变截面隧道开挖地表土体移动与沉降预测

(中国矿业大学(北京)力学与建筑工程学院，北京，100083)

随着城市建设的快速发展，地下空间开发已成为必然趋势，故地铁隧道开挖过程中越来越多地遇到横通道连接、不同工法之间的区间隧道、区间与车站的连接等变截面问题。连接时不仅工序复杂，而且其支护难度较大，该隧道区域也更加危险，故有必要对变截面隧道开挖造成的地表变形进行预测，控制地表沉降和水平位移。预测地铁隧道施工引起沉降的方法有经验公式法(以Peck 公式[1-3]为主)、随机介质理论法、弹塑黏性理论解析法[4]、数值方法(源汇法[5]、有限元法、边界元法、有限差分法、数值半解析法)等。其中，随机介质理论于20世纪90年代后用于地铁工程，由于随机介质理论能够预测出除地表垂直和水平位移外的其他变形，如倾斜、曲率、水平应变等，而且其土体变形的计算不局限于隧道横截面的形状以及开挖工法，因此，非常适合应用于不同截面隧道开挖引起的地表变形分析。LITWNISYN[6]于1957年创立随机介质理论方法；SELIM 等[7]提出了一类具有线性各向异性散射的有限随机介质中单速传输方程的稳态解，介质的总横截面被认为是一个连续随机的位置函数，其均值随高斯分布的波动而变化；MENG等[8]为了计算由位移桩驱动到水平分层地层的地面运动，建立了1个轴对称模型，利用随机介质理论推导了地表垂直和水平运动函数，为计算预测各种截面的地表变形提供了依据。LIU 等[9-15]基于随机介质理论方法对矿山地表沉陷进行了预测分析，并系统研究了该方法在计算隧道开挖引起地表移动和变形时的适用性，进而针对几种隧道施工方法(降水法、冻结法、挤压盾构法、压气法)所引起的地表变形预测进行了分析与讨论；朱忠隆等[16]在上述工作的基础上，分别推导了隧道纵向地层移动和变形的计算公式，并应用于实际工程；刘波等[17]研发了地铁隧道沉降预测(STSP)系统，推导了随机介质理论预测隧道施工诱发地表横向和纵向变形的计算公式；施成华等[18]基于随机介质理论，提出了一种新的顶管施工扰动区土体变形计算方法；蔡海兵等[19]提出了基于随机介质理论的隧道冻结期地表冻胀预测方法；查剑锋等[20]以MATLAB 作为开发平台，设计了煤矿开采沉陷预计实验教学系统，实现了随机介质理论原理演示；傅鹤林[21]等在这些研究的基础上计算了偏压地形中的不均匀沉降分布特点。总体而言，国内外学者应用随机介质理论对隧道开挖引起的地表变形的研究较多，但对变截面的隧道开挖引起地表变形规律尚缺乏深入研究。为此，本文作者提出一种以随机介质理论为基础，预测分析变截面隧道开挖引起的地表沉降和水平位移的方法，以期为后续变截面隧道开挖及支护研究提供参考。

1 土体损失引起的地表变形计算

随机介质理论将隧道附近开挖岩土体视为一种“随机介质”，将开挖岩土体过程引起的地表下沉和水平位移视作随机过程。根据统计学理论，可以将整个隧道开挖分解为无限多个无限小的开挖。整个开挖对地层的影响应等于许多无限小的开挖对上部地层影响的总和。

1.1 单元土体开挖引起的地表变形

土体损失示意图如图1所示。在不排水固结和密度不变化的条件下，当隧道的开挖单元完全落下时，最终的沉降槽的体积应等于地层损失的体积。以开挖单元中心对应的地表位置为坐标原点，由此得到开挖单元完全塌落引起的上部土层坐标点(X，Y，Z)的沉降量为[12]

式中：We为单位土体开挖引起的沉降量，mm；X，Y和Z为单位土体位于三维坐标系的坐标值，m；dξ，dς和dη分别为土体沿X，Y和Z方向的微分单元；r(Z)为单元开挖在Z水平上的主要影响半径，mm，通常可认为与Z呈线性关系，即r(Z)=Z/tanβ；β为隧道上部围岩的主要影响角，其值取决于开挖地层的相关条件，可根据地质勘查资料选取。

