Fekete's 引理的推广

朱云颉

(湖北理工学院 数理学院,湖北 黄石 435003)

0 引言

1 Fekete's 引理

超可加引理在数学很多领域中都扮演着非常重要的角色, 如动力系统[2]、遍历定理[3]、分析论[4-8]和概率论等数学领域.范爱华、饶辉和张圆[4]得到了Fekete's 引理的一个推广——含有扰动项, 如下：

bn+bm≤bn+m+log(n+m)，∀m,n≥1，

2 结论及其证明

本文对引理2的条件做了一些加强,记o(n)是n的低阶无穷大.

bn+bm≤bn+m+f(n+m)，∀m,n≥1

(1)

f(2kn)≤(2δ)kf(n)，∀k≥1

(2)

选择2个正整数M和l，对于任意的s≥1, 令式(1)中m=n=2s-1M,得到：

b2sM≥2b2s-1M-f(2sM)

(3)

反复地使用式(3), 得到：

(4)

利用式(2), 得到：

(5)

通过式(4)和(5), 有：

(6)

由于f(n)=o(n), 那么, 对于任意的ε>0, 存在M0,使得：

f(n)<εn,∀n>M0

(7)

固定m>M0, 因为n>m, 可以令n=Lm+r,其中L∈N,0≤r

bn≥bLm+br-f(n)

(8)

为了估算bLm,利用L的二进展开, 即存在l1>l2>…>lk≥0, 使得：

L=2l1+2l2+…+2lk

(9)

Lj-Lj+1=2lj>Lj+1

(10)

因此：

(11)

所以：

(12)

利用式(2),得到：

……

将以上一组式子相加, 并且注意到L=L1,2lk=Lk，可以得到：

(13)

利用式(6), (7)和(12), 有：

(14)

(15)

因此,有：

(16)

通过式(8), 得到：

(17)

两边同时除以n, 得到：

(18)

(19)

令m→+∞, 对上式的右边取上极限, 得到：

(20)

由ε的任意性可知, 定理得证.

明显地, 如果扰动项f(n)

如果扰动项f(n)=n,那么,定理1不一定成立. 例如,令：

3 定理1在Gamma 函数上的应用

引理3设a>0是一个实数, 不等式

Γ(x)+Γ(y)≤Γ(x+y)，∀x,y≥a，

成立，当且仅当a≥a0=1.4324…,其中,a0是方程Γ(2t)=2Γ(t)的唯一正实数解[9].

由引理3, 有下述定理.

定理2 设a∈(0,1), ∀x,y≥1,不等式

Γ(x)+Γ(y)≤Γ(x+y)+(x+y)α

都成立 .

证明由x∈[1,2]或者y∈[1,2], 仅须考虑3种情况.

1)如果x,y∈[1,2], 那么x+y≥2, 因此:

Γ(x)+Γ(y)≤1+1≤Γ(x+y)+(x+y)α

所以, 在这种情形下定理2是成立的.

2)如果x,y∈(2,+∞), 那么, 通过引理3和定理1可以立即得到定理2.

3)如果x,y其中一个落在区间[1,2]上，不妨假设x∈[1,2],那么,y∈(2,+∞),因此,Γ(x)≤1且Γ(y)≤Γ(x+y) ,故定理2得证.

4 结束语

本文对Fekete's超可加引理添加了一个一般性的扰动项, 使得它的结论仍成立，这对研究满足超可加数列或函数的性质有着非常重要的作用.