基于空中机动目标拦截的制导和引信及战斗部一体化设计研究

汪金奎， 娄文忠， 刘伟桐， 苏子龙

(北京理工大学 机电学院, 北京 100081)

0 引言

制导和引信一体化(GIF)技术已经成为引信技术的重要发展方向之一[1-4]。空中机动目标拦截问题中，图像导引头或雷达导引头通常作为防空导弹的感知方式，可以抵近获得目标的高精度方位信息，但图像导引头或雷达导引头通常存在近距盲区[5-6]，进入近距盲区后导引头处于失效状态,目标的位置无法观测。引信与战斗部(简称引战)配合应用于此类作战环境，对其起爆控制算法的研究主要是最佳起爆延时和最佳起爆方位角的计算；随着防空目标机动能力的提升,进入视野盲区后目标的位置更加难以预测，基于目标方位的精确延时设计更加困难。虽然也有通过2阶、3阶多项式来描述弹目相对运动[7],但其采用的是目标机动可预测的先验信息，实际情况中目标的机动特性可能完全无法预测，其在视野盲区内的位置分布具备随机特性。目标最佳起爆方位角的传统方法采用定向战斗部，但定向战斗部不仅设计复杂，而且依赖精确的弹目相对方位信息[8]。

在目标无法精确预测的情况下，本文提出制导和引信及战斗部一体化设计方法，针对近距盲区内目标机动不确定性问题，考虑目标的有限机动能力，分析目标的可行状态集；使用常规周向破片战斗部作为毁伤元，研究制导终点弹目相对位置与相对速度对目标拦截能力的影响，解算进入盲区前最优弹目相对位置、相对速度与引信最佳起爆时间。

针对末端状态约束的目标拦截方法近些年来也是研究的热门[9-12]，其大都基于线性化系统模型。采用最优控制理论对最优控制量进行求解。本文基于Gauss伪普法[13]，设计末端多状态约束的制导方法，使拦截导弹在弹道末端达到最优拦截状态。最后对提出的算法进行仿真验证。

1 弹目交会模型

防空导弹与目标交会时，在拦截平面内存在如图1所示的交会模型。假设导引头存在近距盲区r,以防空导弹战斗部中心为坐标原点，进入导引头盲区时，目标的相对位置为[xt0,yt0]，目标视线角为θt0,目标空速为vt,导弹空速为vm，则存在：

xt0=r，

(1)

yt0=rtanθt0.

(2)

图1 弹目交会模型Fig.1 Missile-target encounter model

目标存在法向机动能力at，由于目标机动能力无法预测，可假设其最大机动能力atmax与速度的平方具有线性关系，即有

(3)

式中：kat为比例系数，在确定目标类型的情况下，kat可根据实际情况选取。

2 常规战斗部破片飞散模型

基于全向飞散破片战斗部建立战斗部破片飞散模型。相对于定向战斗部或杆式杀伤战斗部而言，全向飞散破片战斗部要求破片的数量多，战斗部装药量大，但同时定向战斗部或杆式杀伤战斗部在弹道终点目标方位丢失时破片会完全脱靶，而全向飞散破片战斗部仍具备毁伤能力。

静态爆炸条件下，破片前、后飞散边界飞行方向与弹轴前向夹角分别为φf、φb,则破片静态主飞散角φ可表示为

φ=(φf+φb)/2.

(4)

动态条件下，破片分散方向角与导弹速度相关，静爆条件下破片初速为vps，则动态前、后飞散边界φfp、φbp与主飞散角φp可分别表示为

φfp=arctan (sinφf/(cosφf+vm/vps))，

(5)

φbp=arctan (sinφb/(cosφb+vm/vps))，

(6)

φp=arctan (sinφ/(cosφ+vm/vps)).

(7)

主飞散方向上破片动态初速度vpd0为

(8)

取破片的飞行阻力系数c，根据牛顿阻力定律，其运动微分方程[14]为

(9)

式中：mp为破片质量；vpd为破片飞行速度；ρ为当地空气密度；S为破片阻力面积。破片速度时间衰减关系为

(10)

3 引战配合模型

迎击拦截是一种典型的拦截模式，可以实现破片与目标之间较大的相对速度，增大破片的毁伤能力。设防空导弹在位置xm1处引爆战斗部，如图2所示，由于导弹进入视野盲区时间极短，防空导弹空速可设为常量，以目标进入盲区的时刻为计时零点，引信延期时间为t1，因此有

xm1=vmt1.

