关于矢量加减的平行四边形法则证明

2020-06-15 04:07杨昊宇
科教导刊·电子版 2020年7期
关键词:标量共线矩形

杨昊宇

摘 要 现在物理中对力、速度等矢量的部分研究,以及数学的向量分析,还有很多地方都会用到平行四边形法则去计算、分析矢量(向量)。但你若从网上搜索,得到的证据与证明,几乎都是实践或实验证明,若有部分数学、物理上的证明,也大多是没有说清楚,更有甚者说这个是无法用理论证明的。那,如果我们一直在使用一个不能完全证明,只能实际大概正确的理论的话,我是不敢想象的。那如何证明矢量的平行四边形法则呢?我们这就进入正题。

关键词 矢量加减 平行四边形法则证明

中图分类号:G633.6文献标识码:A

在高中我们就学过,为了区别有方向的量和无方向的量,数学中我们就学到了向量(物理中称作矢量),但书中并没有给出相应的证明,其中定义了符号a、b(用黑体表示向量)用来表示向量。大家先不要去想各种向量算法,因为我们要证明的就是其中较为本质的算法。全部的证明只要用到三个最基本的关于向量的公式,就是两个向量的数量积与共线向量的加减。具体就是:

(1)a·b的结果是个标量;

(2)当a与b垂直时,a·b=0;

(a·b=|a||b|cos )

(3)a、b共线,其加减运算与标量运算方法相同。

但为了不出现“用自己证明自己”的错误局面产生,我们也把这三个东西证明一下。

(1)先说第一个。高中书上的证明,是直接定义了向量的数量积就是a·b=|a||b|cos ,从公式可知,结果是标量。

我再举个例子,做功的最基本的公式大家一定都记得吧——W=Fs。这里初中用的(F、s共线,即cos =1时),在这里也足够用的了。举这个例子就是为了说明,两个向量的数量积的结果是个标量(cos 当作常量)。功是个标量吧,它怎么也无法有方向。力与位移是很普遍的矢量,不然,没有方向都无法构成一个完整的力,位移的基本定义也是一定有方向的。

再从理论上推一下这第一个理论,矢量的数量积的物理意义其实是两不同矢量相互作用的结果体现,像是W=Fs等等。这个结果体现不可能有方向,它是个两不同矢量作用结果,是个标量。

由这三个推证可知,两个矢量的数量积,结果一定会是个标量。这个推论高中老师都说过,考试也经常用到。我这里提一下是为了更准确严谨,怕与大家产生认知理解偏差。关于这个小理论的证明我也就只举这几个例子,因为其他还有太多例证了。

(2)那么,再看第二个,当a与b垂直时,a·b=0,这个如何证明呢?

高中书上的证明,它是直接定义了向量的数量积就是a·b=|a||b|cos ,当 =90埃琧os =0,所以a·b=0了。

但我实在无法就这样信服,于是,也不得不证明一下这个理论。我先是用了反证法,就是假设当a、b垂直时,a·b=k,则(a+b)2=a2+b2+2a·b=c2+2k,所以a+b=,由于一定是个常数,与矢量相加还是矢量相违背,所以k必须等于0,才符合矢量加减。

第二种方法就是物理意义解释。我认为矢量的数量积的物理意义就是“共线两不同种矢量相互作用的结果”,不共线的都需转成共线的(cos ),而当相互垂直时,二者之间不会有任何影响,从而作用结果为0。

(3)那再看第三个,对于共线向量加减,这个就是最基本的了,因为当a、b共线时,矢量相加减就等效于标量加减,你就可以先直接把它们看成标量,相加减(这就又回到了标量的运算法则),再改成矢量。就是:a、b共线,a+b=c,c数值上=|a|+|b|。

下面就好办了,我们手中已经有了3个完全证明过的靠谱的小公式理论了(这些也都是大家熟知的),那么证明矢量运算遵守平行四边形法则的道路就正式开始。

首先,用这三个小理论证明一个公式——矩形中的向量分解,如图1:

在前面我们之所以先列出并说明3个小理论,一大部分就是为了证明这一个。注意,这里只是矩形。

由于ABOC为矩形,又因为勾股定理,所以→OC2+→AC2=→OA2,也可以写成c2+b2=a2。因为a2=a·a,b·c=b·c两个向量的数量积是个标量,也就是等于OA2。同理,可以写成OC2+AC2=OA2,用a=OA,b=AC,c=OC,所以b2+c2=a2,對于b2+c2,你能想到什么?b2+c2=(b+c)2-2bc。这个公式可是初高中考试常用的代换式,你若不太熟悉可以自己拆开算算,这里不再赘述。

