单纯形优化法在汽车滑行试验中的应用*

龚春忠 彭庆丰 张政

（1.浙江合众新能源汽车有限公司；2.浙江清华长三角研究院新能源汽车研发中心）

汽车滑行试验可以精确测定汽车行驶阻力，从而为汽车动力性、经济性的分析与优化提供重要依据。在此之前，汽车滑行试验数据的处理过程繁琐，经历了手算、使用Excel 表格计算等阶段。随着计算机技术的发展，数据处理越来越趋向于编程计算。近年来，也陆续出现了一些对该领域的研究方法。文献[1-2]采用处理后的v-F 曲线拟合求解阻力系数；文献[3]对待定阻力系数进行分解，并构建最小差绝对值的逐渐逼近算法求解待定系数；文献[4]使用MATLAB 自带函数非线性方程组求解器解算阻力系数；文献[5]使用基于遗传算法求解超越函数，从而获得阻力系数。文章研究使用单纯形优化法求解汽车滑行数据，直接拟合t-v 曲线获得汽车的道路阻力系数，相对于拟合v-F 曲线，得到的结果更精确；相对于遗传算法及MATLAB 非线性方程组解算器等，求解过程更简便快捷。

1 汽车滑行试验及其数据处理

汽车滑行试验是基于刚体动力学的测试技术。为此，要采用刚体动力学理论研究现有的测试原理、测试方法和测试数据处理。

1.1 汽车滑行试验原理

汽车滑行过程受力分析，如图1 所示。

图1 汽车滑行试验受力分析

汽车滑行试验的目的就是测量汽车的行驶阻力（F阻/N）。行驶阻力方向作用于汽车行驶方向的反方向，根据牛顿第二定律分解：

式中：m——汽车等效质量，kg；

v——车速，km/h。

根据阻力产生的原理，汽车行驶阻力可以分解为空气阻力、轮胎滚动阻力和汽车动力系统传动寄生阻力。根据汽车理论推导，空气阻力与速度的平方成正比，车内寄生损失与速度成正比，汽车滚动阻力近似为常数：

式中：A——常数项阻力系数，N；

B——一次项系数，N/（km/h）；

C——二次项系数，N/（km/h）2。

该问题转换成求系数A，B，C。

1.2 汽车滑行试验过程简述[6-7]

滑行试验标准规定了道路平整度、干燥度、大气温度、风速、大气压力等环境条件，以及汽车胎压、配重、磨合等汽车自身条件。在试验条件满足的情况下试验步骤如下：

1）将汽车加速到比选定试验车速（v）高出10 km/h的车速；

2）将变速器置于空挡位置；

3）测量车速从v2=v+Δv 减速至v1=v-Δv 所需时间（t1），其中：Δv≤5 km/h；

4）在相反方向进行同样试验，测量所需时间（t2）；

5）取t1和t2的平均值（Ti）；

1.3 标准中建议试验数据的处理方法

试验数据预处理是对风速、大气压力、大气温度等做相关修正的工作。其他研究者以及文章的数据处理方法默认已经包含该修正工作。由式（1）与式（2）可得：

由式（1）可知，取滑行过程中的2 个时间段，将该阶段近似为匀减速运动，求出该段的平均受力（Fi）。滑行试验中可以得到式（3）中的n 组2 个参数对vi和Fi，将参数代入式（2）。

式中：F阻i——第i 段Δv 对应的平均阻力，N。

n 为数据组数，可以得到n 个关于A，B，C 的一次方程，这些方程构成关于A，B，C 的线性方程组。使用二次回归求解A，B，C。

该方法实际是使用最小二乘法拟合v-F阻曲线。

2 数据分析与目标函数构建

现有标准建议使用的拟合v-F阻曲线实际上在计算F阻时，已经做了一步近似处理，将分割的一小段时间段看成是匀减速过程。因此，需要研究一种方法略过这种对原始数据的近似处理。

2.1 汽车滑行过程的微分方程及其理论解

前面探讨了汽车滑行试验的测试方法以及各类改进的数据处理方法。要简便准确地求解A，B，C 系数，文章提出直接拟合t-v 曲线，而不必过渡性地拟合v-F曲线。

为此，要构造方程v=f（t，A，B，C），由式（1）可知，该方程是一阶非线性微分方程。得：

式中：v0——汽车开始滑行初始车速，km/h。

2.2 构造目标函数

试验中获得t-v 曲线，测试值是一系列的点，该曲线表述成时间序列（ti，vi），i=1，2，3…n。选择同样的时刻ti，代入式（5）中，求得Vi。依据最小二乘法原理，构建目标函数：

