金融数学专业《常微分方程》的教学改革

赵利云 薄洪波

摘要：金融数学是由数学与金融学交叉发展起来的一门新兴边缘学科，其学科方向偏重于文科类，因此对于金融数学方向的学生来说，《常微分方程》课程太过于理论化，难于完全理解和掌握。而对金融数学专业的学生来说，《常微分方程》课程的教学目标是必须掌握基本的知识点、基本的理论，会灵活应用理论知识解决专业课程中出现的金融问题。基于此，将探索如何在教学过程融入金融案例，使得此门课程的教学内容为学生所用。

关键词：《常微分方程》 金融数学案例 教学方法 教学改革

中图分类号：O175  文献标识码：A  文章编号：1009-5349（2020）07-0028-02

金融数学是这些年来由应用数学与金融学交叉发展起来的一门新兴的边缘性学科，是应用数学基本理论和数学模型来研究人们的消费和投资决策的。由于其具有很强的实用性和可操作性，故受到国际金融界和应用数学界的高度重视，导致其理论得到了长足发展。而它的进一步发展是离不开数学基础课程的支撑的。《常微分方程》作为一门理论性强、变化性强、解题思路和方法众多的课程，对金融数学的学生而言，是必须掌握的，而且还需要能灵活应用其解决专业课程中的问题。同时，金融数学专业的《常微分方程》教学是继《解析几何》《数学分析》《高等代数》之后开设的一门非常重要的基础专业课，它是为后续的金融方面专业课服务的。《常微分方程》课程内容的掌握程度对理解后续金融方面专业课起着举足轻重的作用，因此，对此课程的改革有着广泛的實用价值[1]。

一、《常微分方程》课程的学习和教学现状

目前，大部分金融数学方向《常微分方程》课程的教学过程中，主要存在以下问题：

（一）学生方面

一方面《常微分方程》部分内容理论性太强，如解的存在唯一性定理、解对初值的连续性和可微性、解的延拓定理、稳定性理论等，这些内容对金融数学的学生而言，有一定的难度，学生难以掌握。另一方面，很多学生不会利用常微分方程理论解决其在专业课中遇到的金融案例，不会利用常微分方程知识解释金融过程中出现的现象。进而导致其认为学《常微分方程》没有用，在以后的学习和实践中起不到作用，因此缺乏学习的主动性和积极性。

（二）教师方面

在教学内容上，任课教师，特别是纯数学专业的教师，过分强调微分方程理论的严密性，以及一些有关微分方程的理论，忽略它与金融课程的联系，不太注重这些微分方程在金融问题中的实际意义及如何利用微分方程建立金融问题模型，造成学生对所学内容不感兴趣，过后不会应用所学知识解决实际问题的局面。因此，如何在教学中突出其实践性已成为近年来教学改革的热点。此外，在教学方法上，存在的问题主要表现为在授课过程中没有应用到计算机软件（像Maple，Matlab，Mathematics）等去演示和仿真，这样不利于学生创新意识及应用能力的培养和提高。

针对以上存在的问题，本论文主要立意于改革《常微分方程》的教学内容、教学方法、教学模式。此项改革对于金融数学专业的发展有着重要的意义，主要体现在以下几个方面：第一，通过教学内容重组和优化可以减轻学生的学习负担，使学生具有明确的学习目标;第二，通过在授课过程中结合金融案例，可以帮助学生更好地理解《常微分方程》中的一些概念和理论，达到将所学知识融会贯通的目的;第三，数学软件的引入，提高了学生应用理论知识解决实际问题的能力，从而更深刻地理解所学的金融数学专业问题;第四，教学模式和教学方法的改革，尤其是让学生参与教学过程，可以提高学生的学习兴趣及学习主动性，从而培养学生的自学能力及整体素质。因此，在本论文中提到的改革的实施将会使金融数学方向的学生成为学习能力、专业实践和创新能力都较强的应用型人才。

二、改革的具体措施

针对金融数学学生存在的上述问题，本论文提出一些改革的具体措施：

（一）对原有《常微分方程》课程内容进行优化重组、适当删减

1.将微分方程的解法归纳为一个部分，这部分内容重于应用

通过对一阶、二阶线性及非线性微分方程的讲解，让学生会求这类微分方程的解。因为这部分内容在《高等数学》中已有涉及，所以这部分内容对于学生的学和教师的教都不具有挑战性，但这部分内容在实际应用中却发挥着举足轻重的作用，因此，必须重视对这部分内容的学习。