(11)

图2 盲区内破片与目标交会状态Fig.2 Intersection of fragment and target in blind zone

起爆点处弹目视线角为θt1,首先假设目标进入视野盲区后无机动，则

tanθt1=yt1/(xt0-xm1).

(12)

(1)式、(2)式、(11)式代入(12)式，可得

(13)

在目标无机动假设下，定义破片飞散速度为vp、破片飞行时间为t2，则在拦截点处有

(14)

(15)

式中：vpd为主飞散方向上破片动态速度。

由(14)式、(15)式可得

(16)

实际情况下，目标在导引头视野盲区内存在机动能力。当目标以最大机动能力躲避导弹拦截时，目标偏离拦截视线的距离最远，此时目标偏离拦截视线的距离为

m=0.5atmax(t1+t2)2，

(17)

即目标的可行区域近似分布在以m为半长轴的椭圆区域内。为实现目标的可靠拦截，令防空导弹破片完全覆盖目标的可行区域，即破片前、后飞散边界与椭圆相切。为方便计算，可以认为破片前、后飞散边界与目标可行区域相切于椭圆长轴处，如图2所示，因此

(18)

最佳拦截方案的弹目速度矢量夹角为破片动态主飞散角，由(7)式可得

θt1=arctan (sinφ/(cosφ+vm/vps)).

(19)

由(14)式、(15)式、(18)式可得

(20)

(21)

(22)

对(22)式求解并取小值，可得

(23)

(23)式代入(20)式可求得引信起爆时间t1,代入(16)式可求得进入盲区时最佳的弹目视线角θt0.

4 终端视线角与弹目速度夹角约束制导律

根据目标进入视野盲区的视线角约束θt0和弹目速度矢量夹角θt1的约束，末端弹目距离为r/cosθt0.

由于无法获取目标准确的机动信息，因此可将目标的机动看作系统扰动，如图3所示，定义状态向量x=[R,θv,θmt]，其中R为弹目视线距离，θv弹目速度矢量夹角，θmt为视线角与速度夹角，建立弹目相对运动方程如下：

(24)

(25)

(26)

式中：am为导弹的法向过载。

图3 目标拦截几何Fig.3 Target intercept geometry

定义xf为末端状态约束，即

xf=[r/cosθt0,θt1,θt0].

(27)

考虑到法向机动能力有限，因此还存在导弹最大机动能力约束：

a≤amax.

(28)

针对本文多约束末制导问题，其非线性特性使得难以求出精确的解析解，本文采用Guass伪谱法对非线性弹目运动方程进行在线轨迹优化。Guass伪谱法是求解多约束控制问题最优解的一种数值方法，应用Largrange插值多项式对离散的系统状态变量机控制变量进行拟合逼近,以此将原系统微分方程、约束方程等转化为代数方程[15]，进而数值逼近求解。考虑到终端状态误差最小和最少的能量消耗，同时为了增加寻优算法的收敛区域，增强制导算法的鲁棒性，把末端状态的约束加入性能指标中，选择二次型性能指标函数为

(29)

式中：tf为优化过程中的导弹飞行时间。

5 仿真实验与结果分析

5.1 视距盲区内最优拦截仿真验证

为验证近距盲区内引战配合设计，假设破片在动态飞散角内均匀飞散，为符合实际情况，可假定在二维平面内分布的破片数量N为50个，导引头近距盲区为200 m，破片初始速度为1 600 m/s，破片采用球形预制破片，其余相关参数如表1所示。