式中：Vi——时刻ti代入式（5）获得的理论车速，km/h；

vi——时刻ti实测获得的车速，km/h；

z——构造目标残差，（km/h）2。

则参数A，B，C 的获取转变为求目标函数获得的值。

2.3 方程中各变量的解析

根据测试，A，B，C 初值的选择越接近试验结果越好，但对优化结果影响不大。为此，初值只要在量级上与结果接近即可。选择初值：A0=100，B0=1，C0=0.1。等效质量m 包括汽车的整备质量、驾驶员体质量、载质量，以及传动系统的转动惯量等效质量。

对于某些竞品车项目，很难获取这些细致的参数，则使用近似公式：

式中：δ——等效质量系数，一般取值范围是1.02～1.05[8]；

m0——汽车整备质量，kg。

3 单纯形法优化原理

单纯形调优法[9]解决问题为：minf（x），x∈Rn。f（x）是Rn上的连续函数。算法步骤主要有初始步、准备步、反射步、延伸步、收缩步、棱长减半步和程序出口步。对于解决求解道路阻力问题而言，f（x）为式（6），x=[A，B，C]T。

步骤1：（初始步）给定初始点x0，构造初始单纯形。S0=[V0，V1，…，Vn]，精度 ε＞0。

步骤5：（收缩步）计算Vh'=arg min{f（Vh），f（Vr）}，为收缩步，γ 为收缩系数，一般为若 （fVc）≤（fV）s，Vh：=Vc，转步骤7。

文章第2 节中的数学模型使用经典微积分的极值求解方法比较困难，尝试使用遗传算法、粒子群算法等，不仅使算法繁琐，而且计算量太大。首先，式（6）所述极值问题只有3 个变量，均为连续变量；其次，式（6）所述极值问题是可以用初等函数表达的方程。遗传算法与粒子群算法等主要应用于极值点存在剧烈震荡局部最优解或者组合优化的问题，单纯形优化法理论上是有可能导致陷入局部最优解的，在解决汽车道路阻力问题时，当初值与步长选择合理时，可以避免出现陷入局部最优解的情况。直接采用最小二乘法获取道路阻力系数，虽然简单，但经过局部匀减速的近似处理，与理论值存在偏差，不适宜做高精度分析。

4 试验与对比

利用V-box 设备在试验场完成滑行试验。一款箱式物流车的滑行试验秒采数据利用空气动力学修正后的t-v 曲线，如图2 所示。

图2 某箱式货车滑行试验t-v 曲线

4.1 2种方式计算的汽车道路阻力系数

第1.3 节中描述的标准建议拟合v-F阻方法与第2.3 节中描述的单纯形法拟合t-v 方法，采用相同的试验数据进行2 种方法处理结果的对比分析。

经过称重测试，汽车整备质量1 480 kg，驾驶员质量70 kg，载质量200 kg，汽车传动系统的转动惯量等效质量是50 kg，故当量质量为1 800 kg。使用单纯形法对t-v 数据进行拟合求解，获得结果：A=229.63 N；B=1.388 9 N/（km/h）；C=0.069 928 N/（km/h）2；平均误差为0.672 7 km/h。

使用传统方法也称为速度间隔选取法，获取各时间点对应的车速，如表1 所示，将各车速段近似成匀减速，当量质量为1 800 kg，则获得各车速下汽车阻力，如表2 所示。

表1 车速间隔的选取时间点

表2 速度间隔法计算的平均阻力

将v-F 曲线采用最小二乘拟合，该函数恰好是二次函数，不需要使用数值解，可以直接求取理论解。获得如下结论：A=234.29 N；B=0.924 19 N/（km/h）；C=0.076 134 N/（km/h）2；平均误差为0.712 1 km/h。

4.2 2种处理方法结果对比

试验最终目的是获得汽车行驶阻力系数（A，B，C），衡量其精度的参数是计算t-v 曲线与试验t-v 曲线的平均距离。结果对比，如图3、图4 及表3 所示。

图3 汽车行驶阻力v-F 曲线对比

图4 汽车滑行t-v 曲线对比

表3 单纯形法与速度间隔法结果对比

5 结论

经过对比，证明单纯形法在解决汽车滑行试验数据的问题上更简便精确。从重现汽车滑行过程曲线的精确度上，精度提高了5.86%。但从直接的数据对比上看，两者相差较大。尤其是参数B，相差33.46%，这说明该试验方法对这3 个参数有较大的耦合性。解耦的方式是对各个参数分别测量。风阻利用风洞试验室测得，滚阻利用车轮及动力系统台架测得。有些文章想通过该试验，将汽车质量、传动系统效率等参数都辨识出来。理论上方程数足够，就可以解出这些值，但结果一定是不精确的。下一步的研究工作将是如何解耦道路阻力系数（A，B，C），以获得更为精确的汽车道路阻力系数，为汽车动力性、经济性开发提供更精确可靠的参数依据。