2.把解的存在、唯一性定理、解的稳定性作为第二部分

这部分内容理论性较强，让学生了解理论知识即可。对于难度大的定理的证明，不讲证明过程，要求学生记住定理内容，会应用定理解决数学问题。比如，延拓定理和解对初值的依赖性定理，我们只讲直观的几何解释，不讲定理的证明，这样既达到了教学大纲要求，又减轻了学生负担，对此不可深入挖掘，否则会让学生陷入厌学的状态。

3.微分方程的应用

这部分内容是重点，学生一定要深入理解这部分内容，并会利用理论知识理解和解决金融问题。用解的稳定性理论来预测现实中金融问题的走向，作出正确的决策，进而提高学生的学习兴趣，培养其勇于创新、敢于探索的意识。

（二）教学过程中加入一些《常微分方程》的金融背景介绍

适时用金融案例替换教材中涉及其他学科的案例，帮助学生理解金融问题和《常微分方程》的关系;创设与教材的内容相吻合的金融情境，帮助学生学习基本理论和基本内容。这样既提高了学生的学习兴趣，也能帮助学生明确金融方面的专业课和数学基础课程的关系，进而初步建立具有金融数学模型的思维方式。比如：在讲微分方程的稳定性时，可以引入一个生产子块、货币子块、证券子块所组成的金融模型，并讲明它所代表的具体意义。而且这个模型的系数在一定的范围内时，微分方程会出现混沌现象，也即经济问题中经常出现的不稳定，无序，无规律性[2]。后续任课教师可以查找相关资料，找出大量的类似案例进行讲解。

（三）引入数学软件，提高学生学习兴趣，培养应用能力

对于实际的金融案例，通过金融背景知识建立数学模型。分析此数学模型的实际意义，预测模型的稳定性或其趋势，进而理解方程。引入Maple、Matlab、Mathematic等数学软件对上述问题求解析解，对金融数据进行分析，进而作图进行数值仿真以验证预测的稳定性或其趋势是否正确。同时，通过利用软件编程的过程，让学生理解龙哥—库塔迭代算法的本质，也为学生学习《数值分析》课程奠定了基础。进而使学生能够把所学知识应用于解决金融衍生资产定价、金融风险管理等问题中去，培养学生运用数学方法研究解决问题时所需的理解力、洞察力和想象力。此外，通过数学软件的学习，培养学生从复杂的影响因素中分析出关键因素并設计解决方案的基本能力，具备通过数值计算对金融问题进行数值分析和检验预测猜想的方案的能力[3]。

（四）让学生参与教学以调动学生学习的积极性

当前不少学校存在一个现象，学生的学习主动性比较差，总是被教师牵着鼻子走。而教学活动是教师指导下学生主动学习的过程，教与学是一个过程的两个方面，二者相伴相随。学生参与教学，就是要参与到教学的各个环节中，教师利用好各个环节的教学促进学生的发展，发挥他们的主观能动性。因而，为了鼓励学生自主学习、培养自学能力，提高学生学习积极性和综合能力，我们可以把相对平行的内容单拿出来让学生分组自己来讲。引导学生从被动学变为主动学，从机械地听和记变为自觉地探索与思考，从根本上改变了目前许多学生“上课记笔记、下课抄笔记、考试背笔记、毕业扔笔记”的现状，从而培养学生独立求知和独立思考、解决问题的能力。最后，师生共同评议，从而提高学生学习的主动性和自信心。

三、结语

对于如何在金融数学专业中进行《常微分方程》课程的教学，教师在上述改革的基础上还需要不断摸索适合本校学生的教学方法和教学目标。而教学中融入金融数学案例的思想，不单单是课程的融入，更重要的是在学生思维中的镶嵌[4]。在实践中，教师们应从常微分课程教学实际情况出发，培养学生应用所学知识去认识问题和解决实际金融问题的能力，建立适合本校应用数学专业学生的教学内容、教学方法和教学模式。

参考文献：

[1]马军海，陈予恕.一类非线性金融系统分岔混沌拓扑结构与全局复杂性研究（I）[J].应用数学和力学，2001（12）：1119-1128.

[2]钟云燕.对金融数学专业教学改革问题的思考[J].广东技术师范学院学报，2009（1）：102-104.

[3]何树红，李凯敏，李志勇，等.金融数学方向硕士研究生培养模式探讨[J].学理论，2011（27）：96-99.

[4]韦程东，高扬，陈志强.在《常微分方程》教学中融入数学建模思想的探索与实践[J]，数学的实践与认识，2008（20）：228-233.

责任编辑：张蕊