以（b+c）2=b2+c2。而（b+c）2=a2，所以a2=b2+c2，再同时开根，得b+c=a。注意，这个的前提是在矩形中对向量计算的。

那这样，我们就用那三条小理论推出了这个靠谱的大理论：向量相加遵守矩形法则。但别忘了，矩形只是平行四边形的一个特例，我们要做的是推出这个理论适用于整个平行四边形。

接下来，我们要画图来进一步证明。为了方便理解，还请大家随意画两个矢量，共端点，如图2：

我们要证的是有一个与b相加是a的c，它与b构成一个平行四边形。

首先我们在端点处，作与a所在直线垂直的线L1。再做一条直线k，过b的另一个端点B与L1垂直。然后再做一条直线过a另一个端点A与k垂直。这样就出现了一个矩形。

你再连接A、B，然后再作一条直线过B与OA垂直。

OK，就初步成型了。如图3。

那么这个图又能说明什么？等一下，我们手中不是已经有了“向量相加遵守矩形法则”这个理论了吗，它可以放心用了。再看看那个图，你有没有发现什么？

OB是矩形BDOC中的对角线，BA是矩形EBCA的对角线。那就好了，→OB可拆成→OD+→OC，把其中各线段当作向量，→BA=→BC+→BE。而且图中也可以直接看出，→OA=→OC+→CA，→AE=→DO，→CA=→BE。

这下就好办了，我们把→BA平移下来，让B与O重合，如图4：

这样→OB=→OD+→OH;→OF=→OC+→OG。这里使用的是我們证明过的“矩形法则”，的确是这样吧。

我们最开始列下的三个小理论，还有一个没有用过——共线向量的加减与标量加减运算方法相同，还记得→OF是由→BA平移过来的吗，这样，就可以证明ABC与FOG全等了（AAS）。这样，→OG=→EA=→DO，→GF=→BE=→OH，于是→OD+→OC=0，→OC+→CA=→OC+→OH=→OA，所以，→OB与→OF拆分后是与→OA相等的，即→OB+→OF=→OA。

终于我们得到了矢量加减公式，但四边形OFAB真的是平行四边形吗？其实已经证明出来了，▲BEA全等于▲FGO，DE//OA//FG，角代换一下，就可以得到BA平行且等于OF，即四边形BOFA是平行四边形。

我们终于完全证明了矢量加减运算遵守平行四边形法则。或许由于我在证明中间解释过多，这个证明过程显得极为复杂冗长，但实际上这个证明极为简单小巧。你可以自行随意画几个矢量的加减，反过来推一下，全都会符合。若反过来推，你会发现一个奇妙的平行四边形特性：在一个端点作与平行四边形的任一对角线垂直的的线，再作各点与这条线的垂线，可以证明OA=OB（如图5）。这或许就是现实中矢量加减符合平行四边形法则的根本原因吧。

我再给大家重新快速理一下，方便大家自己去证明。

用到的小理论：（1）共线矢量加减方法与标量加减方法相同;（2）矢量的数量积是标量;（3）两垂直矢量的数量积为0;（4）几何上的基础原理。一共就这几个理论就可以证明出来，这几个理论由于我们也证明过，所以可以说完善了吧。

反过来证明的话，你可以证明任何一个平行四边形，用矢量的那三个小法则，都可证出平行四边形邻边“相加”等于所夹对角线。这个也很好证明。

三角法则就不必多说，矢量平行四边形法则的一个小变形，本质上一样，也可以这样证明。

这样就说明了，看似水火不相容的向量与标量，本质上也是有联系的，向量只是在标量加减上多了两个小原则（a·b为标量，a、b垂直则a·b=0），然后再用几何的面纱一挡，人们就认不出它来了。

从此，我们就可以尽情的使用这个公式理论了，再也不用被“你怎么证明它们就是作用等效”或是“实践中的误差万一才是真相”等问题困住了。由此，向量与标量也算有了一个小统一了。

所以说，计算法则上的不同源于这些量基本性质不同，向量是加上了（有关数量积的）部分特性，就出现了一个如此神奇的新理论新邻域。如果再定义几种量，使它们有更多、更不同的特性呢？我是不得而知，这就要靠大家的智慧了。

万分感谢阅读。