导数在实际生活中的运用

王丽浈

摘 要：数学知识来源于生活更要利用于生活，在生活的生产和科研中，我们难免会遇到项要求的最大利益的情况，最大限度的节省成本的情况，最生产效率求得最高的情况，因此数学的应用就显得十分重要。数学知识微积分中，导数是一个十分重要的应用领域，运用导数可以便利的解决生活中的很多问题，在生活中的许多领域都运用的十分广泛。

关键词：微积分;导数;应用

1.微積分中导数的概念和分析

数学中导数知识的学习在我国教育的高中和大学时期，在数学领域中也算是相对比较有难度的知识，导数作为微积分理论中具有重要地位的基础性理念，也是函数理论的局部内容。导数的实质可以看作为求极限，自变量越接近0，因变量与自变量各自的增量商的极限。数学界把这样的存在导数的函数成为函数可微分或可导。不连续的函数一定不可导。也指函数中因变量和自变量之间的关系，如果自变量的增加变化量无限接近于零时，因变量和自变量的增量商就是导数。微积分中的导数知识属于高等数学的领域，导数也充当这一个十分基础和重要的角色，早在很久之前，微积分导数的应用就已经开始展露了头角。17世纪，随着科学技术的发展与大陆扩张，人类社会的生产力不断提高，数学科学也得到了长足的发展。以牛顿为代表的一批数学家开始从各种角度进行微积分研究。尤其是牛顿所创造的理论被命名为：流数学，牛顿把变量成为流量，把变量的变化率成为流数，也就是我们口中的导数。《运用无穷多项方程的计算法》、《流数术和无穷级数》以及《求曲变形面积》就是牛顿有关于其学说的主要作品。流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程，流数理论的实质概括为：他的重点在于一个变量的函数而不在于多变量的方程;在于自变量的变化与函数的变化的比的构成;最在于决定这个比当变化趋于零时的极限。

1629年左右，来自法国的数学家费马通过研究曲线切线作法与函数极值求法，在差不多八年之后，即1637年前后，他写出了《求最大值与最小值的方法》。进行切线绘制时，造了差分f（A+E）-f（A），并且他从中发现了E因子，即导数f'（A）。在1823年左右，数学家柯西在其著作当中又将导数定义为：若函数y=f（x）在以x为变量的式子中在两个既定界限之间保持连接，而且人们为这一变量指定一个介于这两个不同界限区间的数值。那么是使变量得到一个无穷小增量。上个世纪六十年代后，数学家威尔斯特成为了ε-δ语言的创造者，在这一数学语言当中其对微积分中所出现的各种类型的极限重加表达。在微积分的理论体系当中，主要可以分为两个层面：1实无限理论，这种理论将“无限”这一个概念看作成一种现实存在的东西，是写得出，表达的清楚的客观实际;2潜无限理论，这是把这一理论看做成思想层面的理论理念。在数年的发展历程中，微积分也得到了长足的发展，其理论应用于实际也愈发成熟，其应用范围也愈发广泛。人们也开始越来越普遍的利用导数来达到自己的目的需求。导数知识的完善和应用的成熟，已经可以运用在生活中的各个领域当中去，其中变化率和极限值的知识运用，受到各个行业各个领域的广泛应用。例如在研究航天科技加速度的领域、高铁建设瞬时速度的研究领域、全国人口及老龄化的增长速度领域等等方面都去的了很大的效益。利用导数的基本概念和公式，可以解决很多需要优化的问题，导数公式是通过函数来表达的，而函数本身也就是可导的，通过导数的计算可以求得最微分最优化的结果，这个优点也被许多生产和科技领域所运用，许多问题也可以用微积分导数公式来解决。比如在原料销售行业，如何在销售中取得最大利益，在企业生产中，如何获得最大的生产效率，在楼房建造中，如何尽快的加快工程进度，在道路修善中如何才能节省成本等问题都可以用导数知识来进行计算解决，这些都属于利用导数的优势解决最优化问题。在实际生活情况中，利用导数知识解决最优化问题必须经过全面的分析和应用，首先应该正确认识到问题的所在，明确其中的因变量和自变量，并研究清楚其中的关系，并根据实际情况建立数学模型，确定函数的数值取值范围，划定合适的情况，排除概率较小的意外情况。第二步是列出导数的函数公式，将因变量和自变量的数据填充其中，并完成公式的计算过程，算出具体的变量关系、极大值、极小值以及数据的变化规律，明确指出导数公式反应出的变化结果。最后根据所得到的结果，再结合实际情况进行全面分析，根据实际的情况选择最合适的数据获得最大的效益。

