对称阵列中基于原子范数的远近场混合源定位

吴晓欢

(南京邮电大学 通信与信息工程学院，江苏 南京 210003)

基于天线阵列的信源定位是阵列信号处理领域中的重要组成部分，被广泛应用于雷达、声纳、通信、语音等重要军用与民用领域［1］。例如，在5G毫米波通信系统中，信道估计依赖于对路径来向的精确获取［2］。不精确的角度估计会降低信道估计的精度，进而降低通信效率。根据信源和接收天线阵列之间的距离不同，信源定位可以分为远场（Far-Field，FF）信源定位和近场（Near-Field，NF）信源定位。当信源距离天线较远时（即信源远离阵列的菲涅尔区域），到达阵列的信源信号可以看作平面波，信源的定位参数为信源到达角（Dirction-Of-Arrival，DOA）。而当信源落在天线阵列的菲涅尔区域内，信源发出的信号以球面波的形式到达接收天线。因此，在NF信源定位中，信源的定位参数包括信源的DOA和距离参数。只有准确求出信源的参数对（DOA，距离），才能实现有效定位。

针对NF信源定位问题，研究者们提出了一系列有效算法，如二维多重信号分类（Two-Dimensional Multiple Signal Classification，2-D MUSIC）方法［3］，多项式求根（Polynomial Rooting Approach，PRA）方法［4］，最大似然（Maximum Likelihood，ML）方法［5］，球面谐波域（Spherical Harmonics Domain，SHD）方法［6］等。然而，这些方法大多需要高阶泰勒展开，并且具有较高的计算复杂度。为了解决这些问题，研究者利用二阶泰勒展开公式将包含非线性信号传播时延的球面波信号模型近似为二次多项式形式的信号模型。这一转换极大简化了NF信号模型。在此基础上，一系列估计方法被提出来，如路径跟随（Path Following）方法［7］、高阶旋转不变性（High-order Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique，HO-ESPRIT）方法［8］等。文献［9］提出了一种基于加权线性预测的远近场定位方法，该方法利用了二阶统计特性，避免了多维搜索，同时还给出了随机克拉美罗下界（Crammer-Rao Lower Bound，CRLB）。与基于球面波信号模型的方法相比，基于二次型信号模型的方法具有更低的计算复杂度。

在远场信源定位中，信源的位置参数仅为DOA参数。围绕DOA估计信号模型，诸如MUSIC、ESPRIT等一系列远场定位方法被提出。然而，这些子空间类定位方法严重依赖于信号子空间和噪声子空间之间的正交性。在复杂的现代通信环境中，小快拍、高相关性等恶劣条件破坏了这一正交性，使得子空间类方法难以适用。同时，子空间类方法还需要已知入射信号个数，这在实际场景中也难以获得。针对子空间类方法的缺点，提出了基于压缩感知的定位方法［10-12］。这些方法有效克服了子空间类方法的缺点，能够适用于上述恶劣条件。但压缩感知类方法基于空间网格划分，并假设信号来向无误差地落在网格之上，这与实际环境并不吻合。同时，过密的网格会使得模型维数变大，从而带来较高的计算量。近几年，基于新兴的原子范数理论，提出了一种无网格远场定位方法［13-14］。该类方法无需网格划分，能够完全克服压缩感知类方法中网格划分所带来的缺点。利用阵列流形矩阵的范德蒙特性，原子范数类方法通过重构出具有托布利兹结构的协方差矩阵来实现定位。该类方法已经在一维均匀/稀疏线阵、二维面阵、互耦等场景下展现出优良的估计性能和强大的场景适应能力。