图1 土体损失示意图Fig.1 Diagram of soil loss

单元土体开挖引起的地表水平位移[14]为

式中：U(X，Y)为单位土体开挖引起的地表水平位移，mm。

1.2 隧道土体开挖引起的竖向沉降与横向水平位移

为求得隧道整体开挖引起的沉降量，需对隧道开挖过程中存在的上述单元体进行积分。将隧道开挖视作沿Y轴无限延长，并认为隧道在当前截面开挖后将会立即支护，忽略每个横截面因为开挖时间不同产生的差异，考虑横向沉降槽。先根据均匀收敛模型确定开挖横截面的土体损失，据此对横截平面进行二重积分，再沿Y轴进行积分，由此得到地表的三维变形，如图2所示。假定开挖横断面区域由Ω坍缩至ω，可求得地表沉降[12]：

式中：H为隧道的中心线埋深，m；Ω为隧道坍缩前的几何边界，与隧道本身的尺寸和形状有关；ω为隧道坍缩后的几何边界；Ω－ω为土体损失；收缩半径ΔR为Ω与ω径向的差值；WΩ(X，Y)和Wω(X，Y)分别为用Ω和ω作积分边界求得的沉降量，两者的差即为最终隧道的地表沉降量W(X，Y)。

同时得到水平位移U(X，Y)：

图2 任意断面开挖示意图Fig.2 Diagram of arbitrary excavated section

2 变截面土体损失引起的地表变形分析

变截面线性变化模型如图3所示。如图3(a)所示，2个断面形状相仿但大小不同的隧道在Y=0处连接，按照直接积分法，由左右侧隧道土体损失利用式(3)直接积分求得地表沉降W1和W2，二者相加即可求得变截面处的地表沉降。但这种叠加过于简单且与现实不符。这是因为变截面处两侧隧道大小发生突变，但两侧隧道连接处土体损失并不会随之发生突变，而是相对缓和且连续的，即变截面连接处的土体损失是渐变的，不可简单地认为是两侧隧道的土体损失引起地表沉降的叠加。本文将变截面处的土体损失等效为以Y=0为中点的线性渐变段，其主要影响范围为(-a，a)，a根据相关实测数据取为隧道埋深0.2H，视其影响范围内的隧道土体损失是线性渐变过程，如图3(b)所示。

2.1 变截面隧道引起的地表沉降

考虑到变截面连接处的线性过渡段，将整个隧道沿Y轴方向分3 段进行积分，其中Y＜-a处横截面积分边界不变，为Ω1和ω1，同理，Y>a时横截面积分边界也不变，为Ω2和ω2。则可分别求出这2个积分段的沉降W1(X，Y)和W2(X，Y)：

图3 变截面线性变化模型示意图Fig.3 Diagram of variable cross section linear variation model

在变截面过渡段即-a

据此可求出过渡段隧道开挖引起的地表沉降W'(X，Y)：

将3个积分段的沉降量相加即为变截面隧道开挖引起的沉降量W(X，Y)：

2.2 变截面隧道引起的横向水平位移

与地表沉降的计算方法类似，将隧道沿Y轴方向分为3个积分段，分别积分即可求得变截面隧道开挖引起的横向水平位移U(X，Y)：

2.3 模型参数确定

在本文的地表沉降与水平位移计算公式中，需要确定β和ΔR这2个关键参数，韩煊[22]将国内应用比较成熟的Peck 公式与随机介质理论相结合，对β定义如下：

式中：φ为上覆土体的土层内摩擦角，(°)。

收缩半径ΔR是施工隧道条件的综合反映，一般使用Peck公式中的地层损失率Vl来求ΔR，具体计算方法见表1[22]。

表1中，Vl往往通过工程经验选取。对于开敞式的隧道施工，在硬黏土(例如伦敦黏土)地层中，地层损失率一般为1%～2%；对于密闭式的隧道施工(例如土压平衡或者泥水盾构)，可以很好地控制地层沉降，因此，地层损失率较小。

表1 断面收缩半径ΔR计算公式Table1 Calculation formulas of the section shrinkage radius ΔR

2.4 变截面拱形隧道地表沉降分析

确定直墙圆拱形隧道截面积分边界较复杂，在求解过程中计算量较大，下面将其进行简化处理。简化计算模型如图4所示。将拱形隧道视为均匀收敛，具体的积分区间可按不同圆弧段和直线段分段进行积分[11]。由于以上积分较为复杂，在实际计算中也可以将收敛变形面积简化为隧道顶部的均匀下沉s，由此求得地表下沉；可将沉降视作均匀沉降s，能直接求得线性变化的积分边界方程进行积分。由于该模型将收敛变形面积集中在隧道顶部，故将H取值为截面拱顶埋深，宽度为B。此时，有：