2.导数在生活中的应用案例分析

第一个案例：在某个硬件生产工厂的作业中，市场需求往往是其生产与计划的风向标，满足市场需求是第一导向因素。在生产过程中将硬件的质量标准分为十层。并且质量与生产速度呈现反比，生产速度越快的产品质量往往应用于要求并不是很高的领域，而且质量与其利润将会成正比，比如最基本的每件商品的利润为三元，那么最高标准的甚至是其数倍，但生产速率毕竟是十分重要的，生产质量不同的产品在产品合格率方面也具有不小的区别。则结合实际情况回答怎样生产才能够使工厂利益最大化，怎样才能够得出极值点？解答：对于这些最大化问题的求解上，我们可以利用求导发来对函数的最值进行分析，从而解决问题。在实际应用中要关注对定义域的严格限制。假设生产到第 n 种标准硬件时可以获得最大的利润为 m。根据题目给的条件进行分析，可以得出函数m=[10+5 （n-1）][98-5（n-1）]=25（n+1）（21-n）。 对 于这一函数进行求导，可以得出 m=25（21-n）-25（n+1）=50（8-n），m=50（8-n）=0。 通 过 求 解， 可 以 得 到n=8，在 1～10 的区间内，极值点只有8一个点，所以可以将8视为最大极值点，根据导数运算的结果来看，当生产8件标准的硬件例达到最大值，可以获得3052元的最大利润。求最大利润问题就可以利用导数知识解决，针对这种实际问题，利用导数可以很大程度的减少不必要的麻烦，可以方便的为工厂求得最大程度的利润收益。第二个案例：在城市的郊区有一个采沙场，在每天的采沙过程中，按照正常的进度，采沙场每个月的产量可以达到x吨，如果按照市场价格每吨沙土的价格是 n 元，如果利用数学公式可以列出产量和价格之间的关系式：n=24200-1/5x 2 ，而且已经知道开采沙土x 吨的成本为m，成本和产量的关系式是m=50000+200x。以上是我们知道的所有条件，采沙场老板为了更多的得到利润，每个月的产量应该计划为多少才能够得到最大的利润？而且最大利润会是多少？解答：这个例子同样是求最大利润的问题，同样可以利用导数知识来解决问题，根据我们所知道的条件可以利用函数来设置关系式，在利用导数求导的解决方法来求得计算结果。f（x）=（24200-1/5x 2 ）×（50000+200x）=-1/5x 2 +24000x-50000。x 为 产 量， 其应该具备 x ≥ 0 的条件。通过求解可以得出，x=200。在函数 f（x）中，极值 点 有 200 和 -200 两 个 点， 由 于x ≥ 0，则去掉 x=200。在 x=200 时，将f（200）代入计算可得结果利润为 315万元。所以根据函数计算结果来看，当将采沙场每个月的采沙产量为200吨的时候，对采沙场来说可获得最大的利，可以获得最大利润 315 万元。利用微积分导数知识来解决问题屡试不爽，通过这种数学知识，选择合适的定义域区间，可以很方便的获得所需要的结果，达到求得极值的目的。第三个案例：速度问题一直都是需要利用数学知识进行解决的，导数在速度与路程中的应用也十分重要。小王准备驾车去到朋友家做客，最近刚购买崭新轿车一辆，小王驾车匀速行驶在去往朋友家的路上，在驾驶过程中，如果车辆每小时的油耗为 n 升，小王匀速驾驶轿车的行驶速度为 m（km/h），而且知道油耗和速度之间的关系公式n=1/12800m 2 -3/80m+8，道路规定汽车行驶速度最高不得超过 120km/h。如果小王到朋友的家需要驾驶100千米，那么小王在路途中应该保持多少的速度才能够有效的控制油耗，而且油耗最低可以达到多少？解答：速度和油耗的问题跟上文解答最大利益问题有很多相似之处，有车速和油耗两个变量，车速越快油耗越大，因此在一定的路程中来求得油耗的最小值也可以利用导数知识来解决，根据已经知道的条件，如果假设油耗量为h （m），要驾驶100千米的路程，所以我们根据题目可以得出函数：h（m）=（1/12800m 2 -3/80m+8）100/m。H'（m）=m/640-800/m 2 。令 h'（m）=0， 可 以 得 出 结 果m=80。通过分析我们可以推导，在 m小于 80 时，函数为减函数，在 m 大于80 时，函数为增函数。因此，根据函数计算结果我们可以得出，小王保持匀速 80km/h 行驶速度的过程中，达到导数的极小值点，从而可以获得更低油耗，通过代入 m=80，h（80）=11.25，所以最低油耗为 11.25L。通过上面的案例，我们可以清楚的看到，导数知识在生活中的应用是十分有优势的，而且这只是冰山一角，导数在生活中的应用不仅仅如此，还有更多领域和问题可以通过导数得到有效的解决。

3.结束语

数学离不开生活，同样生活中也离不开数学，在生活中数学的应用让我们的生活变得更加有条理，让我们的生活变得更加精致化。人们可以通过数学解决自己的问题，达到自己想要达到的目的。导数在生活中的应用无疑是十分受欢迎的，通过微积分中导数的应用，许多问题都迎刃而解，但是，我们不能仅满足于此，还要加大对导数的研究和探索，让数学丰富我们的生活、优化我们的生产进程，将导数知识在生活中的应用更加有效、更加广泛、更加便捷。

[参考文献]

[1]邓文丽，朱莹莹 .一类保序最优化问题的迭代算法 [J].统计与决策，2018，（14）：52.

[2]范梅 .论导数在函数中的应用[J].牡丹江教育学院学报，2017，（02）：120-121.

（作者单位：贵州食品工程职业学院，贵州 清镇 551400）