在一些实际应用场景中，近场和远场信源可能同时存在。如基于麦克风阵列的说话人定位。为此，研究者提出了一系列适用于远近场混合信源定位的算法。文献［15］提出了一种两步MUSIC（Two-Stage MUSIC，TSMUSIC）方法，该方法首先通过构造一个高阶累积量矩阵来消除距离参数，进而通过MUSIC方法来获取远近场信源角度参数，再构造另一个高阶累积量矩阵来估计距离信息。文献［16］提出了一种斜投影MUSIC（Oblique Projection MUSIC，OPMUSIC）方法，该方法首先利用MUSIC估计出远场信号角度信息，再利用斜投影消除远场信号信息来估计近场信号的位置信息。压缩感知理论也被引入到远近场定位中。文献［17］提出了一种基于范数最小化的定位方法高阶统计量稀疏信号重构（High-Order Statistics based Sparse Signal Representation，HOS-SSR）方法。该方法通过高阶累积量来消除距离信息，进而利用加权范数优化模型来估计角度。再构造关于距离参数的范数优化模型来求得距离信息。与上述远场方法类似，子空间类和压缩感知类方法的缺点也存在于这些方法中，因此，有必要将远场中的无网格类定位方法引入远近场定位。然而，由于近场信源的存在使得阵列流形矩阵不满足范德蒙特性，因此难以直接将原子范数类方法用于远近场信源定位。我们在最近的工作中提出了一种基于原子范数的定位方法［18］，该方法在估计远近场信源角度时能够有效克服子空间类和压缩感知类方法的缺点。为了进一步提高该方法的估计精度，本文提出了一种基于非凸优化的方法。该方法首先建立一个四阶累积量矩阵，利用阵列对称性质去消除距离参数的影响。再利用原子范数理论，建立基于低秩矩阵重构的半正定规划问题，并通过非凸优化方法进行模型求解。进而利用范德蒙分解定理得到角度的估计值。再利用该估计值，通过一维搜索方法来得到近场信源距离的估计值。仿真结果表明，提出的方法在均匀阵列和稀疏阵列场景均具有较高的估计精度。

1 信号模型

首先给出本文所用对称阵列的定义。令［N］=｛-N，…，N｝，对称阵列的阵元索引值为Ω=｛Ω-M，…，Ω-1，Ω0，Ω1，…，ΩM｝⊆［N］，其中Ω1＜… ＜ΩM且Ω-M=-ΩM，Ω0=0，ΩM=N。容易看出，当M=N时，该阵列为均匀线阵；当M＜N时，为稀疏对称线阵。不失一般性，以下采用任意对称线阵。

其中，sk（t）表示第k个入射信号波形，τm，k表示第k个信号相对于第m个阵元的相位延迟，vm（t）表示第m个阵元上接收到的加性高斯白噪声。远场信号的相位延迟为

其中，

近场信号的相位延迟为

其中，

从式（2）和式（4）可以看出，远场信号的相位延迟可以看作近场信号相位延迟在r→+∞时的一个特例。因此，用式（4）来统一代表远场和近场信号，进而得到阵列接收信号为

其中，x（t）=［x-M（t），…，xM（t）］T表示接收信号，A=［a（ω1，φ1），…，a（ωK，φK）］表示流形矩阵，a（ωk，φk）=［ej（Ω-Mωk+Ω2-Mφk），…，ej（ΩMωk+Ω2Mφk）］T表示第k个信号的导向矢量，v（t）表示阵列接收到的噪声信号。可以看出，令r→+∞，可以得到远场信号的导向矢量a（ωk）=［ejΩ-Mωk，…，ejΩMωk］T。用模型（6）来统一表示远近场信号的优势是信号个数KF或KN无需已知。同时，通过计算出所有信号的距离估计值后，落在菲涅尔区域内的信号为近场信号，落在菲涅尔区域以外的信号为远场信号，从而可以完成信号的分类。我们的目标是通过采集到的阵列信号x（t）完成对远近场信号定位参数的获取。从式（3）和式（5）可以看出，｛θk，rk｝和｛ωk，φk｝具有一一对应关系，因此，当得到｛ωk，φk｝的估计值后，信号的定位信息可以通过式（3）和式（5）获得。

我们给出本文所用到的一些基本假设：（1）为了避免角度模糊现象，阵元间最小距离d≤λ/4；（2）阵列接收噪声为独立同分布的加性复高斯白噪声；（3）入射信号为欠高斯信号，如振幅键控（Amplitude Shift Keying，ASK）信号等；（4）信号个数信息，如K、KF或KN均未知。

2 所提方法

首先定义四阶累积量：

其中，c4sk＜0表示第k个信号的四阶累积量。建立如下基于四阶累积量的矩阵：

表示为

其中，T（u）表示通过向量u生成托布利兹矩阵，u为T（u）的第一行，CΩ=ΓCΓT，Γ为选择矩阵，其第行为全零，仅在Ωj-M+1+N+1处值为1。然而由于非凸项rank函数的存在，该模型难以求解。一种妥协的凸松弛方法是将目标函数中的rank函数替换为迹函数，从而将模型（12）转换为凸问题，再利用CVX等优化工具箱进行求解［18］。然而，转换后的模型容易受到分辨率的制约，使得在两个信号来向较为靠近时的估计精度下降。为了解决这一问题，将模型（12）改写为

