新高考背景下中学数学数列通项公式的高效解题

新高考背景下中学数学数列通项公式的高效解题

邹正瑞

摘要：数列通项公式作为数列知识的基础，教师在教学的过程中应当积极地引导学生熟练地掌握通项公式的相关知识，并且能够在遇到相关问题时在最短的时间内进行通项公式的求解，这样才能保证学生在紧张的高考氛围下，取得理想的成绩。

关键词：中学数学;数列知识;通项公式;求法探究

中图分类号：G633.6           文献标识码：A文章编号：1992-7711（2020）08-074-2

在高中数学教学过程中不难发现，学生的数学知识基础、数学学习能力和数学思维都是不尽相同的。在素质教育的背景下，教师应当积极的针对学生的思维特点进行教学引导，让学生能够真正的透彻理解数列相关知识。这对于学生构建自身的数学思维和数学素养具有积极的促进作用。

一、应用递推法求解通项公式

递推法求解数列通项公式实际上就是运用了数学思维中的逻辑思维，通过将数列推导到比原问题简单的问题上来进行通项公式的求解。比如，将繁杂的数列进行简化、将一般的数列进行特殊化，这样能够直接的进行通项公式的求解。

例一：在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，有an=3an-1+2，求{an}的通项公式。

解题思路：本题在进行解析的过程中应当积极的运用递推法将这一数列进行化简。

设an+m=3an-1+m，得出an=3an-1+2m;对比an=3an-1+2得出m=1;

进而得出an+1=3（an-1+1）;即an+1an-1+1=3。

因此得出数列{an+1}是以a1+1=2为首项，以3未公比的等比数列。

最后套用公式而得出通项公式：an=2·3n-1-1。

在应用递推法求解数列通项公式的过程中，应当根据题目的描述或者特征来适当的构筑一些辅助的数列，这样才能够运用基本数列进行快速的求解。递推法实际上考验的是学生的数列基本知识和逻辑递推能力，这就需要学生对数列相关知识具备扎实的基础才能够进行快速的解析。

二、应用公式法求解通项公式

可以说，公式法是通项公式求解过程中相对简单的一类方法。这类方法主要依靠于题目中提供的数列为等比数列或者等差数列，而在看到这类数列的时候可以利用等比数列和等差数列的性质来直接套用相应的通项公式进行求解，这个时候只需要对公差或者公比进行求解就可以得出完整的通项公式。

例二：数列{ an} 中，如果a1 = 1，an+1 = an +2（ n≥ 1），求通项公式 an。

解题思路：在进行本题求解的过程中可以通过已知条件求出一个等差数列，然后利用公式进行求解，相对比较简单。

在运用公式法进行通项公式求解的时候，主要考验的是学生对于等差和等比数列性质的理解和掌握，等差等比数列作为中学数列知识中的重点内容，教师应当积极的引导学生对于相关知识的理解，让学生能够牢固的掌握等差等比数列的特点，并且能够在考试的过程中，一眼判断出是否是等差或者等比数列，这样才能够快速的套用相应的公式进行求解，真正的实现学生解题效率的提升。

三、应用累加法、累乘法求解通项公式

累加法求解通项公式往往是针对那些题目中给出an，an+1，an-1递推公式的题目，在面临这些题目时学生第一反应应当是选择累加法将这些特殊的数列进行累加，然后通过类推和整理，将复杂的数列逐渐的简化。最后，求解出通项公式。累加法主要是反复的利用题目中所给的递推关系来进行数列的化简，这样才能够得出（n-1）个式子，然后进行累加，最终转化成f（n）的前（n-1）项的和，在进行累加法应用的过程中应当注意相關的求和技巧的运用。

例三：在数列{an}中，a1=2，an+1=an+2n-1，求{an}的通项公式。

解题思路：观察题目可以得出a2 -a1 =1;a3-a2 =1;……;an-an-1n=2n-3。然后进行逐项的累加可以得出an=n2-2n+3。

累加法求通项公式要求学生在进行题目求解的过程中，能够对题目进行细致的观察。观察到题目中存在应用累加法通项公式的特征之后，能够快速的进行应用。累乘法求通项公式的过程中需要学生能够快速的找准累乘的项，这样才能够通过对相关项的乘积观察来进行求集。并且在应用累加法、累乘法求解通项公式的时候，应当特别的注意项数的计算，学生在项数计算的过程中非常容易出现马虎，而导致多算一项或者少算一项的问题出现，而这一情况则会让学生的最终结题结果出现错误。

