立足习题教学 把握教学立意

吴林

课堂教学能传授给学生哪些知识、培养学生的哪些能力和素养，学生能得到哪些发展、形成哪些数学思想、获得什么样的情感体验，这就是教学设计的意图和动机，也就是教学设计的立意.若从知识、能力和情感态度价值观三个维度来划分，我们可以将教学设计的立意分为知识立意、能力立意和人本立意，这三者正好与课程标准的三维目标相吻合. 教学设计的立意直接影响到教师对教学目标的确定、对教学内容的重组、对教法的选取以及对课堂生成的预设，它包含教学目标，又高于教学目标. 本文以笔者多次讲评同一习题的课例为例，阐述如何立足习题教学，把握教学立意.

一、三次教学实践及反思

题1（人教版选修1-2，P44习题2.2，A组第3题）：在？驻ABC中，若三边a， b， c的倒数成等差数列，求证：B<■.

课例1：（新授课后的习题讲评）

学生独立思考，教师巡堂. 很多学生的第一想法是先用余弦定理表示cosB，即：∵■=■+■，∴ b=■，

∴cosB = ■.

但学生运算到这步就找不到方向了.

师：这么复杂的式子很难找到化简的方向，也就是说直接证明会有难度，那我们应该怎么办？

生：间接证明.

师：很好！用我们刚学过的反证法.

师生一起用反证法完成此题，教师板书：假设B≥90°，则b为三角形的最大边，∴ b>a，b>c，∴■<■，■<■，∴■<■+■，这与已知矛盾，所以假设不成立，原命题成立.

点评：从知识立意的角度来看，教师讲授了反证法，也指出在运用直接法有困难时考虑反证法，传递了“正难则反”的思想，达到了“巩固反证法”的教学目标. 但是，教学停留在“反证法”本身，学生从形式上明白了“什么时候用反证法”，但“不用反证法行不行？”这个问题没有解决. 通过这道题的讲解，学生哪些能力能得到提升？学生会获得怎样的情感体验？这是教学设计没有考虑到的内容，也就是没有教学的立意，这是经验欠缺和准备不充分的表现.

课例2：（高三一轮复习课，课题：均值不等式）

课后，学生问：“老师，我考试时面对这种题想不到用反证法怎么办？”这引发了我的思考：不用反证法行不行？我后续研究了这题的解法，并写了教学反思.后来在高三复习课时，我改编此题，对教学做了调整：

题2：在ABC中，若三边a，b，c的倒数成等差数列，求证：B∈（0，■].

大多数学生的第一想法还是用余弦定理表示cosB，即：cosB=■.

师：这个式子似乎复杂到找不到计算方向，我们一起分析条件：■=■+■，这个式子是哪个“平均数”的结构？

生：a，c的调和平均数.

师：很好！其本质就是：b=■，调和平均数与其它几类平均数存在一组不等关系？请写出来.

生：b=■≤■≤■≤■（*）

师：这些不等关系能否用到此题？怎么应用到此题？用那个比较简便？

生：考虑到cosB=■，式中出现了a2+c2和2ac，所以用■≤■和■≤■应该都可以.

师：很好！请大家试试.

学生自己动手计算，注意到a2+c2≥2ac，cosB=■≥■=■，从而求出B∈（0，■].

点评：教师有了比较充分的准备，学生能按照教师的预设进入学习情境，从分析式子结构入手，将几类平均数的不等关系应用到本题，学生的分析能力得到了培养，学生会有收获新知的成功体验，特别是将题2和题1比较，结果更精确，能激发学生的探究兴趣. 说明教师在设计教学时有思考：如何引导学生分析条件，如何启发学生思考问题，如何让学生参与到教学中来？这个设计在知识和能力立意之上有“人本立意”的倾向.

但是，学生还是在教师预设的思维轨道上行走，在思维的起点和关键点，教师会有引导和提示，这不利于学生分析能力的培养. 另外，（*）式的结论是课标没有要求的，如果没有提前讲授，学生无法提取这个信息. 教师的提示点正是培养学生思维和素养能力的关键点，教师没有很好地引导学生，化解和消除学习中的难点，促成教学生成，忽视学生自主学习过程，影响学生思维能力的提升，从而造成“人本立意”高度不够.

课例3：（高三一轮复习，课题：均值不等式）

多年后，我仍以题1为例题展开了一次教学，很多学生的第一想法仍然是用余弦定理表示角B，即cosB=■.

师：这么复杂的式子，似乎找不到化简和变形的方向，大家想想我们的目标是什么？

生：判断cosB的正负.

师：很好！那现在的困难在哪？障碍是什么？

生：式子太复杂，化简不了.

师：仔细观察这式子的形式和特征，有没有什么联系？

几分钟后，生1举手回答：把它分成两块，cosB=■=■-■-1.

师：你是怎么想到的？

生1：式子虽然复杂，但感觉分子前后“各自为阵”，所以想分开试试.

师：好，你的感觉很好. 有想法时，要勇敢地试试，才知道结果. 然后呢？

生1：还没有想到. 只是发现第一、二两个式子互为倒数.

师：很好，分开两块后的式子互为倒数，比刚才的特征明显，这个思路应该可行. 大家都想想，看能否找到解决办法？

生2：可以用换元法. 既然第一、二两个式子互为倒数，那么可设t=■，则cosB=t-■-1，是一个关于t的增函数. 接下来求出t的范圍，t=■≥■=2，当且仅当a=c时取等号. ∴cosB≥2-■-1=■，∴ B≤60°.

师：这位同学用换元法帮我们解决一个大问题，把复杂的式子简单化了，也注意到了换元法要注意新元的范围. 两位同学一起按自己的思路解决了这个问题，而且比题目要求的范围更精确.这个方法也是我没有想到的，大家给他们一点掌声.

