缺货延迟条件下的服装库存成本管理

林剑叠， 阎玉秀

(浙江理工大学 服装学院，浙江 杭州 310018)

库存管理(inventory management)是管理界永恒的话题，对库存管理的研究一直都是生产管理领域探索的前沿[1]，特别是1905年威尔逊·哈利斯(HARRIS W)提出著名的经济订购批量(economic order quantity,EOQ)模型以后，现代存贮理论的发展有了重大突破。简单的EOQ模型是单品种、确定型、多周期、需求独立的基本经济订货批量模型，主要用于解决库存订货决策问题[2]。近年来，计算机科学的成熟发展也为库存管理中的仿真模型提供了计算基础，使模型大大贴合生产管理的实际需要。服装库存管理一直是EOQ模型的经典应用领域，众多学者引入需求服从随机分布的EOQ模型、需求时序函数的EOQ模型等[3-5]。也有学者引入缺货延迟的库存管理模型，主要考虑生产过程中的延迟，提出持续生产情况下的库存决策模型，如张云丰等[6-7]在二级供应链系统中进行改良品研究，分析了销售允许缺货与供应商愿意提供价格折扣的博弈库存模型。这些模型中变量较多，计算难度较大，不利于实际生产运用。由于消费者对服装产品有独特的偏好，可以接受一定的等待期，基于此，CHANG H J等[8]研究了易变质物品在考虑时变需求以及部分短缺量拖后时的EOQ问题；罗兵[1]将时变需求和部分短缺量拖后时的EOQ模型在汽车配件库存问题中进行了一定程度的具体化，但无法针对具体零售环境指导商家采取相应的订货策略。

文中在文献[1，3-7]的基础上，针对服装产品缺货时消费者一定程度上可以接受延迟满足的消费特点，建立需求稳定的单个周期库存管理平均总成本的数学模型，分析缺货情况下服装库存的最低库存管理成本和库存订货策略，对缺货影响因子及各个成本变量进行灵敏度测试。依照测试结果，商家可根据具体的环境采取相应订货策略。该模型简单且易于理解，也贴合服装销售的实际特点，具有实用性，对研究缺货状态下的补货策略具有现实意义。

1 模型描述及假设

服装产品具有时尚性和季节性，零售商准备过多的库存，会使其库存成本和积压资金大幅增加，但如果库存不足就会导致缺货，所以研究服装销售过程中的缺货现象具有现实意义。另外消费者对自己喜欢的服装产品可以接受一定的等待期，等待期内零售商对销售策略及订货策略的适当调整，有助于避免零售商损失潜在的消费者，从而降低库存管理成本。

基于服装销售过程的缺货问题，提出缺货延迟条件下的EOQ库存模型，其基本特点为：订货提前期为零，当服装持有量降低到零时，不一定立即补充库存持有量，允许发生一定量的缺货；在产品缺货期间，部分消费者愿意等待这种缺货量的拖后，所以缺货期间的需求率比拥有现货期间的需求率小。文中假定缺货量拖后率与拥有现货期间需求率的比值固定[1]，其库存量变化如图1 所示。

假设服装产品供应间隔为T，现货期间需求率R恒定，需求率R的销售阶段设为T1;在缺货延迟情况下的需求率为R′，相应的销售阶段设为T2,R′的缺货影响因子为α；周期开始时，企业进行一次性进货，数量为Q；单件服装在统计周期内的储存费用(即单位库存持有成本)为C1,单件服装在统计周期的缺货成本(即单位缺货成本)为C2,单件服装在缺货期间引起的销售机会损失成本(即缺货引起的单位销售机会损失成本)为C3,一次订购服装成本(即一次订货成本)为C4。T=T1+T2，T1时间内，期初库存量为Q,期末库存量为0，现货期间需求率为R；T2时间内，期初库存量为0，期末库存量为-S，销售需求量为R′。由此，需要研究：①服装企业在T周期内如何实现单位周期库存管理成本最低；②缺货延迟条件下，各成本对最低库存成本管理决策的影响。

通常情况下，缺货量直接影响服装销售需求率，缺货量增大，销售需求率减小，但缺货量足够大时，缺货量继续增大，销售需求率减小的幅度下降。因此可设缺货延迟条件下销售需求率为

R′=e-αRα≥0

(1)

将式(1)对α求导，得到

(2)

式(2)<0,表明随着缺货影响因子α增大，R′减小。由e-α(α≥0)的图像可知，此假设与服装零售商发生缺货时的销售情况相符合。

2 库存模型的建立与求解

根据文中的模型假设，零售商在统计周期内库存管理的相关成本主要包括库存持有成本、缺货成本、在缺货期间引起的销售机会损失成本、一次订货成本4部分。其中缺货成本指不能满足消费者需求所引起的损失，主要由两部分组成：①生产系统处理误期订单而支付的费用，如赶单时的加班费等；②误期交货对企业收入的影响，如罚款等[9]。

