基于库仑摩擦原理的充填体强度力学模型

常宝孟，杜翠凤，魏丁一，张爱卿

(1.北京科技大学金属矿山高效开采与安全教育部重点实验室，北京，100083；2.北京科技大学土木与资源工程学院，北京，100083；3.北华航天工业学院建筑工程学院，河北廊坊，065000)

充填体强度是影响矿山安全生产的重要因素。若充填体强度过低，则无法起到充填效果，引起采场顶板垮冒及地表塌陷等问题；若充填体强度过高，则充填成本会相应增加[1-2]。充填体强度在满足安全的前提下，工程应用中必须要考虑其成本[3]。因此，对于充填体强度的研究非常必要。许多国内外专家对充填体强度开展了大量研究。基于对充填体与围岩相互作用关系的分析，目前已有一些常用的充填体强度计算模型，如Terzaghi强度模型、Thomas 强度模型、蔡嗣经经验公式法及高水自立强度模型[4-5]；王俊[6]在考虑充填体与围岩的接触条件和结构尺寸的前提下，建立了空场嗣后胶结充填体强度模型；HUANG 等[7]基于薄板理论确定了充填体强度的计算方法；杨磊等[8]利用极限平衡法得出充填体矿柱与岩壁接触时的强度模型；刘光生等[9]基于Marston 拱应力二维模型建立了充填体的三维拱应力解析模型；曹帅等[10]基于弹性力学平面应变假设建立了空场嗣后充填体的力学模型并进行了理论求解；叶洪涛[11]运用弹性力学半逆解法建立了充填体-矿柱的力学模型，揭示了不同尺寸充填体对矿柱水平和剪切应力的变化规律。但是，由于缺少对充填体与围岩间摩擦的考虑，目前常用的充填体强度力学模型在计算时导致强度相对偏大，且对充填体尺寸有相应的适用范围[12]。因此，本文作者在分析前人对充填体强度理论研究的基础上，基于库仑摩擦原理，建立一个易于计算且适用范围广泛的充填体强度力学模型，并通过工程实例对其进行可行性验证。

1 常用充填体强度的力学模型

基于对充填体与围岩相互作用关系的分析，许多学者已建立一些常用的充填体强度计算模型。

1.1 Terzaghi强度模型

由于充填材料的力学结构特性与固结土相似，在分析充填体的应力分布时常用太沙基计算法[13]：

式中：σν为充填体设计强度，MPa；H为充填体高度，m；W为充填体的宽度，m；γ为充填体容重，N/m3；C为材料黏聚力，MPa；φ为材料内摩擦角，(°)；K为充填体侧压系数；为充填体长度，m。

1.2 Thomas强度模型

充填材料与矿壁围岩间的摩擦力导致充填体内成拱[14]，其作用在充填体底部的垂直应力为

式中：ρb为充填料的散体堆积密度。

1.3 蔡嗣经经验公式

蔡嗣经半立方抛物线强度经验公式[15]为

式中：B为经验系数，当H＜50 m 时，B=600；当H＞100 m时，B=100。

1.4 高水自立强度模型

高水自立强度模型[4-5]如式(4)所示：

式中：σα为充填体自立强度，MPa；ρ为充填体密度，g/cm3；α为充填材料坍塌角，(°)，α=45°+φ/2；φ1为充填体与围岩的摩擦角，(°)；C1为充填体与围岩的黏结强度，MPa。

上述模型中，Terzaghi 强度模型、Thomas 强度模型和蔡嗣经经验公式均未充分考虑充填体与围岩间的摩擦，高水自立强度模型考虑了充填体与矿壁间的关系，但是它们之间的黏结强度和内摩擦角并未明确取值，给公式应用带来不便，且受到充填体高度H与充填体宽度W的限制，只有当满足时，计算结果才有意义。

2 基于库仑摩擦原理的充填体强度力学模型

2个固体在法向力作用下被挤压在一起时的摩擦力表现为静摩擦和动摩擦2种性质[16]，且动摩擦因数μk近似等于静摩擦因数μS。当静摩擦力达到最大值，即临界状态时，

式中：β为滑动面角度。

摩擦充填体强度力学模型的假设条件如下：1)充填体内部属于各向同性；2)只考虑滑动体与两侧围岩间的摩擦，不考虑滑动体与前后围岩间的摩擦；3)充填体与围岩间的内摩擦角根据充填体的内摩擦角取值[17]；4)充填体与围岩间的摩擦因数与充填体内部的摩擦因数相同。

在高水自立强度模型的基础上，摩擦充填体强度力学模型基于库仑摩擦原理计算其充填体两边的摩擦力，取充填体中无限小水平截面单元进行分析，如图1所示。

根据力的平衡可得：

根据库仑定律，摩擦力FN为

将式(7)代入式(6)可得：

分离变量，积分可得：

式中：σ为作用于充填体内部应力；Κa为主动土压力系数，Ka= tan2(45°-φ/2)。

根据假设条件可知，达到临界状态时，摩擦充填体自立强度公式为

由式(10)可知，摩擦充填体自立强度主要与充填体的容重、高度、长度及围岩间摩擦因数有关。

图1 基于库仑摩擦原理的充填体强度力学分析Fig.1 Strength mechanics analysis of filling body based on Coulomb tribology principle

