基于Hertz理论的落石撞击桥墩冲击力计算公式及参数研究

钟汉清，吕梁，辜友平，赵雷

(西南交通大学 土木工程学院, 四川 成都 610031)

1 前言

中国西部山区地势险要，易发生滑坡、泥石流、崩塌等地质灾害，山区桥梁时常遭受落石撞击，特别是大块石的冲击，对桥梁承载能力和正常使用造成严重影响，危及人身及财产安全。因此桥墩防撞设计是山区桥梁设计中需要重点考虑的环节，而中国现行桥梁规范尚未对落石冲击桥墩的计算方法作出规定，因此落石撞击桥墩的冲击力计算研究对于山区桥梁具有重要的现实意义。

目前落石冲击力计算多采用Hertz弹性碰撞理论、基于动量定理的计算方法和几种经验公式。如日本道路公团以及瑞士公式。罗征等以矩形桥墩为对象，进行矩形墩柱冲击试验，从动态损伤拓展、撞击力及墩顶动力响应等方面研究矩形墩柱的冲击响应过程和破坏机理；叶四桥等提出应考虑落石冲击过程中落石重量和反弹效应对落石的影响，并基于冲量定理推导了落石冲击力计算方法；陈驰等以冲量定理为基础，推导了落石最大冲击力的近似计算方法，该公式考虑了落石形状、质量、冲击速度等影响因素；陈世刚对几种半经验半理论的落石冲击力计算方法进行了探讨分析；刘茂以弹塑性修正的Hertz接触理论为基础，考虑落石冲击缓冲层的复杂过程和缓冲层厚度的影响，结合路基规范方法的落石冲击深度公式，得出落石最大冲击力计算方法；郭绍平等对现有落石计算方法进行了对比研究，针对其中存在的问题，将可以反映落石质量、缓冲土层厚度及冲击速度影响的冲击历时公式引入隧道计算方法，同时引入放大系数k，形成改进的隧道公式；聂洪琳等基于动力学原理，利用钢结构柔性吸能，提出了一种桥墩防落石碰撞柔性设计，并利用ANSYS/LS_DYNA有限元软件模拟验证了所提出的防撞设计思路的合理性和优越性；余志祥等针对外套钢板筒与加厚素混凝土保护层两种防护措施展开数值模拟；顾乡等研究落石冲击双柱式桥墩的损伤，对比分析落石冲击高度、速度、偏心距、冲击角度等因素对墩柱的损伤程度。

关于落石冲击力的已有文献主要针对明洞、棚洞、拦石墙及柔性网等主动防护结构，而针对落石冲击桥梁的相关文献则较少。该文基于Hertz弹性接触理论和Thornton弹塑性接触理论，建立落石冲击桥墩的理论计算模型，推导落石对桥墩的弹性和弹塑性冲击力表达式，并且讨论落石冲击速度、角度及落石半径对冲击力的影响；建立落石-桥墩有限元模型，将数值模拟得到的弹性与弹塑性冲击力与理论值进行对比，在此基础上引入折减系数对理论公式进行优化与修正，以期为山区桥墩防撞设计提供一定的依据。

2 落石碰撞接触理论

2.1 Hertz接触理论

Hertz假设两球相撞，且其接触面为半径为a的圆，给出了两球在压力P作用下接触问题的完备解，对应的接触面压应力分布公式为：

(1)

式中：p(r)为接触面压应力；P为接触压力；a为接触面半径；r为接触面半径变量，取值范围0～a。

从式(1)可以看出，当r=0时，有：

(2)

接触面半径与接触面变形量之间的关系：

a2=Rδ

(3)

(4)

δ=δ1+δ2

(5)

式中：R为等效半径；R1和R2分别为两个碰撞球体的半径；δ为总变形量；δ1和δ2分别为两球体的变形量。

两球碰撞的接触力与变形量之间的关系：

(6)

(7)

式中：E为等效弹性模量；μ1、μ2分别为两个碰撞球体的泊松比；E1、E2分别为两个碰撞球体的弹性模量。

2.2 Thornton弹塑性接触理论

当最大压应力pmax达到材料屈服强度时，就会在接触面上产生塑性变形区，初始屈服接触压应力py与初始屈服对应的接触半径ay的关系为：

(8)

Thornton假设碰撞系统为理想弹塑性材料，塑性区的接触压应力始终为py，如图1所示。

图1 理想弹塑性材料压应力分布

在某荷载作用下，半径为ap的接触面产生屈服，而在a≥ap的区域仍然满足Hertz接触应力分布：

(9)

