“二元一次方程组”复习课教学设计及反思

■谢蓓蓓

【教学目标及重难点】

1.构建本章的知识结构。

2.经历“问题情境—建立模型—求解—解释与应用”的学习过程，加深理解相关数学知识。

3.通过思考、交流等活动，体会类比、转化、由特殊到一般等数学思维方式。

【教学过程】

一、环节一:创设问题情境

问题1：将一根100cm的绳子剪成两段，两段的长度分别是多少？

师：同学们，老师手中有一根长为100cm的绳子。如果我将它剪成两段，你们知道这两段分别是多长吗？

生：不知道。

师：为什么？

生：情况太多了，有可能是50cm和50cm，也有可能是40cm和60cm……

生：不一定是整数，也有可能是10.5cm和89.5cm。

师：嗯，确实情况比较多。大家还有什么想法？

生：我觉得这其实就是一个二元一次方程式。设两段绳子的长度分别是xcm和ycm，就可以得到x+y=100，而这个方程的解有无数组，所以情况也有无数种。

师：眼光独到！这位同学将现实生活中的问题转化为数学中的方程模型，这是一个数学建模的过程。而二元一次方程的解有无数个，也正好解释了绳子两段的长度有无数种可能。

问题2：怎样使两段绳子的长度只有一种可能？

师：大家能不能想个办法，使两段绳子的长度只有一种可能？

生：添加一个条件，就可以再得到一个二元一次方程，将其与前面的方程构成二元一次方程组。二元一次方程组的解是唯一的。

师：非常好！下面，就请各位同学自己添加一个条件，解决这个问题。

（学生在学习单上演算3分钟后，陆续举手。）

生：我添加的条件是两段绳子的长度相同，也就是x=y，算出两段绳子的长度都是50cm。

生：我添加的条件是一段绳子比另一段长10cm，列出了方程组然后算出一段绳子的长度为55cm，另一段绳子的长度为45cm。

生：我添加的条件是一段绳子的长度是另一段的4倍，列出了方程组然后算出一段绳子的长度为80cm，另一段绳子的长度为20cm。

二、环节二:再解方程组

问题3：如何解方程组？

师：大家刚刚是用什么方法来解方程组的呢？

生：加减法。

生：代入法。

师：这都是我们常用的方法。解二元一次方程组的基本思路是什么？

生（齐）：消元。

师：消元的目的是什么？

生：使其转化为一元一次方程。

师：所以说，一元一次方程才是我们解题的根本。

（一名学生板演，其他学生在学习单上书写。板演的学生出现错误，另一名学生指出，并在教师允许下，上台帮助同学修改错误。）

师：刚刚他使用的是什么方法？

生（齐）：加减法。

师：还有其他方法吗？

生（齐）：代入法。

师：你们为什么不用代入法？

生：x和y的系数都不是1，变形时会出现分数形式，用代入法比较麻烦。

师：分析得不错。请大家再仔细观察一下x和y的系数，有没有其他发现？

生：第2个方程中的x的系数是第1个方程中的x的系数的2倍，我们可以将3x看作一个整体，由方程1得3x=8+2y，代入方程2。

师：这位同学运用了整体思想，非常棒！我们知道，解二元一次方程组的基本思路是消元，只要我们能想出办法，使二元变成一元，问题就可以迎刃而解。大家再想一想，还有没有其他方法呢？

（学生演算后，进行小组展示。略。）

师：刚刚的解法都很精彩，同学们利用“构造”和“换元”等方法实现了“消元”。所以说，解题无定法，只要能将二元转化为一元就可以了。

三、环节三:活动探究

问题4：针对这根100cm的绳子，大家还有哪些想法？

（学生独立思考，组内交流；小组派代表进行汇报。）

生：我们小组想要把这根绳子剪成三段，设最长的那段为xcm，最短的那段为ycm，剩下的那段为zcm，这样就可以得到三元一次方程x+y+z=100。

师：由二元到三元，不错！你们想怎么研究三元一次方程呢？

生：我们参照了二元一次方程的解题过程。因为三元一次方程也有无数个解，所以我们添加了两个条件：第一个条件是最长的那段绳子是其余两段之和，第二个条件是最长的绳子比最短的绳子长30cm，这样就可以得到三元一次方程组

