存在需求转移的多产品报童模型研究

王岩岩，张骞骞，闵杰

(安徽建筑大学 数理学院，安徽 合肥 230601)

0 引言

报童模型(Newsvendor Model)作为一个考虑随机需求问题的库存模型，具有季节性，单周期等特点。自1956年报童模型被首次提出之后，大量学者对其进行研究和拓展，并将其广泛应用于票务、报刊、生鲜的采购决策等生活实际问题。秦军昌[1]基于随机的替代数量关系，研究了单周期可替代品的库存模型。王圣东等[2]基于两阶段需求独立和两阶段需求相关两种不同情形，建立了一般随机需求下两次订购的决策模型，给出了零售商的最优期望利润和最优订购量。汪小京[3]针对多种类顾客需求，分析了报童模型中的库存分配问题。Gerard[4]研究了市场出清价格对最优订货策略的影响。吴鹏[5]在经典报童模型的基础上，研究回收再制造环境下最优生产量的决策问题。Chen和Ho[6]通过研究具有模糊需求和增量数量折扣的单期报童问题，给出最优的订货策略。陈志刚等[7]基于零售商具有需求信息的预测更新能力，建立了报童模型并给出最优订货策略的求解算法，分析了双渠道订货环境下零售商在正常渠道和紧急渠道的订购决策。刘航[8]针对季节性商品，分别考虑了供应商提供或不提供价格折扣下零售商的最优定价订购策略。李园和侯玉梅[9]通过定义带有消费者参考价格效应的平均销售库存因子弹性，研究了随机需求性和参考价格对具有乘项需求报童模型结果的影响，得出最优订货量及最优销售价格的闭形式解。

而在实际生活中，消费者不仅仅面对单一产品。当消费者倾向购买的产品存在缺货时，消费者可选择相似颜色、功能、样式、尺寸的产品作为替代而非放弃购买，这种消费者需求转移的现象也称为客户需求驱动替代[10-11]。例如，百事可乐与可口可乐、佳能相机与索尼相机、雀巢咖啡与麦斯威尔、格力空调与美的空调等都是生活中常见的可相互替代的产品。李宇雨等[12]基于消费者需求替代和偏好异质性，研究了按订单装配模式下的制造商最优生产组合与零件补货策略。周健等[13]研究产品替代程度对于双渠道零售商和纯网络零售商定价顺序的影响，发现零售商利润会随着产品替代率的增大而增大。

对于多产品报童模型，自Hadley和Whitin[14]1963年将经典报童模型拓展到不同约束下的多产品报童模型后，国内外学者对其进行了深入的研究与推广。陈杰[15]通过考虑单向交叉的影响，研究了两产品交叉销售下报童模型的最优订货及促销价格决策。Moon和Silver[16]在补货具有固定成本的情况下，研究对补货数量总价值有预算约束的多产品报童模型。周佳琪[17]考虑交叉销售，建立带缺货惩罚的单周期多产品集中决策报童模型。周艳菊[18]探讨了损失约束条件下多产品报童问题的求解方法。上述文献对多产品的竞争决策交叉影响等问题做出研究，却没有考虑消费者群体对于可替代产品的需求转移问题。当多种产品的功能属性存在可替代性时，面对一种产品缺货，消费者往往选择购买其他类似产品作为替代，也即消费者的市场需求发生转移。Huang和Zhou[19]通过完全信息静态博弈，研究了具有缺货成本和部分产品替代情形下的多产品竞争报童模型。Zhao和Atkins[20]通过考虑具有价格竞争和部分产品替代的竞争报童模型，得到了模型的唯一纳什均衡，并将均衡解与经典报童问题的最优解进行了比较。上述文献着重研究了多产品替代之间的竞争问题，给出竞争的均衡结果，并设计迭代算法计算每种产品的最优订购量。区别于前人的研究，本文基于替代产品间盈亏比的不同，以经典报童模型为基础，考虑了缺货条件下的消费者需求转移，分别给出当市场中消费者需求转移概率为零和需求转移概率为正两种情形下的零售商最优订购量，并从中得到相应的管理启示。

1 模型建立与假设

在基础报童模型中，零售商以单价w采购商品，以价格p售出，以s表示未及时售出的产品残值，其中p＞w＞s。Q表示零售商的采购量，X表示市场需求变量，f()x和F(x)分别表示市场需求的概率密度与分布函数，πr表示零售商的总利润，表示零售商利润的期望。其中，由基础报童模型可知最优订购量Q*满足

本文考虑某类产品的市场总需求量为X，其分布函数为F。这类产品包括两种功能上存在替代性的异质产品，用X1和X2分别表示两种产品的市场需求。假设产品1的需求量占总需求量的比例为α，产品2的需求量占比为1-α。用w1和w2分别表示两种产品的批发价格，用p1和p2分别表示两种产品的零售价格，s1和s2分别表示产品1和产品2的残值，Q1和Q2分别表示零售商对两种产品的订货量。表示产品的盈亏比，我们用符号ρ表示。不失一般性，我们假设产品1的盈亏比高于产品2，即ρ1＞ρ2。为了研究存在需求转移的最优订购问题，我们首先分析消费者需求转移概率为0的基准模型。

