广义Sprott-C系统的有限时间随机同步与参数辨识

闫丽宏， 韩紫阳， 王仁义， 聂婉婷

（咸阳师范学院数学与信息科学学院，陕西咸阳 712000）

为了研究系统的暂态性能，Peter Dorato在1961年提出了“Short Time稳定性”的概念，也即非线性系统的有限时间稳定性. 随着控制问题研究的深入，近年来非线性系统的有限时间控制问题已成为控制领域的一个研究热点［1-3］. 与传统的渐近稳定控制相比，有限时间稳定可以提升系统的收敛速度，使受控系统具有更好的抗干扰性和鲁棒性［4］. 在实际应用中，由于受到物理设备的限制、外界干扰的影响和变化、未知参数的存在、未建模动态等不确定因素的影响，系统的动态模型往往是不确定的，随机系统广泛地存在于工程实际问题中，包括随机扰动、噪声干扰等因素在内的外部作用将导致受控系统不稳定，并且增加控制难度，因而分析研究随机系统的控制问题具有重要的实际意义，如何减少扰动对混沌系统同步控制的影响是需要深入研究的. 为了应对不确定性和外部扰动，学者们提出了自适应控制策略. 该控制策略因具有诸如响应的快速性、对干扰的鲁棒性、良好的瞬态性能以及易于物理实现等特点而被视为应对不确定性和扰动的有效方法.

目前，关于随机非线性混沌系统的有限时间同步控制问题，已有相关研究结果. 邵克勇等［5］对含有不确定参数的分数阶超混沌Lorenz 系统的自适应有限时间控制进行了分析. Wang 等［6］研究了含有不确定因素的统一混沌系统的有限时间同步问题. 在文献［7］中，Tu等研究了含有随机扰动的统一混沌的有限时间同步和参数辨识问题. Yin等［8］对非线性随机系统的有限时间稳定性问题进行了研究. Liu等［9］利用输出反馈控制方法分析讨论了一类随机非线性系统的全局有限时间稳定性问题. Zhu和Yao［10］基于平均脉冲时间讨论了一类非线性时滞随机系统的有限时间稳定性问题. 含有不确定因素的永磁同步电动机的鲁棒有限时间混沌同步的结论在文献［11］中进行了深入讨论.

Wei等学者对Sprott J C提出的系列混沌模型进行了改进，提出了广义Sprott-C混沌系统模型，其基本特征和混沌特性在文献［12］中已有分析，笔者［13］研究了该系统的有限时间鲁棒同步问题. 本文将在以上研究的基础上，考虑随机作用和参数未知因素，构造随机广义Sprott-C 混沌驱动-响应系统，结合系统的误差信息，设计合适的控制器和参数自适应律，研究随机受扰驱动-响应混沌系统的有限时间同步问题.

1 问题陈述与知识预备

随机广义Sprott-C混沌系统的驱动方程如下：

2 主要结论

结合系统误差的定义（3）式，根据随机驱动-响应混沌系统的方程（1）式和（2）式的表达，通过计算，可得系统误差动态方程：

基于非线性系统的有限时间稳定性理论，可以看到，驱动-响应混沌系统（1）式和（2）式的有限时间同步等价于系统（8）式在原点的有限时间稳定性. 本文结合Itô公式，利用有限时间稳定性定理，证明误差动态系统（8）式的稳定性，从而实现对随机广义Sprott-C驱动-响应系统的有限时间同步分析.

其中：参数σ 满足0 ＜σ ＜1，反馈控制参数ki,i=1,2,3 是任意正数. λi和ξi,i=1,2,3 分别为相关控制参数.同时驱动系统（1）式中未知参数自适应更新律［15］设计如下：

结合假设1，有

根据迹的定义，可知

利用假设2，可得

将上述结论（11）式和（12）式带入参数估计律（10）式并化简，有

对上式两边分别计算期望，有

对于任意初值t0＞0，我们有

故而，可得

3 数值模拟

在随机干扰作用下，考虑到混沌系统自身的初值敏感性. 本节中，我们将选取合适的系统参数与初值，对上述给出的驱动-响应系统（1）式和（2）式的有限时间同步结论进行仿真验证. 驱动-响应系统的初始值分别为：( x0,x1,x2)=( 5,2.1,-3) ,( y0,y1,y2)=( -4,-1,5.8)，初始时刻t0=0，指数，控制器中的反馈增益取值为ki=0.8. 不失一般性，取参数λi=4.4；ξi=3，知λ=4.4，未知参数的初始取值分别为：̂=18.85；=99̂=1.15.

同时假设网络外部噪声函数如下：

图1 广义Sprott-C驱动-响应混沌随机系统误差轨迹Fig.1 The error trajectories of general stochastic Sprott-C driven-response chaotic system when

图2 广义Sprott-C驱动-响应随机混沌系统未知参数估计Fig.2 The estimation of unknown parameters for general stochastic Sprott-C driven-response chaotic system when

图1显示，广义Sprott-C驱动-响应系统误差在1.82 s时达到0，这表明系统在T=1.82 s内实现同步. 同时驱动系统未知参数均已被成功估计，见图2所示. 固定选取上述初值和参数，按照定理中实现有限时间同步的时间公式T=t0+2γ-1Vγ(t0) λγ 进行计算，可知其结果与数值仿真结果相同，这充分印证了本文所给定理的可行性与有效性.

进一步，控制增益调整为σ=0.5，比较同步效果. 固定上述系统各状态初始值的选取，未知参数的初始取值分别为：=35.2;=98;=10.9. 另 取 一 组 反 馈 增 益 为：ki=6;λi=5.2; ξi=6，可得图3 的误差演化曲线. 从中可见，当T=1.57 s 时，误差达到零，驱动-响应系统（1）式和（2）式实现同步. 图4是驱动系统的未知参数估计，可以看到，各参数在1.57 s内均收敛到真实参数. 与图1的数值仿真结果相比，可见当参数取值改变时，可以极大地缩减同步时间，理论分析结论与仿真结果吻合.

图3 广义Sprott-C驱动-响应随机混沌系统误差轨迹(σ=0.5)Fig.3 The error trajectories of general stochastic Sprott-C driven-response chaotic system when σ=0.5

图4 广义Sprott-C驱动-响应随机混沌系统未知参数估计(σ=0.5)Fig.4 The estimation of unknown parameters for general stochastic Sprott-C driven-response chaotic system when σ=0.5

4 结语

论文基于随机微分方程的有限时间稳定性理论，通过设计合适的外部控制器和未知参数自适应率，实现了受扰的驱动-响应Sprott-C混沌系统的随机有限时间同步，并利用自适应控制方法对系统中的未知参数进行了成功辨识. 最后结合数值仿真，说明了本文所提出控制方法的正确性和有效性.