璀璨之星——勾股定理

文王娟霞

勾股定理是人类最早发现、最基本的、应用最广泛的一个定理，是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。古代科学家、哲学家毕达哥拉斯和他的学派证明了勾股定理，为纪念毕达哥拉斯学派，1955 年希腊根据勾股定理设计并发行了一枚纪念邮票。勾股定理是每年中考命题的必选内容，命题形式千变万化。现举几例，供同学们赏析。

一、几何问题

例1 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°。

（1）若BC=12，AC=9，求AB的长；

（2）若AC+AB=8，BC=4，求AC、AB的长；

（3）在（2）的条件下，AD=13，BD=12，求四边形ACBD的面积。

【解析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理直接求出AB=15；

（2）根据条件设AC=x，则AB=8-x，利用勾股定理列方程42+x2=（8-x）2，解得x=3，故AC=3，AB=5；

（3）由勾股定理的逆定理可知，△ABD是直角三角形，分别算出两直角三角形的面积，从而得四边形ACBD的面积为36。

【小结】直角三角形中利用勾股定理，已知任两边就能求第三边，已知一边和另两边的关系也能求出各边长。

二、航海问题

例2 已知如图2，一轮船以12 海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以9 海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1小时后，则两船相距（ ）。

A.25海里 B.20海里

C.10海里 D.15海里

【解析】根据s=vt，算出AB=12，AC=9，连接BC，根据勾股定理求出BC。故选D。

【思考】离开港口3h后，两船相距多少海里？（提示：三边同时扩大3倍。）

【小结】本题涉及方位角，同学们要能把实际问题中的角度转化到图形中，利用勾股定理求解。

三、“最短”问题

例3 如图3，学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了 步路（假设2 步为1m），却踩伤了花草。

【解析】应走7 米路，实际走了5 米（由勾股定理得），少走了2 米，故仅仅少走了4步。

例4 编制一个底面周长为a、高为b的圆柱形花架，需用沿圆柱侧面绕织一周的竹条若干根，如图4 中的A1C2B1，A2C1B2，则每一根这样的竹条的长度最少是 。

【解析】在求解几何体表面两点间最短距离的问题时，通常是将几何体表面展开，然后求展开图中两点之间的距离，但在展开过程中一定要弄清所要求的是哪两点之间的距离，以及这两点在展开图中相应的位置。

由于竹条需要沿圆柱侧面绕织一周，所以可以把圆柱侧面沿棱A1B1展开，得到一个长和宽分别为a和b的矩形，如图5 所示，对角线A1B′1的长度就是竹条的最短长度。在Rt△A1A′1B′1中，由勾股定理得

【小结】求解几何问题时，我们通常将方体图形转化为平面图形。涉及最值问题时，一般依据“两点之间线段最短”构造直角三角形解决。

四、折竹问题

例5 在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1米，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为2 米，问这里水深多少？

【解析】根据题意，画出图形，如图6。

设水深BC为x米，BD=AB=x+1，依据勾股定理列方程，22+x2=（x+1）2，解得x=1.5。故水深为1.5米。

【小结】首先要读懂题意，画出相应图形，将实际问题转化成数学模型，然后根据勾股定理建立方程，从而解决问题。

五、折叠问题

1.三角形中的折叠。

例6 如图7，在Rt △ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，折叠△ABC使点B与点A重合，连接AD，求AD的长。

【解析】设AD=x，由折叠可知：AD=BD=x，则CD=3-x，在Rt△ACD中，由勾股定理得，12+（3-x）2=x2，解得故

2.四边形中的折叠。

例7 如图8，折叠长方形ABCD的一边，使点D落在BC边上的点F处，若AB=8，AD=10。求EC的长。

【解析】根据折叠的性质及勾股定理，先求出BF=6，设EC=x，在Rt△CEF中根据勾股定理列方程，求出EC=3。

例8 如图9，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ。

（1）求证：四边形BPEQ是菱形；

（2）若AB=6，F为AB的中点，OF+OB=9，求PQ的长。

【解析】（1）根据线段垂直平分线的性质证明QB=QE；由“ASA”证明△BOQ≌△EOP，得出PE=QB，证出四边形BPEQ是平行四边形；最后根据菱形的判定即可得出结论。（2）由题意可知OF是△ABE的中位线，则AE=2OF，又BE=2OB，∴AE+BE=2（OF+OB）=18，依据勾股定理建立方程，先求PE，再根据菱形面积的两种求法就能得到PQ=7.5。（注：也可以根据勾股定理先求出PO，再求出PQ。）