3 充填体强度力学模型计算结果对比

为验证摩擦充填体强度可以满足安全性的要求，对内蒙古某铅锌矿进行现场工业试验，该矿山矿房长×宽×高为35 m×15 m×50 m。

3.1 充填体高度对强度预测值的影响

当充填体长度为35 m，矿房宽度为15 m，充填体黏聚力为105 kPa，内摩擦角为33.2°时，5 种充填体强度模型预测值随充填体高度变化的规律如图2所示。

图2 充填体高度对充填体强度的影响Fig.2 Influence of room height on strength of filling body

由图2 可知：5 个充填体强度模型的预测值均随充填体高度增加而增加。其中，蔡嗣经经验公式计算的强度最高；由于公式适用范围的限制，只有当充填体高度大于35 m 后高水自立强度模型才有预测值。而摩擦充填体强度模型预测值介于Thomas 强度模型和高水自立强度模型的预测值之间，且充填体高度超过30 m 后，充填体强度预测值增加幅度明显降低，这可能是充填体与围岩接触面的静摩擦转化为动摩擦所致。

3.2 充填体宽度对强度预测值的影响

当充填体长度为35 m，矿房高度为50 m时，5种充填体强度模型预测值随充填体宽度的变化规律如图3所示。

图3 充填体宽度对充填体强度的影响Fig.3 Influence of width on strength of filling body

由图3可知：Terzaghi强度模型和Thomas强度模型的强度预测值随充填体宽度增加而增大；高水自立强度模型预测值随充填体宽度增加而略有下降，但变化幅度不大；蔡嗣经经验公式和摩擦充填体强度模型的预测值变化与充填体宽度变化无关；蔡嗣经经验公式预测值最大。

3.3 充填体长度对强度预测值的影响

当充填体宽度为15 m，矿房高度为50 m时，5种充填体强度模型预测值随充填体长度的变化规律如图4所示。

由图4可知：Terzaghi强度模型、Thomas强度模型和蔡嗣经经验公式计算的充填体强度变化与矿房长度变化无关，高水自立强度模型预测值随充填体长度增加而增加。摩擦充填体强度模型预测值介于Thomas 强度模型和高水自立强度模型的预测值之间，充填体长度的变化对摩擦充填体强度影响较小。

图4 充填体长度对充填体强度的影响Fig.4 Influence of length on strength of filling body

综上所述，摩擦充填体强度模型预测值随充填体尺寸的变化规律与高水自立强度模型的变化规律基本一致，因为二者均考虑了充填体与围岩间的摩擦，但摩擦充填体强度计算结果略大于高水自立强度模型的计算结果，这是由于摩擦充填体强度并未考虑充填体内部摩擦力。与高水自立强度模型相比，摩擦充填体强度力学模型较简单，且不受充填体高度和宽度的限制。因此，在工程应用中摩擦充填体强度力学模型对充填体强度预测有重要意义。

4 工程实例验证

为了验证摩擦充填体强度力学模型的正确性，在内蒙古某铅锌矿进行现场工业试验。该矿产能为30 万t/a，采矿方法为浅孔留矿法，充填方式为全尾砂结构流体胶结充填。目前主要开采920 m和860 m 阶段，矿房和矿柱长×宽×高分别为35 m×15 m×50 m和35 m×9 m×50 m。

测定全尾砂的基本物化参数和充填料浆的流变参数等，同时进行配比后的强度和物理力学参数实验。现场选取充填配比为1:6，质量分数为76%的全尾砂胶结充填体，28 d强度及物理力学参数如表1所示。

将全尾砂胶结充填体物理力学参数分别代入5个充填体强度力学模型中，其计算结果如表2 所示。由表2 可知：5 种模型计算的充填体强度预测值从大到小依次为：蔡嗣经经验公式、Terzaghi强度模型、Thomas强度模型、摩擦充填体强度模型、高水自立强度模型，且摩擦充填体强度模型预测值介于Thomas 强度模型和高水自立强度模型的预测值之间。现场实测充填体强度约为1.68 MPa，远大于摩擦充填体强度模型计算的理论强度。

表1 充填体的物理力学参数Table 1 Physical and mechanical parameters of filling body

为了验证摩擦充填体强度可以满足安全性的要求，在试验矿房采用充填配比为1:12、质量分数为74%和强度为255 kPa的充填体进行充填。充填后回采矿柱，发现充填体揭露过程中仍保持稳定，未出现垮塌现象，证明该强度可以保证充填体自立，摩擦充填体强度力学模型是可靠的[18-19]。

不同充填配比的全尾砂胶结充填体材料用量对比如表3所示。由表3可知：充填配比为1:12的充填体与充填配比1:6的充填体相比，全尾砂和水的用量较多，水泥用量减少了97.17 kg/m3。当地水泥价格为18元/袋，充填体可节省的水泥费用约为35 元/m3。因此，摩擦充填体强度力学模型既满足了矿房充填体安全性的要求，又达到了降低充填成本的目的。

表2 不同模型计算的充填体强度Table 2 Strengths of filling body calculated by different models MPa

表3 不同配比时充填体材料用量对比Table 3 Comparison of filling material dosage with different ratios

5 结论

1)在分析已有充填体强度力学模型的基础上，基于库仑摩擦原理计算充填体与围岩间的摩擦力，建立了摩擦充填体强度力学模型。

2)摩擦充填体强度模型预测值随充填体高度的增加而逐渐增加，且充填体高度超过30 m 后，由于静摩擦向动摩擦的转化，充填体强度预测值的增加幅度明显降低；充填体强度预测值随充填体长度增加变化不大，与充填体宽度无关。

3)摩擦充填体强度模型随充填体尺寸的变化规律与高水自立强度模型的基本一致。由于摩擦充填体强度并未考虑内部摩擦力，其预测值略大于高水自立强度模型的预测值。但摩擦充填体强度力学模型较高水自立强度模型简易，且适用范围广。因此，摩擦充填体强度力学模型对工程中充填体强度预测有重要意义。

4)摩擦充填体强度力学模型满足了安全性要求和降低充填成本的双重目的。