式中：Ω1，ω1，s1和B1分别表示截面连接处左侧隧道坍缩前的几何边界、隧道坍缩后的几何边界、均匀下沉量和隧道宽度，Ω2，ω2，s2和B2分别为截面连接处右侧隧道相对应的物理量。

由拱形截面的近似收敛边界方程，可求得地表土体的横向和纵向位移。

通过2个截面隧道的边界方程可以得到：

将式(8)、式(9)和式(10)代入式(5)可得拱形变截面隧道的地表沉降：

图4 简化计算模型示意图Fig.4 Diagram of simplified calculation model

同理，将式(8)，式(9)和式(10)代入式(6)可得到地表的横向水平位移UX(X，Y)：

下面对地表沉降进行分析。将tanβ=2，隧道埋深H=18 m，2个截面横向跨度B1=16 m，B2=24 m，纵向高度D1=16 m，D2=24 m， 地层损失率Vl=0.9%，影响范围a=0.2H=3.6 m 等参数代入式(11)。令变截面连接处Y=20 m，隧道横断面中轴线X=0 m，运用MATLAB绘出式(11)的沉降曲面，如图5(a)所示。由图5(a)可知离变截面较远的横截面沉降曲线仍符合恒截面隧道钟形沉降的分布特点，沉降槽的形状在距离变截面较近处的水平和竖直方向上近似呈斜直线变化。

图5 模拟沉降曲面示意图Fig.5 Diagram of simulated settlement surface

在图5(a)中截取隧道纵向中轴线的沉降曲线，如图5(b)所示。由图5(b)可见地表沉降在距变截面13 m 之外即Y<7 m 与Y>32 m 处没有改变；在7

以图5(b)为基础，在同一截面处去掉3.6 m 的线性过渡段，直接进行随机介质法积分得到沉降曲线，如图5(c)所示。由图5(c)可知2 条沉降曲线趋势相同，都具有曲线段和直线段2 个沉降变化。通过数据比对分析得到：

1)在距离变截面较远处(Y>32 m 或Y<7 m)，2种方法算出的沉降量相等，视作没有受到截面变化的影响，并且在2 种截面交汇之处(Y=20 m)，2种方法的沉降量也完全一致。

2)在2 条沉降曲线的弧线变化段，虽然Y不同，但弧线变化段的沉降量都为-17～-16 mm，-24～-23 mm；沉降最大差值出现在Y=15 m 与Y=25 m 处，没有采用隧道过渡段的曲线在这2 处的沉降量分别为-23.17 mm 与-16.11 mm，使用直线过渡段计算方法得到的沉降量分别为-22.06 mm和-17.04 mm。使用直线过渡段的方法所得曲线斜线段的斜率较直接积分法所得曲线的斜线段斜率更小，这表明采用线性过渡段的沉降曲线在变截面附近变化更加缓和，更加符合在实际工程中沉降和沉降槽在地表均匀分布的特点。

3 工程环境参数分析

3.1 围岩主要影响角正切与埋深的比值(tanβ/H)对地表沉降的影响

不同主要影响角下的地表沉降示意图，如图6所示。由图6(a)可见：3 条沉降曲线除了tanβ/H有所差异外，其余工况环境条件均完全相同。当围岩或覆土的内摩擦角φ减小时，主要影响角的正切tanβ与埋深H的比值增大。在沉降曲面上表现为沿隧道开挖方向沉降量增大且沉降更加向轴线集中。

由图6(b)可见：在变截面交汇断面的隧道中心处，当tanβ/H分别取0.5/18 m-1的1，2 和3 倍时，沉降量分别为－10.48，－16.70和－19.06 mm，通过计算得到在中轴线的沉降，即最大沉降Wmax与tanβ/H的关系：

图6 不同主要影响角下的地表沉降示意图Fig.6 Schematic diagram of surface sedimentation under different main influence angles