由于非凸项ln函数的存在，该模型仍然是一个非凸模型，因此无法直接利用CVX工具箱进行求解。为了解决这一问题，我们引入优化最大化（Majorization-Maximization，MM）方法［20］。该方法通过迭代求解，在每一次迭代中，优化问题的目标函数由其超平面来替代。在第j+1次迭代中，由于gϵ（σ）为凹函数，可知，）

其中，uj为第j次迭代中的最优解，σj为矩阵T（uj）的奇异值向量，Δ为微分符号。因此，第j+1次迭代中的优化问题为

在得到角度估计值之后，我们用MUSIC方法来实现距离参数的求解。将阵列采样协方差矩阵进行特征值分解，得到的2M+1-K个最小特征值所对应的特征向量，即噪声子空间Un。则第k个信号的距离信息可以通过对如下问题进行一维搜索得到，

3 仿真实验

我们通过仿真实验来验证本算法的估计性能。选用TSMUSIC［15］、OPMUSIC［16］和HOS-SSR［17］方法来进行比较，同时，还采用CRLB来作为性能基准。假设TSMUSIC、OPMUSIC和HOS-SSR已知信源个数，而本方法未知。为了比较各个方法的估计性能，选用均方根误差（Root Mean Square Error，RMSE）作为性能衡量指标。RMSE定义为

其中，L表示蒙特卡洛实验总次数，d（t）表示第t次实验中的DOA或距离的真实值，d^（t）表示第t次实验中的DOA或距离的估计值。

3.1 ULA场景下估计性能比较

在第一个实验中，选用7阵元的ULA作为接收阵列，最小阵元间距d=λ/4。入射信源包括一个位置为｛-6°，+∞｝的远场信源和一个位置为｛6°，2λ｝的近场信源。接收快拍数为200。令信噪比（SNR）变化区间为［-5，20］dB，每个信噪比下进行500次蒙特卡洛实验，得到RMSE随信噪比的变化曲线如图2所示。

从图2（a）中可以看出，本文提出的方法能够有效估计远场信号的角度，其RMSE能够随着信噪比的增加而逐渐下降。相比于文献［18］中直接通过凸松弛方法来求解，本文所提出的基于非凸优化的方法具有更高的估计精度。在图2（b）中，本文所提方法仍然能够较好地逼近CRLB，而OPMUSIC和HOS-SSR在高信噪比时开始偏离CRLB，随着信噪比的增加，其RMSE缓慢下降。在图2（c）中，TSMUSIC和HOS-SSR的估计性能不佳。虽然OPMUSIC在低信噪比时性能较好，但在高信噪比时，由于近场信源的角度估计值较差，因此也偏离CRLB。相比之下，本文所提出的方法能够在信噪比大于10 dB之后贴近CRLB。

3.2 SLA场景下估计性能比较

在第二个实验中，保持第一个仿真实验中的实验参数不变，将接收阵列替换为Ω=｛-3，-2，0，2，3｝的对称SLA，最小阵元间距为d=λ/4。所得到的RMSE结果如图3所示。

从图3（a）可以看出，在SLA场景下本文所提出的方法在估计远场信源角度时能有较好地估计性能，其RMSE能够随着信噪比的增加而降低。从图3（b）中可以看出，本文所提出的方法能够很好地贴近CRLB。相比之下，OPMUSIC由于不能适用于SLA场景，因此估计失败。文献［18］的方法由于分辨率较低，因此估计性能不佳，HOS-SSR在高信噪比时会偏离CRLB，而TSMUSIC在低信噪比时表现劣于本文方法。从图3（c）中可以看出，由于近场角度估计失败或偏差，OPMUSIC、HOS-SSR 和文献［18］方法性能较差。而本文方法则能够较好地逼近CRLB。由于TSMUSIC估计失败，因此其RMSE没有给出。

4 结束语

本文提出了一种基于原子范数理论的远近场混合源定位方法。该方法在角度估计时无需网格划分，因此避免了由于网格划分所带来的诸如网格偏差等问题。同时，为了提高分辨率，该方法利用非凸优化来实现远近场信源角度估计。所提方法不仅适用于均匀阵列，还可以用于稀疏对称阵列，因此具有较广泛的应用场景。