师：根据实际问题，列出三元一次方程，再添加条件，列出三元一次方程组，不错！下面呢？

生：我们可以解三元一次方程组。先将第二个式子分别代入其他两个式子，消去x，然后解出y和z，最后再求x。我们算出这个方程组的解为

师：厉害了！你们是怎么想到的？

生：这和解二元一次方程组是一样的，用的还是代入法和加减法，把三元变成二元就行了。

师：非常精彩！说到底还是要用“消元”的方法，将三元转化为二元，二元转化为一元。如果是四元一次方程组，你们能不能解？

生：可以！把四元转化为三元，三元转化为二元，二元转化为一元！

师：非常好！哪怕是多元方程，我们也可以采用转化的方法来解决。

师：大家还有没有其他的思路？

生：我们小组想将这根绳子围成一个长方形。

师：不错的想法。然后怎么研究呢？

生：可以围成的长方形有无数个，周长都是100，面积却不相同。我们在思考，怎么才能围成最大面积的长方形呢？

师：这个问题问得好！由数想到形，由确定的数值想到不确定的数值，再想到最值，你们组很棒！你们找到最大面积的长方形了吗？

生：我们感觉围成正方形的时候，面积最大，然后也举了一些例子，发现确实如此。

师：先进行猜想，然后举些特例，这都是研究数学问题的常用方法。不过要验证这个猜想，我们必须进行证明。你们组可以吗？

生：我们暂时还没想到办法。

师：那么，其他组的同学能解决这个问题吗？

生：设长方形的长和宽分别是xcm和ycm，则x+y=50，面积可以表示为xy，也就是x（50-x）=-x2+50x，可以将-x2+50x进行配方，变成-（x-25）2+625。当x=25时，最大面积是625，而x等于25，y也等于25，证明此时的图形正好是个正方形。

师：你太厉害了！说说你是怎么想的？

生：设出未知数，表示出长方形的面积，这样就把实际问题转化为数学问题。

师：对，将实际问题通过设未知数的方式进行建模。这是方程模型吗？

生（齐）：不是。

师：这其实是我们后面要学习的函数模型。

生：上一章我们学习了完全平方公式，此时就可以利用配方的办法求出最大值了。

师：非常好！两位同学带领我们经历了从特殊到一般，从猜想到证明，从方程到函数的学习过程。

四、环节四:总结与提升

问题5：本节课的收获是什么？

师：学习了本节课之后，大家有什么新的感悟吗？

生：解二元一次方程组还可以采用构造和换元等方法，目的是消元，实质是转化。掌握了这些方法后，我还能解三元甚至多元一次方程组。

生：我们可以将实际问题转化为方程模型或者函数模型来解决。

生：我觉得以后再学习新的方程时，都可以按照“实际问题—建立方程模型—解方程—回到实际问题”的步骤去研究。

师：这个想法不错，我们可以采取一以贯之的数学思维去解决新问题！

【教学反思】

在数学课堂上，教师创设一个一以贯之的问题情境，可以让学生不断进行深入、连贯的思考，感受数学思维，掌握数学方法。本节课是“二元一次方程组”的复习课，笔者改变以往做题讲题的教学方式，创设了“一根绳子”的问题情境，使之成为不同知识点之间的纽带，在不同的教学内容中发挥价值。

在课堂教学中，教师的问题直接决定了学生的思维的方向和深度。问题1、2、3，不仅能够让学生掌握“实际问题—方程问题—解方程—实际问题”这一知识研究的外在路径，更能让他们领悟数学建模以及转化等数学思维的内在路径。在此基础上，教师提出问题4，可以促进学生的思维继续生长。有的学生借助二元一次方程的经验，解决了三元一次方程等方程类问题；有的学生由数想到形，提出问题后，建立了新的数学模型。整节课通过问题驱动，使学生在思考和探究的过程中，优化和完善了数学思维。