两类16p阶群的三度正规Cayley图的比较

董留栓

(中原工学院信息商务学院，郑州 450002)

0 引言

本研究所给的图均是有限、简单及无向连通图，对于给定图X，用V(X)表示它的顶点集，用E(X) 表示它的边集，用Aut(X)表示它的全自同构群。Xi(v)表示与点v距离为i的点集。给定有限群G，设S为G的不包含单位元1的子集，定义G关于S的Cayley图为Cay(G,S)，其中V(X)=G，E(X)={(g,sg)|g∈G,s∈S}，若S-1=S，Cay(G,S)看做G关于子集S的Cayley无向图，如果G关于子集S的Cayley图是正规的，则称群G有正规Cayley图。

由于同构的图可以是不同群的cayley图，本研究对两种不同群的cayley图进行比较，得出它们群的正规cayley图同构的结论。

定理1.1：设Cay(G1,S1)是16p阶群G1的关于子集S1的3度Cayley图，其中G1=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p+1〉，S1={a,a-1,b};Cay(G2,S2)是16p阶群G2的关于子集S2的3度Cayley图，其中G2=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p-1〉,S2={a,a-1,b}，其中p为奇素数。则Cay(G1,S1)≅Cay(G2,S2)。

1 预备知识

本研究将用到以下两个命题：

命题2.1([2])：设X=Cay(G,S),A=Aut(X)，那么X是正规的。当且仅当A1=Aut(G,S)，其中A1为1的稳定子，Aut(G,S)={α∈Aut(G)|Sα=S}。

命题2.2([3])：设X=Cay(G,S)，是群G关于子集S的Cayley图,X是正规的,若以下条件成立：

(1)∀φ∈A1,φ|S=1S,则有φ|S2=1S2,即φ=1G。

(2)∀φ∈A1,则存在σ∈Aut(G),使得φ|S=σ|S。

要考虑16p阶群G1的3度Cayley图的正规性,首先考虑群G1的生成子集S在自同构AutG1下的轨道。

引理2.2：设群G1=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p+1〉,p为奇素数。S为G1中不包含单位元的3元子集，且S=S-1，〈S〉=G1，则S在AutG1下的轨道只有一个，其代表元为S1={a,a-1,b}。

证明：类似于参考文献[4]中引理2.2的证明。

引理2.3[5]：设群G2=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p-1〉,p为奇素数，S为G2中不包含单位元的3元子集，且S=S-1，〈S〉=G2，则S在AutG2下的轨道有两个，其代表元分别为S2={a,a-1,b}、S3={a4p+1b，ab,b}。

2 主要结果证明

引理3.1：设Cay{G1,S1}是群G1关于子集S1的Cayley图，G1=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p+1〉,p为奇素数，S1={a,a-1,b}则Cay{G1,S1}是G1的正规Cayley图，且A1≅Z2。

证明：

(1)首先证明∀φ∈A1，且φ|S1=1|S1，则有φ=1。

∀φ∈A1，且φ|S1=1|S1，则φ固定点a,a-1,b及其邻域{1,a2,a4p+1b},{1,a-2,a4p-1b},{1,ab,a-1b}。如图1所示，因为过点1,a-1和b有唯一的6-圈(1,a-1,a-2,a-2b,a-1b,b,1)，故φ固定该6-圈，故φ固定点a-2,a-1b。又φ固定集合{a-2,a4p-1b}和{ab,a-1b}，所以φ也分别固定a4p-1b和ab。同理可得，φ逐点固定点a2和a4p+1b，此时φ|X2(1)=1。由Cayley图的点传递性和连通性知φ=1。

图1 Cay(G1,{a,a-1,b})的邻域子图Fig.1 Neighborhood of Cay(G1,{a,a-1,b})

(2)其次证明对φ∈A1，∃σ∈AutG，使得φ|S1=σ|S1，即A1≅Z2。

图2 Cay(G2,{a,a-1,b})的邻域子图Fig.2 Neighborhood of Cay(G2,{a,a-1,b})

综合(1)(2)，由命题2.2知，X=Cay{G1,S1}是正规Cayley图，且A1≅Z2。引理3.2[6]设Cay{G2,S2}是群G2关于子集S2的Cayley图，G2=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p-1〉，p为奇素数，S2={a,a-1,b}则Cay{G2,S2}是G2的正规Cayley图，且A1≅Z2。

引理3.3：设Cay(G1,S1)是16p阶群G1的关于子集S1的3度Cayley图，其中G1=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p+1〉,S1={a,a-1,b}；Cay(G2,S2)是16p阶群G2的关于子集S2的3度Cayley图，其中G2=〈a,b|a8p=b2=1,ab=a4p-1〉,S2={a,a-1,b}

其中p为奇素数。则Cay(G1,S1)≅Cay(G2,S2)。

证明：

故Cay{G1,S1}≅Cay{G2,S2}。