表1 引战配合仿真参数Tab.1 Simulation parameters

定义当破片和目标的相对距离小于3 m时，表示破片成功击中目标。由于当前空中目标的机动能力通常小于100g[14]，目标机动能力系数kat可假定为0.01，在目标速度300 m/s下可产生91.8g的可用过载，重力加速度为9.8 m/s2. 由于本文提出的引战配合设计方法在目标无法达到最大机动能力时仍能可靠拦截，目标在盲区机动时，可在机动能力范围内随机选择法向加速度大小。设定不同的目标速度、目标实际机动能力，通过(16)式、(19)式、(23)式计算可得最优弹目交会视线角、速度矢量夹角以及引信最佳起爆时间，如表2所示。

根据算例参数，通过设定不同的目标实际过载，对典型目标拦截，如军用运输机拦截条件下，破片与目标交会情况进行可视化仿真验证。目标速度300 m/s的弹目交会情况下仿真结果如图4所示。由图4可以看出，在目标极限机动能力条件下，破片飞散后沿处实现对目标的拦截。实际应用中，计算最优引战配合参数时可将破片飞散角适当缩小，或将目标机动能力增大，以保证在极限条件下对目标的拦截能力。图4同时表明，在多种因素同时影响下，可以通过调整战斗部的设计，如改变破片飞散角、破片速度来实现所需的拦截方案。

表2 最佳引战配合参数算例Tab.2 Simulated results of example

图4 典型工况下对机动目标拦截情况Fig.4 Interception of maneuvering targets under typical conditions

本文提出算法对目标的拦截能力受目标飞行速度、目标机动能力、导引头视野盲区大小的影响，理论上可以计算任何目标速度下的战斗部最佳起爆时间。但受破片有效毁伤半径和破片密集程度影响，本文只给出了300 m/s的算例，当前可以适用于预警机、军用运输机等亚音速飞行器的拦截。随着导引技术和战斗部技术的提高，该方法的适用性将更广。

5.2 终端多约束制导律仿真

目标类型、速度以及机动能力通常可由地面探测设备获取，以拦截目标最大速度300 m/s，最大可用过载91.8g工况为研究算例，为实现弹目终端位置、视线角与速度矢量夹角同时约束，设定：

(30)

假设导弹的机动能力范围为70g，即

-70g

(31)

根据末端状态约束条件，使用Gauss伪谱法求解目标在不同方向上运动时导弹对目标的拦截情况，拦截初始状态如表3所示。

表3 弹目初始状态Tab.3 Initial states of missile and target

图5(a)为弹目交会弹道，其中γt为目标的速度方向角，在目标不同的运动方向上，导弹均能实现对目标的拦截。图5(b)、图5(c)分别为弹目速度夹角与视线速度夹角，其在不同初始状态下均能收敛到引战配合所需的终端约束条件。

图5 多约束下状态量收敛情况Fig.5 Convergence of state under multiple constraints

图6为导弹法向需用过载。由图6可以看出：导弹的控制量在弹道前期，并且不同目标状态下，导弹控制量均在约束范围内；导弹弹道的调节主要在弹道前期，有利于弹道的稳定控制。

图6 导弹法向需用过载Fig.6 Required acceleration in normal of missile

6 结论

针对空中机动目标拦截、导引头存在近距盲区的问题，本文提出了一种考虑目标最大机动能力的制导和引信及战斗部一体化设计方法，在目标进入盲区后进行任意能力范围内的机动情况下，实现目标的可靠拦截，基于破片与目标交会模型，推导了引信最佳起爆时间、进入盲区时的视线角、速度矢量夹角的解析解；以末端弹目相对位置、视线角、速度矢量夹角为约束条件，建立弹目相对运动方程，基于Gauss伪谱法对多约束下的制导律进行数值求解。仿真分析表明，提出的引战配合方法实现了目标任意可行范围内的可靠拦截，基于Gauss伪谱法的在线求解多末端约束条件的制导方程，成功实现了导弹进入盲区时的状态约束。本文提出的方法将可解决防空导弹导引头盲区内拦截问题，提高防空导弹对机动目标的拦截能力，但该方法同时存在一定的适用性，当飞行器速度更高、机动能力更大时，对战斗部毁伤半径和破片密度都产生了较大的考验；并且，当飞行器在多个方向上存在较大机动能力时，需要考虑三维情况的引战配合，这些问题将在未来进一步研究。