2 需求转移概率为零的基准模型

对零售商来说，总利润的期望等于两个产品各自期望利润之和，即E(πr)=E(π1)+E(π2)。由于转移概率为0，由经典报童模型可分别求出两种产品的最优订货量。已知产品1的市场需求占总需求的比例为α，可得产品1的市场需求X1服从分布同理，产品2的市场需求X2服从分布由基础报童模型可得两种产品的最优订货量

基于两种产品订购量之间的关系，我们定义A、B两个区域如图1所示：在区域A内

图1 两产品订购量关系图

定理1 当消费者的需求转移概率为0时，零售商的最优订货量满足：

(1)两产品盈亏比相等时，零售商对两种产品的最优订货量比例与需求比例一致；

(2)产品1的盈亏比高于产品2的盈亏比时，最优订货量在B区域内，满足即零售商订购产品1的比例超过需求比例；

(3)产品1的盈亏比低于产品2的盈亏比时，最优订货量在A区域内，满足即零售商订购产品2的比例超过需求比例。

证明：当产品1的盈亏比高于产品2的盈亏比，即ρ1＞ρ2时由于分布函数F单调递增，则

3 需求转移概率大于零的一般情形

当零售商对产品1的订货量比例超过需求比例时，如果产品2的订货量不足以满足市场需求，消费者对于产品2的需求可能向产品1转移；当零售商对产品2的订货比例超过需求比例时，消费者对产品1的未满足需求可能向产品2转移。我们用β表示消费者需求从产品2向产品1的转移概率，用β′表示消费者需求从产品1向产品2的转移概率。不失一般性，假设产品1的盈亏比大于产品2。为了求解出存在消费者需求转移概率的最优订货量，我们将分别对两个区域进行分析。

3.1 对产品1的订货量超过需求比例

基于上述分析，当对产品1的订货比例超过需求比例时，两种产品的销售情况如图2所示：

图2 产品1的订货超过需求比例时的销售情况示意图

综上所述，可得出零售商的利润函数表达式如式(1)：

零售商利润函数的期望为：

分别求出期望利润对两种产品订货量的一阶偏导：

由一阶导函数条件，可得两种产品的最优订货量如下：

为分析消费者转移概率对最优订购量的影响，求β的一阶导如式(2)：

由转移概率为0的基准模型可知，当产品1的盈亏比大于产品2时，模型的最优解区域B内。根据可知产品1的最优订货量关于转移概率β单调增，产品2的最优订货量关于β单调减。所以当β＞0时，即最优解的右下方，所以订货量的最优解在B区域内，满足

3.2 对产品2的订货量超过需求比例

基于上述分析，当对产品2的订货比例超过需求比例时，两种产品的销售情况如下图3所示：

图3 产品2的订货超过需求比例时的销售情况示意图

综上所述，可得出零售商的利润函数表达式如式(3)：

零售商利润函数的期望为：

分别求出期望利润对两种产品订货量的一阶偏导：

由一阶导函数条件，可得两种产品的最优订货量如下：

为分析消费者转移概率大于0时的最优订货量，求β′的一阶导如下：

定理2 存在需求转移的情况下，零售商的最优订货策略是对盈亏比高的产品采取超过需求比例订货。

4 数值例子

为了进一步研究转移概率对两种产品订货量的影响，我们采用数值方法验证理论结果。与参考文献[15]等多数文献类似，假设产品的市场需求服从指数分布，并取参数λ=0.02。令p1=300，w1=260，s1=240，p2=200，w2=150，s2=100，α=0.6。在转移概率β的不同取值下，两种产品的订货量、总订货量及零售商利润的数值解如表1所示：

表1 转移概率β不同取值下的数值解

根据表1的数值解，画出两种产品的订货量、总订货量及零售商利润随转移概率的变化趋势。

由图4和图5可知，当产品1的盈亏比大于产品2时，随着消费者的市场需求由产品2向产品1的转移概率的增大，零售商对产品1的订货量增加，对产品2的订货量减少。这一结论与现实生活中的观察相吻合，对于零售商来说，当消费者对两种产品的需求存在替代性转移时，产品可替代率越高，对盈亏比较大产品的订购量也应该相应增加。由图6和图7可知，当消费者需求转移概率增大时，总订货量增大，零售商的利润也相应增大。这是因为随着需求转移概率的增加，零售商面临的产品库存积压风险降低，增大订货量可显著增加零售商收益。

5 结论

本文基于消费者在可替代产品间的需求转移问题，建立了报童模型，分析零售商的最优订货决策。模型结论指出：

图4 转移概率对产品1订货量的影响

图5 转移概率对产品2订货量的影响

图6 转移概率对总订货量的影响

图7 转移概率对零售商利润的影响

(1)对于需求完全正相关的两个产品，当它们的盈亏比不同时，两个产品的最优订货量的比例与需求比例不一致；

(2)对于需求完全正相关的两个产品，如果消费者需求存在概率性转移，对于盈亏比较高的产品，零售商始终应当超过需求比例进行采购，且转移概率越大，零售商利润越高。

对盈亏比较高的产品设置较高采购量的结论与我们的日常经验相一致。本文从建模的角度分析了转移概率对订货量的影响，后续的研究还可以从需求比例具有随机性等情况展开。