四、应用待定系数法求解通项公式

待定系数法适应题目中给出an+1=qan+f（n）的条件，其主要是通过将题目中所给出的数列进行转化成等比数列或者等差数列，再根据数列的本质就是一个函数的角度出发，从函数的定义域的自然集中进行函数的解析，这种方法对于学生函数知识和数列知识的考察是十分重要的。

例四：在数列{ an}中，a1=1，an=2an-1+1（n≥ 2），求{ an}的通项公式。

解题思路：在本题中，根据题目条件可以得出an=2an-1+1（n≥ 2）：，因此，有an+1=2（an-1+1）。又因为在a1+1=2，∴{an+1}这一数列中，其作为首项为2，公比为2的等差数列，就可以根据等差数列的性质来进行计算，因此，得出an+1=2n，经过转化得：an=2n-1。

在进行待定系数法解题的过程中应当主要观察题目中给出的条件能否符合待定系数法的特征，然后根据相关的特征进行解析，这样不仅仅可以保证解题的正确率，更是可以通过函数知识的运用化简整个题目，达到快速解题的目的。

五、应用特征跟法求解通项公式

特征根法通过引入一些特定的系数来转化相应的命题结构，并且通过变形和比较将问题转化为基本数列，然后进行通项公式的求解。在新高考的背景下，数列相关问题求通项的问题越来越复杂，当无法运用以上几种方法进行求解的时候，可以运用特征根法来进行数列的通项公式的求解。递推公式对应的特征方程x2=px+q拥有两个实数根的时候，就可以通过相应的公式an=（cn+d）·（p2）n-1来求通项公式;当特征方程有两个不相等的实数根的时候，可以通过an=ex1n-1+fx2n-1来求通项公式;当特征方程拥有虚的根为虚跟的时候，这种情况在中学数学知识学习时不进行讨论。

例五：在数列{an}中，a1=1，挡n≥2的时候，an=an-1+2n-1，求{an}的通项公式。

解题思路：在本题的解题过程中，应当积极的运用待定系数法进行相关命题结构的变化，然后将复杂的数列问题逐渐的转化为基本的数列问题，最终求出通项公式。首先，bn=an+An+B，在an=bn-An-B， an-1=bn-1-A（n-1）-B，中代入題目给出的递推公式中，则得出bn=12bn-1+（12A+2）n+（12A+12B-1），进行方程组的求解可以而出

这个时候，bn=12bn-1且存在bn=an-4n+6，因此，bn=32n-1，最终得出an=32n-1+4n-6。

数列问题本质上可以说是函数问题，将数列转化为函数来进行求解能够帮助学生清晰地认知到数列的本质，加深学生对于数列知识的理解。

六、应用倒数法求解通项公式

倒数法顾名思义就是通过将题目中给出的数列式子进行倒数变化，然后在进行简化观察求解的一种方法，这种方法主要适用于题目中给出分数式子的情况下。

例六：在数列{an}中，a1=1，an+1=2an3an+2，求{an}的通项公式。

解题思路：本题就是应用倒数法进行解析，将an+1转化为1an+1，这样能够快速准确的得出通项公式。

利用倒数法进行解题构造相应的特殊函数来进行解题，比如通过an+1=panqan+p→1an+1=pan+ppan=1an+qp这样的形式来进行等差数列的构造，这样能够进一步的应用等差数列的特点来进行相应通项公式的解析，真正的实现在面临复杂分数式子的时候达到高效解题。

随着素质教育的不断发展进步，在中学阶段教师不仅仅注重学生数学基础知识的夯实和理解，更是应当从学生未来发展的角度出发，培养学生的数学思维和数学思想。数列知识作为中学数学中的重点内容，一直是高考考试中重点考察的内容。在新高考的形势下，高考对于学生综合能力的考察越来越重视，这不仅仅需要学生具备良好的数学知识体系，更是需要学生能够在解题的过程中快速、准确的把握住数列问题的解题要点，从而能够快速、准确的进行通项公式的求解。

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（作者单位：安徽省定远中学，安徽 定远 233200）