基于一类广义三阶KdV方程的精确解探讨

李奇芳

(山西财贸职业技术学院 山西 太原 030031)

1 研究背景

在自然科学和工程技术里，不少现象不能采用线性模型描述，如大幅度摆动，自激震荡，电路的机理等.所以，近年来，对非线性问题的研究在物理，化学，生物，数学等领域得到了广泛而深入的开展，特别是寻找非线性方程的精确解受到广泛关注.由于非线性现象与非线性偏微分方程有着密切的联系，非线性偏微分方程的精确解在许多的科技领域发挥着重要作用，因此，为了更好的理解自然界中众多的非线性现象的机制，必须知道与这些非线性现象相符的非线性偏微分方程的精确解。郭婷婷等人(2017)提出运用双Bell多项式确定KdV方程的双线性，并求得其递推公式[1]。郭峰等人(2018)提出利用平均值离散梯度的模式验证KdV方程组能量守恒理论的正确性[2]。赵露等人(2018)通过简化的双典型方法测试双模KdV方程中的线性及非线性参数，从而得到精确解[3]。基于此，可以看出，利用KdV方程算法求解非线性模型，并用这种方法求解CH-DP方程更加简洁明了。

2 KdV方程的概述

2.1 研究方向

2.2 研究方法

对于一个关于独立变量的一类非线性偏微分方程如(1)所示:

H1(u,ux,ut,uxx,uxt,utt,…)=0.

(1)

该方法通过下面四个步骤寻找非线性偏微分方程的精确解，如方程(2)所示：

u(x,t)=φ(x,t)+R,

(2)

其中R任意常数，将变换(1)代入(2)中，则公式1转换为下面的形式，如方程(3)所示：

H2(φ，φx,φt,φtt,φxt,φtt…)=0.

(3)

而后确定常数R的值.如方程(4)所示：

Φ=φ-α2φxx

(4)

其中α≠0，将方程(3)代入方程(4)使方程(4)的各项表达式都包含Φ或者Φ的各阶导数，根据方程各项之间系数的关系，得出R的取值。

(三)例题模拟

例如：考虑如下DGH方程，如方程(5)所示:

ut+2kux+3uux-(uxxt+uuxx+2uxuxx+γuxx=0,

(5)

其中k,γ是任意常数.将公式(2)代入方程(5)，如方程(6)所示：

φt+(2k+3R)φx+3φφx-φxx-φφxxx-2φxφxx+(γ-R)φxxx=0.

(6)

方程(6)可变为如方程(7)所示:

(φ-φxx)t+2φx(φ-φxx)+φ(φ-φxx)x=-(2k+3R)φx-(γ-R)φxxx·

(7)

由方程(4)，取α2=1得如方程(8)所示：

Φt+2φxΦ+φΦx=-(2k+3R)φx-(γ-R)φxxx·

(8)

为了使方程(8)的每一项都包含Φ或者Φ的各阶导数，如方程(9)所示：

-(2k+3R)=γ-R,

(9)

化简可得如方程(10)所示：

(10)

将方程(10)代入方程(8)得如方程(11)所示:

(11)

显然，Φ=0是方程(11)的解.

求方程Φ=0的解.注意到Φ=φ-α2φxx=0是线性微分方程，因此容易得到该方程的更一般形式的解.获得方程(1)的精确解。通过方程(4)的变形，方程(11)的每一项都包含Φ或者Φ的各阶导数，则当φ(x,t)是方程Φ=0的解时，φ(x,t)也是方程(3)的解.实际上，在方程(11)中，当φ(x,t)是方程Φ=0的解时，φ(x,t)也是方程(11)的解.通过改变常数t的取值来扩展方程Φ=0的基础解，从而得到方程(1)的一系列的精确解.

3 一类广义三阶KdV方程的求解

3.1 一类广义三阶KdV方程的精确解

在这部分，将应用这种简单的方法得到广义三阶KdV方程的不同解.广义三阶KdV方程如方程(12)所示：

(12)

其中α,β,ν为任意常数.