联立式(8)、(9)，可以得到：

(10)

两接触物体间的接触压力为：

(11)

式中：Pe为等效弹性接触力。

3 落石撞击桥墩冲击力

3.1 落石冲击力的弹性解

根据Hertz弹性碰撞理论，质量m1、速度v1的球体与质量m2、速度v=0的球体发生对心碰撞，假定冲击球体的半径远小于被冲击球体，即r2≫r1。故可将落石视为质量为m1、撞击速度为v1、回弹速度为v2的冲击球体，将质量为m2的桥墩视为被冲击球体。基于上述假设，该文推导的理论公式主要适用于圆形截面的桥墩。落石对桥梁墩柱的冲击模型见图2。

图2 落石对桥墩的冲击模型

落石撞击桥梁墩柱可分为两个过程：① 压缩阶段：从落石接触桥墩表面到接触变形量达到最大值，此时落石处于静止状态，桥墩所受冲击力最大；② 反弹阶段：桥墩所受冲击力逐渐减小，直至落石脱离接触面。因落石的速度、所受冲击力的方向及接触变形量的方向在不断改变，导致整个碰撞过程较为复杂，为方便计算，可设冲击力方向与水平线成θ角，接触变形量方向与水平线成ɑ角，冲击角度为γ角。

根据牛顿第二定律可知：

Px=m1d(v1x+v2x)/dt

(12)

Py=m1d(v1y-v2y)/dt

(13)

采用Hertz弹性接触理论可得：

(14)

(15)

其中δx=δcosɑ，δy=δsinɑ，代入式(14)和(15)并与式(12)和(13)联立可得Px与δx、Py与δy的关系式：

(16)

(17)

化简可得：

(18)

(19)

综合式(16)、(17)、(18)和(19)可求得弹性冲击力Pe。

(20)

(21)

(22)

式中：ex、ey为横向和竖向速度恢复系数，ex=v2x/v1x，ey=v2y/v1y。

3.2 落石冲击力的弹塑性解

在落石冲击桥墩过程中，当速度较小时，落石冲击接触为弹性接触，可直接用上述公式求解弹性冲击力。而随着速度的增加，当最大接触应力pmax达到接触屈服应力py，碰撞接触面开始出现塑性区，此时对应的落石速度称为临界速度vc，初始屈服状态对应的接触面半径记作ay，此时Hertz弹性理论还适用，临界接触屈服压力Pe可由式(22)得到。

Vu-Quoc以Hertz接触理论推导了接触屈服压力与材料屈服强度之间的关系式:

(23)

式中：μ为落石的泊松比；η(μ)为μ的函数，η(0.3)=1.613，η(0.4)=1.738，当μ为其他值时，作线性插值处理；σy为桥墩的屈服强度。

将式(20)、(21)与式(23)联立可求得临界速度分量vcx和vcy，从而求得临界速度vc。

在实际工程运用中，当落石速度小于临界速度时，可按式(22)求解碰撞接触力，当落石速度大于临界速度时，接触面上会产生塑性区，还需要考虑塑性区的拓展对落石冲击力的影响。将式(1)代入式(11)，并对式(11)进行积分得：

(24)

4 实例研究与分析

4.1 实例研究

为验证该文所推导公式的合理性，与文献[18]的泥石流大块冲击拦挡坝实例进行对比，冲击物为落石和泥石流大块，被冲击物为桥墩和拦挡坝，落石与桥墩分别采用与泥石流大块和拦挡坝相同的材料参数，如表1所示，将文献[18]计算所得结果与该文推导的落石冲击力理论公式进行对比，结果如表2所示。由于整个碰撞过程在极短的时间内完成，为方便计算在此假定θ和ɑ与速度的水平夹角近似相等。

式(22)、(23)中ex、ey为速度恢复系数，若落石撞击为完全弹性碰撞，则恢复系数为1，即落石反弹速度等于入射速度，若落石撞击不发生反弹，则恢复系数为0，而实际中落石撞击桥墩的速度恢复系数为0～1。恢复系数在落石冲击力计算中是一个非常关键的参数，可通过开展野外试验，利用高速摄像系统及配套软件解析落石碰撞前后的速度，从而求得法向和切向的恢复系数，该文参考文献[20]中的碰撞恢复系数取值ex=0.453，ey=0.737。