文中借鉴文献[1]的处理方式，将库存持有量、缺货量、在缺货期间引起的销售机会损失量分别用图1中△abc，△cde，△cef的面积表示，故统计周期内持有成本为QT1C1/2，缺货成本为ST2C2/2，在缺期间引起的销售机会损失成本为(RT2-S)T2C3/2,则平均库存总管理成本为

C(S,T)=

(3)

式中:

T1=Q/R；T2=S/R′。

进而根据式(1)整理求得

Q=RT-eαS

(4)

将式(1)、式(4)及T1,T2关系式代入式(3)，得到关于S和T的总函数，即

C(S,T)=

式(5)为未知变量，为S和T的多元函数，对其求最小值，可构建关于S和T的海塞矩阵

(6)

若海塞矩阵为正定，则最低库存管理成本minC(S,T)存在[10]。采用判定H(C(S，T))的顺序主子式皆大于0的方法，证明H(C(S，T))为正定矩阵，经计算

因此

(8)

式(7)、式(8)成立的条件是所有成本取值都为正且T>0，这些条件可以在现实中得到满足，表明H(C(S,T))的顺序主子式都大于0，即海塞矩阵H(C(S,T))是正定的，也即是minC(S,T)存在。设满足minC(S,T)的未知数分别为S*,T*，则令∂C/∂S=0,∂C/∂T=0，联合求解，得到最佳缺货量

(9)

最佳服装进货周期为

(10)

将式(9)、式(10)代入式(4)，计算得最佳服装进货批量

(11)

此时

minC(S,T)=

3 实例数值仿真计算及分析

利用Matlab R2017a实现实例数值计算，对文中模型进一步讨论，并根据某服装零售商单品类数据对模型的主要参数进行灵敏度分析。

以1个季度为统计周期，进行零售商销售数据的相关参数取值仿真。取R=2 000件,C1=1.2元/件,C2=3元/件,C3=8元/件,C4=35元/件，对α进行0～1的数值灵敏度分析。为了更加直观地表达各变量对最佳缺货量的影响，文中引入最佳缺货率，即在零售商运营现状下，库存管理成本最低时的缺货率。设最佳缺货率为η，且η=S*/Q*，联合式(9)～式(12)求解，运算结果见表1。由表1可以看出，S*,T*,Q*和minC(S,T)的数值范围相差比较大，借鉴文献[11]的处理方式，通过选定某个值，可计算出S*,T*,Q*和minC(S,T)相对于该值的变化，使得所有数据保持在较小范围内，结果如图2所示。

图2中，横坐标表示α的相对变化取值，α在0～1的数值范围内以0.125的间距逐步递增，其中α=0.5为各数值的中位数；纵坐标表示S*,Q*,T*,minC(S,T)等库存因变量指标相比α=0.5时的相对变化量，纵坐标为0指与α=0.5时的指标值相等。由表1、图2数值变化可知，随着缺货的延迟，α值递增，S*与T*单调递减，S*减小幅度逐渐减小，Q*与minC(S,T)呈小幅度递增。由此可知，为保证库存管理成本最低，缺货延迟影响需求率的程度越大，缺货量越小；对应最低库存管理成本的缺货量下降，其最低库存管理成本小幅增加。

同样，α=0.750时，分别对C1,C2,C3,C4进行数值灵敏度分析，结果见表2～表5。C1～C4对因变量相对变化的影响如图3～图6所示。

表5 C4对最佳库存管理成本变量的影响

由图3可知，当C1递增时，T*,Q*均递减，S*和minC(S,T)则递增。这表明库存持有成本增加时，零售商为了避免库存占用过多的资金，需小批量进货，同时缩短进货周期，以保持较低的库存管理成本。图4表明，当C2递增时，S*，T*单调递减，Q*和minC(S,T)略微增加，说明当生产过程中因为误期等意外造成的缺货成本增加时，为避免管理成本过高，零售商应采用小批量进货。由图5看出，当C3增大时，S*递减，说明避免缺货是商家的最佳选择。由图6可知，当C4递增时，S*，Q*递减，T*和minC(S,T)递增，说明在订货成本过高时，保持缺货状态能维持较低的库存管理成本。

4 结语

服装产品缺货时，消费者一定程度上可以接受延迟满足，针对此消费特点，在传统EOQ模型的基础上，建立单个周期中库存管理平均总成本的数学模型，研究缺货因素下服装库存的最低库存管理成本和库存订货策略，对缺货影响因子及各个成本变量进行灵敏度测试。研究表明：

1)为保证库存管理成本最低，缺货延迟影响需求率的程度越大，缺货量越小；对应最低库存管理成本的缺货量下降，最低库存管理成本小幅增加。

2)库存持有成本增大时，应小批量进货，同时缩短进货周期，以保持较低库存管理成本。

3)当生产过程中因误期等意外造成缺货成本增加时，商家应小批量进货。

4)订货成本过高时，可保持缺货状态，以降低库存管理成本。

商家可参照灵敏度分析的结果根据具体情况采取相应的订货策略，因此缺货延迟条件下的EOQ库存模型对商家的运营管理具有一定参考意义。