令u(x,t)=φ(x,t)+R，将其代入方程(12)后如方程(13)所示：

(13)

根据研究方法，方程(13)可转换如方程(14)所示:

(14)

令Φ=φ+νφxx，为了使方程(14)的每一项包含Φ或者Φ的各阶导数，如方程(15)所示:

(15)

化简可得如方程(16)所示：

(16)

因此方程(14)可以写为如方程(17)所示:

(17)

注意到Φ=φ+νφxx,所以，方程(17)可以变为如方程(18)所示:

(18)

3.2 情景分析

我们需考虑方程(19)的解：

φ+νφxx=0.

(19)

情形假设φ<0.

容易求出方程(19)的基本解组如方程(20)所示：

(20)

其中A(t),B(t)是任意可微函数. 是方程(19)的解，易知如方程(21)、公式(22)所示:

(21)

和

(22)

由方程(23)、方程(24)所示：

(23)

和

(24)

可得如方程(25)、方程(26)也是方程(19)的解：

(25)

(26)

所以，当如方程(27)所示时，也是方程(19)的解.

(27)

由于A(t)，B(t)是任意可微函数，则可以扩展解方程(21)后，如方程(28)所示:

(28)

其中c1,c2为任意常数.

不妨假设00时，则有0

(29)

所以可得如方程(30)所示也是方程(19)的解.

(30)

此外，还能扩展方程(21)如方程(31)所示:

(31)

其p(t),q(t)中为任意函数，通过检验，也是方程(19)的解.

类似地，对任意的x构造，如方程(32)所示：

(32)

所以方程(32)也是方程(19)的解.

(32)

(33)

(34)

也是方程(19)的解.其中Ai(t),Bj(t),pi(t),qj(t)是任意可微函数，i=1,2,…N,j=1,2,…M,N,M是任意正整数。类似可得如方程(35)、方程(36)也是方程(19)的解[5].

(35)

(36)

根据双曲函数的定义，可知方程(37)、方程(38)也是方程(19)的解.

(37)

(38)

情形ν>0.

容易求出方程(19)的基本解组为如方程(39)、方程(40)所示：

(39)

其中c(t)为任意可微函数[6]。

(40)

值得注意的是，从上面的这些构造过程中，可以得到方程(19)的其他精确解，由于篇幅所限，在这里给予省略.

故方程(13)有下列解，如方程(41)-方程(50)所示：

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(三)精确解的波形图

根据所求的精确解，利用Maple软件将方程(41)-(45)及(50)的解的波形图绘制如下：

绘图时，方程(41)、方程(42)、方程(44)都取ν=-1,α=-1,β=1，N=1,M=1,方程(50)取ν=3,α=1,β=3,N=1,M=1.如图1-4所示：

图1(a)是当A(t)=log10t，B(t)=sint,x[-20,20],t[1,10]时,方程(41)的波形图. (b)是当A(t)=sin，B(t)=cost,x[-30,30],t[-15,15]时，方程(41)的波形图.

(c)是当A(t)=sinht,B(t)=tant,p(t)=sint,q(t)=sint,x[-40,40],t[-1,1]时，方程(42)的波形图.

(d)是当A(t)=sinht,B(t)=cost,p(t)=sint2,q(t)=sint3,x[-2,2],t[-8,8]时，方程(42)的波形图.

(e)是当A(t)=t2,B(t)=t,p(t)=sint2,q(t)=cost3,x[-3,3],t[-4,4]时，方程(44)的波形图.

(d)是当A(t)=et2,B(t)=cost,p(t)=sint2,q(t)=cost3,x[-10,40],t[-1,1]时，方程(44)的波形图.

(g)是当C(t)=log10t,x[-20,20],t[0.1,10]时，方程(50)的波形图. (h)是当C(t)=sin10t,x[3.5,11],t[-13,13]时，方程(50)的波形图.

四、结论

求解非线性偏微分方程的精确解是一种简单方法，这种方法对于求解非线性偏微分方程是有效和直接的，它可以避免乏味的重复计算。这种方法之所以简单关键在将原方程进行转化，转化为多个简单的常系数高阶常微分方程，最终只需求出简单的常系数高阶常微分方程的解。便可得出原方程的解。本文以广义三阶KdV方程为例，用简单方法求出了它的许多精确解，并且借助数学软件MAPLE，在一定参数条件下得到了该方程的一些特殊解的波形图。