学生的想法确实超出我的预设. 我按预设给出提示.

师：回到刚才思维受阻的地方：cosB = ■，目标是将式子化简，然后判断符号. 大家观察这个式子，你还会有什么想法？

生3：直接用均值不等式，因为a2+c2≥2ac，a+c≥2■，这两个式子同时在a=c时取等号，所以cosB = ■≥■=■.

师：你是怎么想到的？

生3：我试过将式子化简，行不通. 受生1的启发，用整体的思想理解a2+c2，a+c，ac，我想用均值不等式试试.

师：很好，直接从式子的结构和形式分析，找到联系. 这是我们解题时的常用分析方法.

至此，学生们都很满意这题的解法了，但是离我的想法还有些差距，于是我让学习小组展开讨论，并给出两点提示：（1）既然从cosB的结构分析，要消去b，并用到均值不等式，能否从条件开始就用均值不等式？（2）如果从判断符号的角度来看，本质上是证明a2+c2-b2>0或者说比较a2+c2和b2的大小，那还有没有其他方法？

于是我给了足够的时间让学生开展小组讨论，教师巡堂并参与个别小组的讨论，然后是小组展示.

组1：按老师的提示，将条件简单变形后得到b=■≤■=■，再将这一不等关系代入cosB，得：cosB=■≥■=■. 后来，我们组发现其实条件不变形，直接用均值不等式也可以：■=■+■≥2■，所以，b≤■.

组2：按老师的提示，目的是比较a2+c2和b2的大小，那么可以作商：

■=■≥■=2>1，所以，a2+c2≥b2，原题得证. 后来我们组还发现，要求出结果，只要把b2≤■代入cosB就可以得到：

cosB=■≥■≥■=■，以上各式均当且仅当a=c时取等号.

师：大家的表现都非常棒. 以上这些解法更简洁明了，看似很复杂的式子，经过我们观察、分析、研究，最后都找到了突破口. 所以，我们只要认真分析条件，把条件和学过的知识联系起来，大胆尝试，一定能找到解题思路. 一题多解，有助于更好地复习巩固基础知识，培养自己灵活解题的能力. 当然，如果对几类平均数的大小关系和结构熟悉的话，可以直接从条件出发解题[教师板书课例1中的（*）式]. 另外，大家想想，如果只证B<90°，还有什么想法？

生4：反证法.

师：你是怎么想到的？

生4：当我算cosB时，算不下去了，我就想到了“正难则反”，所以想到了反证法. 但没有继续下去，不知道行不行！

师：很好，我们常说“正难则反”，不只是一种方法，而应该成为一种“思想”，请大家课后试试用反证法完成此题.

点评：从学生的思维起点切入，不断地鼓励学生提出自己的解法，通过追问的方式暴露和展示学生的思维过程，有助于学生更好地分析和相互进行方法的比较;通过小组合作展示，有助于学生表达能力的提升，有助于学生在“出声思维”中优化自己的解题思路，体验到成功的喜悦和分享的快乐. 学生的解法有思维回路时，教师并没有直接给出简单解法，而是提供方向，让学生自己发现更简洁的思路，在比较中发现问题，有助于培养学生的反思能力.教师归纳与總结，有助于学生从本质理解前面的解法，易于将知识和方法形成串，结成网.

教师在设计教学时不仅考虑了“传授什么方法，达成什么学目标”，而且考虑了“如何传授这些方法，如何实现这些目标”. 在教学中让学生充分参与，培养了学生的分析、反思和表达能力，以及勇于探索的精神，有较高的“人本立意”.

二、关于教学人本立意的思考

教师要保护学生思考的积极性，这是“人本立意”的前提. 教师要鼓励学生大胆尝试自己的想法，不可轻易肯定或否定;要引导学生做方法的比较，以此培养学生分析问题的能力、独立思考的习惯. 学生解决不了新问题，不能简单地将之归结为练习不足或基础知识不牢固，有时可能是缺乏解题的信心，从而放弃了探究. 这类情感态度也需要我们有意识地培养和保护.

教师及时记录、反思和分享教学中的遗憾和发现，是“人本立意”的基础. 通过展现教师的思考过程，能引发学生的学习兴趣，为学生树立乐于思考的榜样，培养学生的钻研精神. 同时也能更好地把握学情，为教学找到抓手和着力点，这种反思和实践会使教师的专业成长更快. 通过对学生熟悉问题的挖掘和拓展能引导学生跳出“题海”，重视对一题多解、一解多题的反思、归纳和总结，使学生真正地将方法内化，将问题形成串、结成网，以促进学生知识的系统化、结构化、综合化和应用化，从而真正提高学生的能力和素养.

教学立意的三个维度不是完全独立和割裂的，而是一种包含关系：能力立意包含知识立意，人本立意包含能力立意.在教学设计时，三者是互相影响的，设计教学应以知识为起点，立意为落点，从人本立意出发来确定教学目标，重组教学内容，预设教学生成;教学立意的落实应以教学内容为载体，以教学目标为抓手. 在教学设计时充分考虑传授何种知识，如何传授？培养什么能力，如何培养？学生学到什么，通过什么方式得到？学生会获得什么体验，如何获得？将这些问题落实到教学方法、教学的具体环节中，落实到教学的预设与生成中，就能更明确教学立意，也能将立意从无意识行为变为有意识行为，将教学立意从隐形变为显形.

注：作者系广东省严运华名教师工作室成员. 本文系全国教育信息技术研究2017年度专项课题“全通教学质量监测平台（AMEQP）数据支持下的高中数学教学研究”（课题立项号：1744300 26;课题号：3348）的研究成果.

责任编辑罗峰