表2表明：当碰撞区不考虑弹塑性时，根据式(22)求得的落石弹性冲击力为30 703.8 kN，若采用这么高的冲击荷载进行桥墩防撞设计是很不经济的。求解弹塑性冲击力时，首先根据式(24)求得的接触屈服压力Pe=56.9 kN，当碰撞接触力达到接触屈服压力时，根据式(22)、(23)及(24)联立可得临界横向速度vcx为0.023 m/s，临界竖向速度vcy为0.07 m/s，这是因为落石竖向冲击力较小，其达到临界屈服力所需的速度就更大，但此时落石横向冲击力已达到临界屈服力，所以该文以临界横向速度为标准求得其临界速度为0.026 m/s。根据式(6)求得临界状态下的接触变形量δy，再代入式(3)和(8)联立可得临界状态下的屈服压应力py=25.75 MPa和初始屈服状态下的接触半径ay=10.3 mm。通过式(20)和(21)可求得总接触变形量δ=10.3 mm，从而得出接触半径a=90.7 mm，该文落石采用速度为5.6 m/s，远大于临界速度，在接触区内将产生大范围的塑性区，其塑性区接触半径ap为90.1 mm。将上述所求参数代入式(24)，其弹塑性冲击力为6.61 MN，仅为弹性冲击力的21.58%。

表1 落石冲击力计算参数

表2 文献[18]与该文推导公式计算结果对比

该文推导公式计算所得的落石冲击力比文献[18]计算得到的冲击力大，这是因为文献[18]中泥石流大块不发生回弹，即ex与ey为0，而该文恢复系数取值均大于0，因此该文计算所得落石冲击力较大是合理的。

4.2 落石冲击参数分析

为研究落石冲击参数对落石冲击力的影响，保持落石其他参数不变，改变其冲击速度，得到弹性和弹塑性冲击力与冲击速度的关系如表3所示。保持落石其他参数不变，改变落石冲击角度，得到落石冲击力与冲击速度夹角的关系如表4所示。落石冲击力与落石半径的关系如表5所示。图3为落石冲击力与落石半径、落石冲击速度之间的关系。表3～5中修正系数k为弹塑性冲击力Pep与弹性冲击力的P的比值。

表3 落石冲击力与冲击速度的关系

注：落石半径为0.8 m，落石冲击速度夹角为30°。

表4 落石冲击力与冲击速度夹角的关系

注：落石半径为0.8 m，落石冲击速度为5.6 m/s。

表5 落石冲击力与落石半径的关系

注：落石冲击速度夹角为30°，落石冲击速度为5.6 m/s。

图3 落石冲击力与落石半径的关系

从表3～5、图3可知：

(1) 落石弹性冲击力随着落石冲击速度增加而急剧增大，而落石弹塑性冲击力则增加得较为缓慢；塑性区半径先是急剧增长，而后逐渐平稳；相应的修正系数k则是急剧下降，而后逐渐平稳。这是因为随着落石冲击速度的增加其碰撞接触面上的塑性区拓展的范围越来越大，而在塑性区内接触压应力保持不变，相应的落石冲击力因受到塑性区压应力的限制而增加平缓。因此在桥墩碰撞区表面，铺设适当厚度的低强度混凝土可以有效降低落石对桥墩的冲击力，从而达到一定的防撞效果。

(2) 随着冲击速度夹角的增加，落石的弹性冲击力和弹塑性冲击力均逐渐减小，说明落石对桥墩的冲击效应以横向冲击为主，水平运动速度分量越大，落石冲击力越大。随着冲击角度的增加，塑性区半径缓慢减小，修正系数k则缓慢增加，而当冲击角度增加至45°时，塑性区半径开始急剧下降，修正系数k急剧增加，这是因为随着塑性区半径的减小，落石冲击力也随之减小。

(3) 随着落石半径的增大，修正系数k保持不变，而塑性区半径则一直增大。弹塑性冲击力随着落石半径增大而增加，当落石半径较小时，其弹塑性冲击力增幅较小，总体上较为平缓。随着落石半径的增加，在冲击速度较低时增幅较小，而在冲击速度较大时，特别地对于R>1 m的落石，其弹塑性冲击力随冲击速度的增加而急剧增长。因此设计桥墩防撞设施前应当对周边环境展开详细的调查，以确定落石的等效半径。

4.3 有限元数值模拟

该文推导公式中，假定被冲击物不产生刚体位移和变形，因此对于工程实际而言，该冲击力公式具有一定的局限性，因而当采用弹塑性冲击力作为设防依据时，为满足经济性宜考虑一定程度的折减。该节采用山区某半径为0.9和2 m的桥墩，分别建立弹性和考虑HJC本构的弹塑性模型，对比理论公式计算所得的落石冲击力，讨论弹塑性折减系数。弹塑性模型中，混凝土采用HJC(Holmquist-Johnson-Cook)损伤本构模型，此模型可同时考虑高压、应变率及损伤，其材料参数如表6所示。

