朱鹏先 项巧敏
摘 要 本文主要研究连续函数的零点问题。运用函数的单调性、极值以及介值定理等技巧给出判别函数零点个数的充分条件,具体地,分别给出函数具有2和3个零点的判别情况。最后给出具体例子加以验证我们的结果。
关键词 零点 连续 介值定理 极值
中图分类号:G634文献标识码:A
0引言
在本科高等数学的教学中,介值定理非常重要。介值定理可以直接应用于判断函数零点或者方程根的个数。在数学竞赛以及考研中,研究函数的零点或者方程根的个数是一个很常见且最基本的题目。于是研究函數的零点问题具有理论意义。本文借助介值定理,系统地归纳总结出函数具有两个和三个零点的判别准则。
1预备知识
定义1:如果,则称为函数的零点。
定义2:如果为函数的极值,则称为函数的极值点。
引理1:(介值定理)若函数在上可导,在上连续,则至少存在一个点,使得。
2主要结果
定理1:若函数在上可导,在上连续且函数在区间上有一个极值点,
(1)当为极大值点时,如果,,则函数在区间上存在两个零点和;
(2)当为极小值点时,如果,,则函数在区间上存在两个零点和。
证明:(1)因为在上可导,在上连续,
所以在上可导,在上连续。
又因为,所以,。
于是,由引理1可得,至少存在一个点,使得。
观察到,在区间上严格单调递增。因此,是唯一的。
注意导在上可导,在上连续且。
所以,再一次运用引理1可得,至少存在一个点,使得。
由于在区间严格单调递减,从而得到也是唯一的。
综上所述函数在区间上存在两个零点和。
(2)同理,可得结论成立。
推论1:当或者,定理1的结论仍成立。
定理2:已知函数在上可导,在上连续,在区间上有两个极值点和。如果(或)且,则函数在区间上存在两个零点。
证明:不失一般性,我们假设是极大值点,是极小值点且,其他情况可以运用相似的方法讨论。由假设可知函数的图像如图3示:
显然是函数的一个零点。
因为,在上可导,在上连续且。
所以,运用引理1可得,至少存在一个点,使得。
由于在区间上严格单调递增,从而,是唯一的。
故,函数在区间上有两个零点。
推论2:当或者 ,定理2的结论仍成立。
定理3:假设在上可导,在上连续,在区间上有两个极值点和。如果,且,则函数在区间上存(下转第208页)(上接第202页)在三个零点。
证明:不妨假设是极小值点,是极大值点(其他情况可类似讨论,考略到篇幅问题,此处就不一一讨论),函数数图像如图4。
由已知条件我们知道函数在区间和上都满足介值定理的条件,于是对函数在区间和上分别运用引理1可得,
至少存在一个点,,,使得成立。
又因为函数在区间,和,所以,,是唯一的。据此,定理的结论成立。
推论3:当或者,定理3的结论仍成立。
3例子
接下来,我们给出两个实例来验证我们的定理结果:
例1:验证方程在区间上有且只有两个根。
证明:设,
易知,故,由定理2可得函数在区间上有两个零点,即,原方程在区间上有且只有两个根。
例2:设,试证明函数在内恰好有两个零点。
证:,,
而,令,则,
当时,,单调增加;当时,,单调减少,
所以在处取得极大值且。
故,由推论1可得,函数在内恰好有两个零点。
参考文献
[1] 华东师范大学数学系.数学分析:上册(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2001.
[2] 同济大学数学系.高等数学:上册(第七版)[M].北京:高等教育出版社,2014.