用动能导数法推导做圆锥曲线运动质点所受的有心力及能量

邵 云 窦 瑾

(南京晓庄学院电子工程学院,江苏 南京 211171)

在已知轨道方程的情况下,多数教科书[1-3]都是采用比耐公式来求有心力.本文这里则介绍一种用质点动能Ek对径向矢径r求导的方法来求有心力,姑且称作动能导数法,推导出做圆锥曲线运动质点所受的平方反比引力,同时给出能量的统一表达式.其中质点的角动量J守恒是推理的前提,设其大小为

J=mh，

(1)

其中m为质点的质量,h为常量.[1]

1 从极坐标轨道方程计算质点的动能

图1 质点P的圆锥曲线运动

设质点P做圆锥曲线运动如图1所示,极坐标系的极点O位于近焦点,p为半正焦弦长度,e为偏心率,则在图中的极坐标系下圆锥曲线的方程可表为

(2)

质点P的动能可表为

(3)

角动量J可表示为

(4)

其中er和eθ分别为图中极坐标系的径向和横向单位矢量(图中未画出).对比式(1)和式(4)可得

(5)

将式(3)变形可得

(6)

将式(5)代入式(6)得

(7)

可见,若将轨道方程r=r(θ)代入式(7)即可算得质点在轨道上任一点的动能.

2 将动能对矢径求导得有心力

有心力F一般都是保守力,可写成

F=F(r)er.

(8)

形式,其势能函数可写成Ep(r)形式,它们之间的关系为

(9)

质点P(或系统)的能量为

E=Ek+Ep(r).

(10)

它是一守恒量.从式(10)可见,质点的动能Ek必定也是矢径r的单值函数,即有

Ek=Ek(r).

(11)

联立式(9)、式(10)即得

(12)

可见,只要算得动能函数Ek(r),对其求导即得保守有心力F(r).

3 做圆锥曲线运动质点的动能、有心引力、势能和总能量

现将圆锥曲线方程式(2)代入动能的计算式(7)得

(13)

此即质点在圆锥曲线轨道上任一点的动能,它诚然是r的单值函数.将式(13)代入式(12)即得有心力

(14)

可见,圆锥曲线轨道所对应的有心力是平方反比引力(负号表示引力).联立式(9)和式(14)得该引力所对应的势能函数为

(15)

其中已令无穷远处的势能为0,即Ep(∞)=0.再将式(13)和式(15)代入式(10)得

(16)

从式(14)和式(16)可见,无论有心力F(r)还是总能量E,它们不仅依赖于轨道的形状(p和e),而且依赖于质点的质量m和角动量J(=mh).

4 用动能导数法求有心力及总能量的优势

虽然通过比耐公式(u=1/r)

(17)

5 对第3节中结果的讨论

是一与轨道无关的内禀常量.这就表明:此时的角动量大小J=mh是由半正焦弦长p来表征的,而能量E的大小则由轨道参量a或a′唯一地确定.

6 结束语

在通常的教科书中,应用比耐公式从轨道方程推导有心力问题的思路是:轨道方程→有心力→势能→总能量→动能.而本文应用动能导数法的推理思路却是:轨道方程→动能→有心力→势能→总能量.这两种推理方法各有优点,前者的优点在于从轨道方程推导有心力的思路更直接,而后者的优势则在于通常计算简便,诸物理量的含义更清晰.