由图6(c)可见：tanβ/H越大，沿隧道纵向中轴线上的沉降值越大。并且随着tanβ/H增大，2个截面沉降在过渡段范围内减小，曲线更加陡峭，变化也更剧烈。

由图6(c)可知：在Y=0 处，曲线1 和曲线2 差异较大，为10 mm左右；Y=20 m处曲线1和曲线2的差距有所减小，在10 mm 以内；Y=40 m 时曲线1和曲线2差距最小。而曲线2和曲线3沉降量差值在Y为0，20 和40 m 处均为2.5 mm 左右，这表明tanβ/H的差异在跨度较大的截面处表现更为明显。

3.2 隧道横截面的跨度(R)对地表沉降的影响

许多隧道横截面可视作圆形处理，隧道半径即隧道跨度决定了隧道本身的面积，也决定了开挖过程中土体损失的体积即沉降槽的体积。同时，有效半径也影响了横向的积分区域。

在沉降曲面中，随着隧道跨度增大，无论是在中轴线附近还是距离开挖面较远处，隧道沉降量都在增大，如图7(a)所示。

由图7(b)可得：隧道跨度按1.0，1.5 和2.0 倍扩大时，变截面隧道中心的沉降量分别为-7.08，-13.37和-19.06 mm，故有：

在图7(c)中，隧道截面1在远离变截面处的沉降量分别为-9.11，-17.33 和-23.70 mm，截面2 在远离变截面处的沉降量分别为-4.77，-9.47 和-14.48 mm，与式(19)所得的结果基本符合。此外，无论隧道的跨度如何变化，地表沉降曲线的形状和趋势基本一致，曲线段和直线段沿隧道的长度全部相等，这表明跨度的变化只影响了沉降槽的大小而没有影响沉降槽的形状。

在Y=0处曲线1和曲线2以及曲线2和曲线3的沉降量差值均为7 mm；在Y=20 m处曲线1和曲线2，曲线2 和曲线3 的沉降量差值均减小至6.2 mm左右；Y=40 m时3条曲线差距最小，曲线1和曲线2，曲线2和曲线3的沉降量差值为5 mm左右，结合3.1节的研究结果可知跨度更大的隧道的沉降量受tanβ/H的影响更大。

通过对本文计算公式中工程环境参数分析可得：隧道变截面处tanβ/H较大时，沿隧道开挖方向的地表沉降曲线变化较为剧烈，此时容易出现上覆土体连续性破坏以及变截面处隧道支护结构的应力集中现象，影响隧道区域的安全。因此，设计变截面隧道时，控制tanβ/H较小比较安全、合理。

图7 不同有效半径下的地表沉降示意图Fig.7 Schematic diagram of surface sedimentation at different effective radius

4 工程应用分析

廖公庄站为北京地铁6 号线西延线第4 个车站，位于巨山路下穿田村路下拉槽内，沿东西方向设置。车站主体结构建筑面积为11 198.5 m2，总建筑面积为19 802 m2。车站为暗挖双层三跨、四跨组合结构，中间为长134.2 m、宽22.9 m 的三跨结构，两侧为左侧长35.75 m、右侧长53.9 m 宽30.8 m 的四跨结构，岛式站台宽14 m，车站总长243.6 m，结构覆土为5.66~12.99 m。车站主体采用PBA法逆筑暗挖施工。车站底板埋深24.9~28.8 m。车站东西两端均接区间矿山法施工段，区间隧道设置有渡线段，其中有明显的变截面区域在3号安全口附近。

变截面的数值模型计算共建立2个隧道即渡线大断面隧道以及其邻侧的标准断面隧道，计算模型图如图8所示。

图8 计算模型Fig.8 Calculation model

根据该工程现场条件，埋深H=24 m，取变截面影响长度a=0.2H=3.6 m。标准断面隧道距渡线隧道12 m，隧道的跨度即为隧道的高度。将这些工程数据代入式(13)。总的沉降分为不变截面隧道引起的沉降和变截面隧道引起的沉降。

4.1 不变截面隧道引起的沉降

式中：s3和s4分别为不同跨度隧道截面的平均沉降。

4.2 变截面隧道引起的沉降

则总的沉降量为

根据现场实测的土层内平均摩擦角30.2°，求得tanβ=0.96，并且由于工程上覆土体以砂土和砂卵石层为主，采用PBA 工法，依据经验将Vl定为0.60%[22]，计算并使用MATLAB 绘制出沉降曲面图，见图9。

