J-半交换环的进一步探讨

郭世乐

（福建技术师范学院电子与信息工程学院,福建福清 350300 ）

1 预备知识

本文所有环均指含有单位元的结合环.非交换环在环论中有着重要地位,得到广泛的重视和研究.1973年,Shin[1]提出了半交换环的概念并研究了半交换环的一些性质.此后, 人们对半交换及其推广进行了广泛的研究[2-20].Chen[2]提出了nil-半交换环的概念,郭世乐[3]提出了qnil-半交换环的概念,谢雪[4]利用环的Jacobson根,提出了J-半交换环的概念,讨论了J-半交换环的性质与扩张.

定义1[1]一个环R称为半交换环,如果对任意a, b∈R, 当ab=0时有aRb=0.

定义2[3]一个环R称为J-半交换环,如果对任意a, b∈R, 当ab=0时有aRb⊆ J(R),其中 J(R)是R的Jacobson根.

2 J-半交换环的基本性质

显然,半交换环必是J-半交换环.下面例子说明反之不成立.

例[3]令

其中ℤ2是整数环ℤ模2剩余类环, 则R是J-半交换环但却不是半交换环. 因为存在R中元素

满足 AB=0, 而 ACB≠0, 所以R不是半交换环.另一方面,可以断言R是J-半交换环,事实上,易见

所以R是J-半交换环.

定理1设 I是环R的理想, 且I⊆J(R). 若

R/I是J-半交换环, 则R也是J-半交换环.

证明 若R/I是J-半交换环. 任取a,b ∈ R满足ab=0, 则ab=0,可得a(R/I)b ⊆ J(R/I ).对于R中任意元素r, 有arb ∈ J(R/I ).则对任意的x ∈ R,1 - x (a rb) ∈ U(R/I).存在s ∈ R使得(1 - x (a rb))s =1,因此1 - ( 1 - x (a rb))s ∈ I ⊆ J(R).故1 - ( 1 - ( 1 - x (a rb))s) ∈ U(R),易得,1 - x (a rb ) ∈U∈U(R). 因此arb ∈ J(R), 从而R是J-半交换环.

推论 若R/J(R)是J-半交换环,则环R也是J-半交换环.

3 J-半交换环进一步探讨

引理1[5]设H(R) 是环R上的 Hurwitz 幂级数环, 则U(H(R))={f (x) =a0+a1x+a2x2+…|a0∈U(R)}.

引理2[5]设H(R) 是环R上的 Hurwitz 幂级数环, 则J(H(R))={f (x) =a0+a1x+a2x2+…|a0∈J(R)}.

定理2环R上的 Hurwitz 幂级数环H(R)是J-半交换环当且仅当R是J-半交换环.

证 明若H(R)是J-半交换环.任取a,b ∈ R满足ab=0,对于任意的r ∈ R,arb ∈ J(H(R)).对于任意的y∈ R ⊆ H(R),可得1 - y(a rb ) ∈ U(H(R)),故.因此R是J-半交换环.

若R是 J-半交换环. 则有环同态

对于环R以及环R的自同态α： R → R,R[[x;α]]中元素的形式和加法运算与形式幂级数环R[[x]]一致, 对于任意的r ∈ R,R[[x;α]]的乘法运算定义为xr=α(r)x.

引理3[5]设R[[x;α]]是环R上的斜幂级数环,则

引理4[5]设R[[x;α]]是环R上的斜幂级数环,则

显然, RG是一个环,称为群环.

定理4设R是一个环,G是一个 p-群, 且CharR=ps(s ≥≥1),其中p是素数.则RG是 J-半交换环当且仅当R是J-半交换环.

据定理1,RG是J-半交换环.