那么,之前的那个小理论还记得吗?a与b垂直,则a·b=0,那在这里,b与c垂直,那b·c=0。所以,在矩形中有关标量的计算时,(b+c)2-2bc=(b+c)2-0=(b+c)2,所以(b+c)2=b2+c2。而(b+c)2=a2,所以a2=b2+c2,再同时开根,得b+c=a。注意,这个的前提是在矩形中对向量计算的。

那这样,我们就用那三条小理论推出了这个靠谱的大理论:向量相加遵守矩形法则。但别忘了,矩形只是平行四边形的一个特例,我们要做的是推出这个理论适用于整个平行四边形。

接下来,我们要画图来进一步证明。为了方便理解,还请大家随意画两个矢量,共端点,如图2:

我们要证的是有一个与b相加是a的c,它与b构成一个平行四边形。

首先我们在端点处,作与a所在直线垂直的线L1。再做一条直线k,过b的另一个端点B与L1垂直。然后再做一条直线过a另一个端点A与k垂直。这样就出现了一个矩形。

你再连接A、B,然后再作一条直线过B与OA垂直。

OK,就初步成型了。如图3。

那么这个图又能说明什么?等一下,我们手中不是已经有了“向量相加遵守矩形法则”这个理论了吗,它可以放心用了。再看看那个图,你有没有发现什么?

OB是矩形BDOC中的对角线,BA是矩形EBCA的对角线。那就好了,→OB可拆成→OD+→OC,把其中各线段当作向量,→BA=→BC+→BE。而且图中也可以直接看出,→OA=→OC+→CA,→AE=→DO,→CA=→BE。

这下就好办了,我们把→BA平移下来,让B与O重合,如图4:

这样→OB=→OD+→OH;→OF=→OC+→OG。这里使用的是我們证明过的“矩形法则”,的确是这样吧。

我们最开始列下的三个小理论,还有一个没有用过——共线向量的加减与标量加减运算方法相同,还记得→OF是由→BA平移过来的吗,这样,就可以证明ABC与FOG全等了(AAS)。这样,→OG=→EA=→DO,→GF=→BE=→OH,于是→OD+→OC=0,→OC+→CA=→OC+→OH=→OA,所以,→OB与→OF拆分后是与→OA相等的,即→OB+→OF=→OA。

终于我们得到了矢量加减公式,但四边形OFAB真的是平行四边形吗?其实已经证明出来了,▲BEA全等于▲FGO,DE//OA//FG,角代换一下,就可以得到BA平行且等于OF,即四边形BOFA是平行四边形。

我们终于完全证明了矢量加减运算遵守平行四边形法则。或许由于我在证明中间解释过多,这个证明过程显得极为复杂冗长,但实际上这个证明极为简单小巧。你可以自行随意画几个矢量的加减,反过来推一下,全都会符合。若反过来推,你会发现一个奇妙的平行四边形特性:在一个端点作与平行四边形的任一对角线垂直的的线,再作各点与这条线的垂线,可以证明OA=OB(如图5)。这或许就是现实中矢量加减符合平行四边形法则的根本原因吧。

我再给大家重新快速理一下,方便大家自己去证明。

用到的小理论:(1)共线矢量加减方法与标量加减方法相同;(2)矢量的数量积是标量;(3)两垂直矢量的数量积为0;(4)几何上的基础原理。一共就这几个理论就可以证明出来,这几个理论由于我们也证明过,所以可以说完善了吧。

反过来证明的话,你可以证明任何一个平行四边形,用矢量的那三个小法则,都可证出平行四边形邻边“相加”等于所夹对角线。这个也很好证明。

三角法则就不必多说,矢量平行四边形法则的一个小变形,本质上一样,也可以这样证明。

这样就说明了,看似水火不相容的向量与标量,本质上也是有联系的,向量只是在标量加减上多了两个小原则(a·b为标量,a、b垂直则a·b=0),然后再用几何的面纱一挡,人们就认不出它来了。

从此,我们就可以尽情的使用这个公式理论了,再也不用被“你怎么证明它们就是作用等效”或是“实践中的误差万一才是真相”等问题困住了。由此,向量与标量也算有了一个小统一了。

所以说,计算法则上的不同源于这些量基本性质不同,向量是加上了(有关数量积的)部分特性,就出现了一个如此神奇的新理论新邻域。如果再定义几种量,使它们有更多、更不同的特性呢?我是不得而知,这就要靠大家的智慧了。

万分感谢阅读。

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