立体几何平面化的研究

罗海远

1.引言：

数学上，立体几何就是我们所熟知的三维欧氏空间的传统名称，也就是我们所生活的空间。虽然有的平面几何定理在空间问题上不一定成立，但对于空间的每一个平面，平面几何的结论都是成立的。因此，在解决立体几何问题时可以选取或构造一个恰当的平面，使得问题在所选取或构造的平面上获得突破性进展，为解决问题带来方便。

2.立体几何平面化思想的几类问题

2.1空间图形画法的平面化

在我们的生活中，总会遇到多种多样的事物，每个事物都有它们自己特有的形状，那么，我们该如何描述事物，并准确地将之画出来呢？这就涉及到将立体的图形画在一个平面上的问题。

斜二测画法是空间图形最主要的画法，此画法将空间图形转化为它的直观图，也就是将空间图形转化为平面图形，为学生对空间图形的理解带来方便，为解题带来便捷[1]。例如：下面两个六面体，图2.1.1中，阴影面是我们所看不到的背面，而图2.1.2中，阴影面是我们所看得到的正面，正因为虚线不同，看上去图形就大不一样了。

空间图形画法的平面化，可以帮助我们将空间图形平面化，还可以帮助我们对空间图形的认识进一步加深，从而更好地解决有关于立体几何的问题。

2.2空间角的平面化

空间角主要是指异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角这三类角[2]。在一个问题中，如果条件或结论中有涉及空间角的概念，首先要以概念为指导，作出有关的空间角，然后逐步转化为平面角去解决。对这种方法的掌握尤为重要，若能掌握并运用之，在一定程度上可以反映研究空间问题的水平以及质量。

2.2.1异面直线所成的角

异面直线所成的角的定义[3]：如图2.2.1，已知两条异面直线，，经过空间任一点作直线//，//，我們把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）。

异面直线所成的角的范围：.

从上述定义可知，两条相交直线可以确定一个平面，所以异面直线所成的角是用平面内两相交直线所成角来定义的，即用平面角来定义的。所以在求异面直线所成角时，应该先将要求的两条直线平移到同一个平面上，之后在求解。

2.2.2直线与平面所成的角

直线与平面所成的角的定义[3，4]：

如图2.2.2，一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足。过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

直线与平面所成的角的范围：.

从上述定义可知：在碰到求斜线与平面所成角的问题时，应该先将要求的斜线在平面上的射影画出来，之后通过上述方法求解，便能顺利解决此类问题。

2.2.3二面角

二面角的定义[3]：如图2.2.3，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。棱为、面分别为，的二面角记作二面角。

二面角的平面角[3]：如图2.2.3，在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面和内分别作垂直于棱的射线和，則射线和构成的叫做二面角的平面角。

二面角的平面角的范围：.

从上述定义可知：我们就用二面角的平面角的大小来表示二面角的大小，即二面角的描述是通过其平面角来描述的。二面角的求解比较复杂，知道了二面角的定义之后，在计算角度的时候也应该注意仔细求解。

2.3空间距离的平面化

空间距离包括点到直线、点到平面的距离，直线与直线、直线与平面的距离以及平面与平面的距离。上述六种不同的距离，实则都可以化为平面上两点的距离。一般而言，立体几何中的所有的距离问题，都可以遵照它们的定义，转化为两点之间的距离问题，这就为空间距离的平面化打下了理论依据。

3.立体几何平面化的几种方法

3.1平移法

平移的定义：平移是指在同一平面内，将某个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。

直线或平面在空间平行移动，不改变它们与其他线面所成角的大小。因此，常用平移法将分散在不同平面的有关量，纳入同一平面内进行求解，为解题带来了方便。

3.2射影法

作平面的一条斜线，该斜线与该平面所成的角，就是该斜线与它在这一平面内的射影所成的角。判定该斜线与平面内某一直线垂直的问题，就相当于去判定该斜线在该平面内的射影与该平面内的一条直线垂直的问题，这就将一个本该在立体几何中解决的问题引到一个平面上来解决。

3.3旋转法

旋转的定义：在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。其中，点叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的点经过旋转变为点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。

旋转的性质：一、对应点到旋轉中心的距离相等;二、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;三、旋转前、后的图形全等。

一直线绕某定直线旋转时，旋转前后该直线与定直线所成角不变，且该直线上任一点到定直线的距离不变。因此，为了实现将空间问题平面化，旋转是有效方法之一。

4.本研究的结论

此次研究课题主要的目的是为了简化立体几何问题，主要简化的方法是将立体几何平面化，也就是将空间的问题引到平面上来解决，这样更有利于理解。为了将立体几何平面化，本课题主要从有关于立体几何平面化的几类问题和立体几何平面化的几种常用方法来着手研究。本课题对例题的分析与解答上做得较详尽，但本课题所讨论的立体几何平面化的方法种类较少，在将来，有望改进。

参考文献

[1]  魏秋梅.空间问题平面化思想教学浅析[J].新课程（中旬），2013，（7）：26-29.

[2]  曹晓华.立体图形平面化探究[J].陕西教育，2011，（7）：38.

[3]  刘绍学.普通高中课程标准实验教科书（必修）数学2[M].河南：人民教育出版社，2012：40-75.