一类连续分段线性Hamilton 系统在线性扰动下极限环个数的估计

邓 蕊，李宝毅，张永康

（天津师范大学数学科学学院，天津300387）

1 引言与主要结论

分段微分系统在控制理论和机械工程等领域具有广泛应用，因此对于分段微分系统极限环个数的估计成为常微分方程定性理论中的热点问题.目前，多数文献考虑将平面分成左右或上下2个半平面，或几个扇形区域，研究分段系统的极限环个数问题[1-5]，关于平行的k 条直线将平面分成k+1个带状区域的分段微分系统的研究相对较少.1991 年，Lum 等[6]猜想由1 条直线将平面分成2个区域的连续分段线性系统至多存在一个极限环，1998 年，Freire 等[7]证明了此猜想，并于2002 年运用相同的方法研究2 条平行直线将平面分成3个区域的平面对称连续分段线性系统[8]，给出了一类连续的分段线性系统分别存在1个、2个、3个极限环的充分条件.文献[9]给出了由2 条平行线将平面分成3个区域的分段光滑近Hamilton 系统的一阶Melnikov 函数的计算公式，并证明了Kukles系统在某一闭轨附近可分支出2个极限环.本文将平面用2 条平行直线分成3个区域，研究一类连续的分段线性Hamilton 系统在线性扰动下的极限环个数，利用Chebyshev 系统的性质[10-11]计算一阶Melnikov 函数零点的个数，从而估计出该分段线性Hamilton 系统极限环个数的上确界.

在平面内定义2 条直线l1= {（x，y）|x = -1}，l2={（x，y）|x = 1}. 这2 条直线将平面分为3个区域D1∪D2∪D3，其中：D1={（x，y）|x≤-1}，D2={（x，y）|-1 ＜x ＜1}，D3={（x，y）|x≥1}.考虑分段Hamilton 系统

其中：0 ＜ε≪1，且

易知，在直线上l1，有∂H1（x，y）/∂x≡∂H2（x，y）/∂x，∂H（1x，y）/∂y≡∂H（2x，y）/∂y；在直线l2上，有∂H（2x，y）/∂x≡∂H3（x，y）/∂x，∂H2（x，y）/∂y≡∂H3（x，y）/∂y.连续的分段线性Hamilton 系统（1）ε=0存在一族跨越3个区域的逆时针走向的周期闭轨族Γh=Γh1∪Γh2∪Γh3∪Γh4，如图1 所示.

图1 系统（1）ε=0 的周期闭轨Fig.1 Periodic closed orbits of System（1）ε=0

设周期闭轨Γh与直线l1、l2的交点分别为A1（-1，其中u∈（0，+∞）.由h=H1（x，y）=H1（x，y）|A1=H1（x，y）|A2=-（u2+1），可得轨线在区域D1上的参数方程为

其中：θ∈[β-π，π-β]，β=由h4（h）= h2（h）= H2（x，y）= H2（x，y）|B1= H2（x，y）|A1=-（u2+2）=h-1，可得轨线在区域D2上的参数方程为

本文得到如下结论.

定理对于系统（1）ε，当其一阶Melnikov 函数M1（h）≢0 时，

（1）若扰动是连续的，即P1（-1，y）≡P2（-1，y），Q1（-1，y）≡Q2（-1，y），P2（1，y）≡P3（1，y），Q2（1，y）≡Q3（1，y），则系统（1）ε在周期闭轨族Γh附近分支出极限环个数的上确界为2；

（2）若扰动是非连续的，则系统（1）ε在周期闭轨族Γh附近分支出极限环个数的上确界为4.

2 一阶Melnikov 函数

引理1[9，12]系统（1）ε的一阶Melnikov 函数为

M1（h）=I1+μ2I2+μ2μ3I3+μ2μ3μ4I4=I1+I2+I3+I4其中：P4（x，y）=P2（x，y），Q4（x，y）=Q2（x，y）.

注因为分段Hamilton 系统（1）ε=0是连续的，所以μ2=μ3=μ4=1.

利用式（2）～式（5）可得

因此，由引理1 可得

其中：

引理2式（6）中c1、c2、c3、c4、c5关于18个多项式系数pij、qij（1≤i≤3，0≤j≤2）是独立的.