表6 混凝土材料参数

注：MID为材料编号；RO为材料密度；G为剪切模量；A为规范化黏聚强度参数；B为规范化压力硬化系数；C为应变率敏感系数；N为压力硬化指数；FC为准静态单轴抗压强度；T为最大拉伸静水压力；ESP0为应变率；EFMIN为断裂前塑性应变量；SFMAX为规范化应力最大值；PC为压碎时静水压力；UC为压碎时体积应变；PL为体积闭锁时的压力；UL为体积闭锁时的应变；D1、D2为损伤参数；K1、K2、K3为压力参数；FS为失效类型。

通过大型显式通用有限元软件LS-DYNA建立落石-桥墩有限元模型，落石采用Solid164实体单元模拟，材料为刚性材料，其参数见表1。桥墩和盖梁为钢筋混凝土实体模型，其中混凝土亦采用Solid164单元，受力钢筋与螺旋箍筋采用Link160单元，其材料参数如表7所示；盖梁顶部施加Mmass166质量单元用于模拟上部结构对桥墩的压重，其重量为400 t。落石冲击桥墩有限元模型如图4所示。落石冲击力理论与有限元值对比如表8所示。

表7 钢筋材料参数

注：E为弹性模量；PR为泊松比；SIGY为屈服强度；ETAN为切线模量；BETA为硬化系数；SRC为应变率系数；SRP为应变率参数；FS为失效应变。其他参数意义同前。

表8 落石弹性冲击力、弹塑性冲击力对比

注：r为落石半径；R为桥墩半径；落石冲击速度为5.6 m/s，落石冲击速度夹角为30°。

图4 落石冲击桥墩有限元模型

从表8可以看出：

(1) 当桥墩半径为0.9 m时，落石弹性冲击力有限元值与理论值的比值为0.2～0.4，落石弹塑性冲击力有限元值与理论值的比值为0.2～0.3；当桥墩半径为2 m时，落石弹性冲击力有限元值与理论值的比值为0.4～0.6，落石弹塑性冲击力有限元值与理论值的比值为0.3～0.4。这是因为当落石半径为0.8 m时，落石和桥墩的尺寸已处于同一维度，落石的冲击效应将会对桥墩产生较大影响。由于塑性区内应力保持不变，弹塑性冲击力受到塑性区发展的限制而远小于弹性冲击力。

(2) 该文公式旨在为桥墩防撞设计提供参考，当采用该文弹塑性冲击力公式进行设防时，可在式(24)中引入折减系数。根据上述计算得到的落石弹塑性冲击力比值，可取折减系数0.3～0.4。对于铁路桥和高墩桥，因其墩柱刚度通常较大，可将折减系数在计算基础上适当放大。且落石冲击具有较强随机性，并易受地质影响，随着雨水冲刷和地震、泥石流等地质灾害的发生，斜坡等将发生较大的地质变形，有关落石尺寸及冲击速度的调研可靠性较低。综上所述对于各类山区桥型墩柱可偏于安全考虑，其落石弹塑性冲击力折减系数可取0.6～0.8。

5 结论

基于Hertz接触理论和Thornton弹塑性假设，建立落石冲击桥墩的计算模型，导出了落石对桥墩的弹塑性冲击力表达式，并且讨论了落石冲击速度、角度及落石半径对落石冲击力的影响，得出以下结论：

(1) 混凝土材料是典型的弹塑性材料，碰撞区极易出现塑性区，不考虑弹塑性所求得的落石弹性冲击力偏大，考虑材料弹塑性的落石冲击力更为符合工程实际，该文求得的弹塑性冲击力仅为弹性冲击力的21.58%。

(2) 落石弹性冲击力随着落石冲击速度的增加而急剧增大，而其弹塑性冲击力由于受到塑性区压应力的限制而增加得较为缓慢。在进行桥墩防撞设计时，在碰撞区铺设一定厚度的低强度混凝土可以有效降低落石对桥墩的冲击力，增强其抗冲击性能。

(3) 落石冲击力随着冲击角度的增加而逐渐减小，随着落石半径的增加而增大，在进行桥墩防撞设计前应当对周边环境展开详细的调查，充分了解落石的等效半径的分布情况，以便估计落石对结构的冲击力。

(4) 采用该文弹塑性冲击力公式进行设防时，建议引入弹塑性冲击力折减系数，且由于落石冲击具有较强随机性，偏于安全考虑其折减系数取0.6～0.8。