图9 理论计算结果Fig.9 Theoretical calculation results

分析沉降数据与图9，得出沉降规律如下：

1)沿开挖方向，沉降主要集中于距起始开挖面0~15 m处；

2)沿截面横向，由于渡线大断面隧道周边开挖1个标准断面隧道，沉降主要集中于距截面对称轴线0.6 m处；

3)地表沉降的曲率在隧道变截面处有所变化，主要是在过渡段变截面处较为明显。

为了验证计算结果的正确性，依据现场实测地表沉降位置，布设7 个沉降计算断面，如图10所示。

变截面大断面隧道施工引起地表沉降曲线在不同断面处的变化规律不同，具有明显的三维特征。将沉降稳定后的实测结果进行统计，结果如图11所示。

由图11可以得到：土体的整体移动趋势是朝向隧道最大断面位置，是向大断面隧道平移与竖向沉降的叠加结果；从变截面隧道中线上的地表沉降曲线来看，土体的纵向沉降规律近似倾斜直线，都与计算结果绘制的沉降曲面分布规律相一致。

图10 地表监测点布设图Fig.10 Layout of ground monitoring points

图11 实测沉降结果Fig.11 Measured settlement results

将实测沉降结果与理论计算结果进行比较，并选择部分关键节点数据进行对比，结果见表2。其中，断面2，3和4分别对应过渡段隧道的3个变截面。

对比实测沉降量与引入变截面过渡段的计算沉降量可知计算结果与实际结果基本一致。纵向来看，距隧道大断面中心越近，沉降越大。

沉降量计算结果总体较实测结果偏大，在中轴线上2 种结果基本相等，差值均在1 mm 之内。但在距隧道开挖中轴线较远处二者差距较大，尤其在距离中轴线较远处。在断面2距中线12 m处，差值最大为1.32 mm，可能是因为均匀收敛模型与实际情况有所差别，几何关系中均匀收敛模型与非均匀收敛模型在隧道两侧的差距尤为明显，后续将进一步考虑非均匀收敛模型下的变截面问题。

将引入变截面过渡段的积分方法计算结果与直接积分法计算结果进行对比，可知：

1)在绝大多数区域，考虑变截面过渡段的沉降量更加接近实测值，引入过渡段计算变截面隧道开挖引起的地表沉降量更加符合工程实际。

2)沿隧道横向分析，隧道中心处，2种计算方法的沉降量差值较小，均在1 mm以内；距隧道中轴线12 m处，2种计算方法所得地表沉降量差值明显增大至2 mm 左右；而距离更远时，2 种计算结果所得的差距又有所减小，其中在(X，Y)坐标值为(-15 m，20 m)的地表点，这2 种计算方法所得的沉降量完全相同。

3)沿隧道纵向分析，断面2处引入变截面过渡段的地表沉降量略小于直接积分方法的结果，在断面3处这2种计算方法的结果基本相等；在断面4处，考虑变截面过渡段方法的沉降量大于直接积分法所得沉降量，沉降槽的整体分布与线性过渡段的沉降曲线在变截面附近变化更加缓和的特点相符。

表2 不同方法沉降量计算结果与实测沉降量对比Table2 Comparison between calculation results of settlement from different methods and measured settlement data

5 结论

1)在变截面附近处，地表沉降沿隧道开挖方向呈斜直线变化，随着距离的增大，地表沉降由直线过渡为曲线且最终呈平直线分布，斜率逐渐减小最终趋近于0。

2)围岩影响角的正切tanβ与埋深H的比值对隧道开挖引起的沉降影响较大，沿隧道开挖方向，随着tanβ/H增大，地表沉降量增大，且变截面处地表沉降曲线斜率增大，影响范围减小；沿隧道横向，隧道横断面上方的地表沉降槽曲线随着tanβ/H增大变得“窄而深”，沉降量变大，影响范围减小。

3)隧道跨度R对隧道开挖引起的地表沉降影响较大，随着跨度R增加，地表沉降量增大，变截面处地表沉降影响范围不变，曲线斜率基本不变，仅竖向位移增大。

4)在设计变截面隧道时，控制其围岩影响角的正切tanβ与埋深H的比值较小，可以保证隧道上覆土体的连续性和支护结构的稳定，更加安全合理。

5)在变截面处引入直线过渡段求得的地表沉降与实测值更加吻合，尤其在变截面处，其沉降量与现场实测数据有较好的一致性，可为类似工程实践提供参考。