证明记Δ1=d（c1，c2，c3，c4，c5）/d（pij，qij），1≤i≤3，0≤j≤2，则

容易验证Δ1是满秩矩阵，所以c1、c2、c3、c4、c5关于pij、qij（1≤i≤3，0≤j≤2）独立.证毕.

若扰动是连续的，则有

由方程组（7）可得

将式（8）代入式（6）可得

引理3式（9）中关于10个多项式系数p10、q10、pi1、qi1、p12、q12（i=1、2、3）是独立的.

证明记q12），i=1、2、3，则

Δ2是满秩矩阵，因此结论成立.证毕.

3 定理的证明

定义[10，13]设{ f0（x），f1（x），…，fn-1（x）}为开区间L 上的有序解析函数组，若对于任意k=1，2，…，n，非恒为零的实系数线性组合λ0f0（x）+λ1f1（x）+…+λk-1fk-1（x）在L 上的孤立零点个数（计重数）至多为k-1，则称{ f0（x），f1（x），…，fn-1（x）}在L 上为扩展的完备Chebyshev 系统（简称ECT-系统）.

引理4[10]{f0（x），f1（x），…，fn-1（x）}在开区间L 上为ECT-系统的充分必要条件为，对任意k=0，1，…，n -1，Wronskian 行列式Wk（x）=W[f0（x），f1（x），…，在L 上无零点.

定理的证明（1）若扰动为连续的，系统（1）ε的一阶Melnikov 函数如式（9）所示.

由v2=u2+4 得dv/du=u/v，由tan α=sin α/cos α=u得（1+tan2α）dα/du=1，即dα/du=1/（u2+1），所以有

注意到tan β=v，于是

所以有

其中：

引理5当u∈（0，+∞）时，φ1（u）＞0 恒成立.

证明当u∈（0，0.5]时，φ1（u）的图像见图2，φ1（u）＞0 显然成立.

图2 φ1（u）在u∈(0，0.5]的图像Fig.2 Function image of φ1（u）when u∈(0，0.5]

当u∈（0.5，+∞）时，注意到

则β*= β - π∈（-13π/20，-π/2），故α + β*∈（-21π/40，0）⊂（-π，0）.又因为故0 ＜v/u-1 ＜2/u2.从而对于φ1（u）的每项，有

由式（10）～式（15）可得，当u∈（0.5，+∞）时，φ1（u）＞0.证毕.

（2）若扰动为非连续的，系统（1）ε的一阶Melnikov函数如式（6）所示.

设f0（u）= u，f1（u）= v，f2（u）= u3- v3，f3（u）=α（u2+1），f4（u）=β*（v2+1）.计算得

显然W0（u）、W1（u）、W2（u）在L=（0，+∞）上无零点.

同理，由fi（u）计算得W3（u）= [（v - u）φ2（u）]/[v9（u2+1）3]，其中

引理6当u∈（0，+∞）时，φ2（u）＞0 恒成立.

证明当u∈（0，1]和（1，2]时，φ2（u）的图像见图3（a）和（b），φ2（u）＞0 显然成立.

图3 φ2（u）在u∈(0，1]，（1，2]的图像Fig.3 Function image of φ2（u）when u∈(0，1]，（1，2]

当u∈（2，+∞）时，注意到

故v/u-1 ＞2u-2-2u-4，且v/u=（1+4u-2）1/2＞1+1.6u-2（等价于0.8 ＞2.56u-2）.从而对于φ2（u）的每项，有

由式（16）～式（29）可得，当u∈（2，+∞）时，φ2（u）＞0.证毕.

计算得W4（u）=-φ3（u）/[（u2+5）6（u2+1）6v16]，对u∈（0，10]和（10，+∞）分别讨论，通过类似于引理6 的证明过程可得如下引理7 成立.

引理7当u∈（0，+∞）时，φ3（u）＞0 恒成立.

由引理6、引理7 和引理4 可知，M1（h）=0 在开区间（0，+∞）上零点个数的上确界为4，即若扰动是非连续的，则系统（1）ε在周期闭轨族Γh附近分支出极限环个数的上确界为4.