矩-面积定理与位移法的联合应用分析

阙仁波 （厦门大学嘉庚学院土木工程分院，福建 漳州 363105）

0 前言

矩-面积第一定理和第二定理是直接从梁的挠曲线近似微分方程出发，将积分表达式从梁的挠曲线几何性质角度进行解释，从而以求弯矩图面积和面积矩来代替直接求积分而求解两截面间由于弯曲所引起的相对转角和相对挠度的方法。若两截面中其中一个的绝对转角或绝对挠度为已知，则可以之为参考点，其绝对转角和绝对挠度为两截面之间的刚体转动和刚体平动，容易求得由它们所引起的、待求截面处的转动和平动，再叠加上相对转角和相对挠度，即可得待求截面处的绝对转角和绝对挠度[1-4]。

位移法以结点角位移和结点线位移为基本未知量，求解可得结点角位移、结点线位移、弯矩和弯矩图[5]。

结合矩-面积定理和位移法的特点，本文将两者联合应用，以位移已通过位移法求解得到的结点作为参考点，利用已通过位移法求解得到的弯矩图，采用矩—面积定理求得两结点之间指定点与参考点之间的相对转角和相对挠度，再由参考点处的角位移和垂直于杆轴向的结点线位移，即可求得指定点处的角位移和垂直于杆轴向的线位移。

1 矩-面积定理简介

1.1 矩—面积第一定理[1-4]

光滑连续弹性挠曲线上任意两点的转角之差，等于M/（EI）图中这两点间曲线所围的面积。

如图 1（a）和（b）所示：

其中AAB表示M/（EI）图中AB段的面积，它前面的负号表示正的弯矩面积将引起两点间产生逆时针方向的相对转角，即B点切线相对于A点切线逆时针转动。

1.2 矩—面积第二定理[1-4]

光滑连续弹性挠曲线上B点相对于A点切线的偏移量tB/A，等于M/（EI）图中A、B两点间曲线所围的面积对过B点铅垂线的静矩。

如图 1（a）和（b）所示：

为研究问题的方便，对图1中的坐标系作如下规定：从A点到B点为x轴正向，按右手螺旋法则，从x轴正向顺时针转90°为轴正向。按此规定，以后只需将y轴正向用箭头指示出来即可知道其坐标系的规定，如图1（c）所示。

图1 挠曲线、图和坐标系的规定

2 矩-面积定理与位移法的联合应用

根据前述的正负号的规定，由图1（a）可得：

由式（3）～（4）可知，若已知参考点处的θA和ωA，则可进一步通过式（3）～（4）求得点处的绝对转角和绝对挠度。

若以位移已通过位移法求解得到的结点作为参考点，利用已通过位移法求解得到的弯矩图，采用矩-面积定理求得两结点之间指定点与参考点之间的相对转角和相对挠度，如式（1）和（2）所示；再由参考点处的角位移和垂直于杆轴向的结点线位移，即可求得指定点处的角位移和垂直于杆轴向的线位移，如式（3）和（4）所示。

上述即本文的主要思想，下面通过示例来给予说明。

3 示例

3.1 例1

解：规定AC段的坐标系如图2（c）所示。

图2 例1的受力图、弯矩图和坐标系的规定

图2 例1的受力图、弯矩图和坐标系的规定

①以AD段为研究对象，由矩—面积定理可得：

②以段BE为研究对象，由矩—面积定理可得：

3.2 例2

图3 例2的受力图、弯矩图和坐标系的规定

解：规定GB段的坐标系如图3（c）所示。

以GB段为研究对象，由矩—面积定理可得：

4 结语

①将矩-面积定理与位移法联合应用于超静定结构，以求解两结点之间指定点处的角位移和线位移。

②在通过位移法求解得到结点角位移、结点线位移和弯矩图的情况下，以角位移和线位移已知的点作为参考点，采用矩-面积第一定理和第二定理，由弯矩图求得两结点之间指定点处相对于参考点的相对转角和相对挠度，再由参考点处的角位移和垂直于杆轴向的结点线位移，即可求得指定点处的角位移和垂直于杆轴向的线位移。

③由示例可见，该方法简单易行。