双星系统中大质量比致密天体质量四极矩对轨道频率的影响分析

万程凯，韩文标，江春华

(1.南华大学 数理学院，衡阳 421001； 2.中国科学院 上海天文台，上海 200030)

1 引言

在牛顿理论中，关于双星的引力问题，其运动方程有严格解，两个质点形成的引力孤立系统允许两个守恒积分(能量和角动量守恒)。而在广义相对论中，双星运动的轨道明显不具有严格周期性：极端质量比双星系统的轨道运动辐射引力波，导致致密天体的轨道半径减小，且频率增加，从而使致密天体旋进运动。在旋进后期，引力波在探测器的敏感频段被探测到。在双星距离较大时，双星之间的潮汐相互作用可以忽略不计，并且可将小天体看作质点。然而，随着双星间距离减小，轨道频率会增加，潮汐相互作用会变大，这会导致致密天体发生潮汐形变，并使它们的引力场和轨道运动受到影响。这种潮汐效应在引力波的形状和相位上得以体现。由于引力波的形状和相位中隐藏着轨道运动的详细信息，所以我们能够根据轨道运动特征分辨出引力波。

致密天体的结构对EMRI发射的引力波瞬时振幅的影响可以忽略不计，但是它对频率造成的微小影响会随时间的增长而累积成不可忽略的相位偏差。来自致密天体的四极矩和轨道进动稍微加速了并合进程，并导致真实信号与质点粒子信号之间的相位差呈现单调增长的趋势[7]。因此，在大质量比双星系统中，不能总是简单地用试验粒子运动模型计算其运动状态。

EMRI是空间引力波探测器最重要的引力波源之一。由于我们对EMRI的天体物理起源还没有完全了解，所以初步预计，在LISA探测期间，引力波事件的年发生率在几次至几千次之间。这个范围也进一步说明，人们可以从EMRI的探测结果中了解到更多信息[8]。

Mathisson[9]研究了EMRI和IMRI系统中带有多极矩的小天体在给定时空中的运动。Corinaldesi和Papapetrou[10]把带有自旋的小质量致密天体作为试验粒子，认为它的质量很小，其对度规的影响可以忽略不计。但是在Papapetrou方程中，他们仅考虑了粒子的质量和自旋，即所谓的单极-偶极近似，忽略了质量四极矩效应。Suzuki和Maeda[11]在Papapetrou方程的基础上研究了自旋试验粒子绕施瓦西黑洞运动的混沌行为，发现当粒子自旋大于某个临界值时，系统会出现混沌，且该混沌完全由自旋-轨道耦合引起。在此之后，很多人研究了自旋粒子绕克尔黑洞和施瓦西黑洞运动的动力学模型，发现了带有很大自旋的粒子绕大质量黑洞运动的轨道特性和混沌性[12–17]。Wu等人[18–21]研究了其中一个天体有自旋时的相当质量比双星系统的后牛顿保守拉格朗日形式的混沌性和后牛顿保守哈密顿形式的混沌性，并证实了这两种形式都不能在谐和坐标系中混沌。他们还分析了同阶后牛顿拉格朗日方法与后牛顿哈密顿方法在强引力场下的差别。

Dixon[22–24]分别在1970年、1973年和1974年将Papapetrou方程展开到多极，并赋予其物理含义，使多极矩的概念更加清晰。由于四极是多极的主要部分，因此，一些研究者把Mathisson-Papapetrou-Dixon(MPD)方程扩展到四阶来研究延展体的轨道动力学，并基于MPD方程研究克尔黑洞潮汐作用诱导的延展体四极矩和小质量天体自旋产生的四极矩，从而来定性分析致密双星系统辐射的引力波[25–28]，其中，Han和Cheng[29]通过定量分析研究了延展体自旋产生的四极矩对EMRI系统的引力波波形的影响。

本文将利用MPD方程，在Han和Cheng研究结果的基础上，定量分析更一般形式的四极矩。我们的研究内容既包括致密天体本身的自旋引起的四极矩，也包含大质量黑洞潮汐作用引起的致密天体四极矩，及其对致密天体轨道运动和引力波频率的影响。

本文内容安排如下：第2章介绍延展体MPD方程，以及不同种类致密天体的自旋和质量四极矩；第3章计算自旋和四极矩对引力波频率的影响；最后，我们将对本文研究的结果进行总结和讨论，并对其应用前景进行展望。

2 延展体动力学方程

引力波的探测依赖于理论模板的精度，因此，我们需要知道小天体的精确运动。MPD运动方程描述了在弯曲时空中具有自旋和质量多极矩的延展体运动。MPD方程多极展开中的高阶项表明，小天体内部结构对运动轨道产生的影响较小。本文采用的致密天体自旋和四极矩的EMRI和IMRI模型，比目前流行的试验粒子近似模型更符合天体的实际运动，计算出的轨道也更加精确。

除非致密天体绕快速旋转的大质量克尔黑洞运动，否则直到双星并合的旋进阶段，延展体的自旋导致的四极矩效应都很小，因此，很多人忽略了潮汐效应对延展体的影响[30]，也忽略了致密天体自旋产生的四极矩效应。但是在致密天体与中心黑洞的并合阶段，或延展体接近最内稳定圆轨道时，潮汐效应变得不可忽略，此时必须考虑潮汐效应对轨道进动产生的影响。我们研究的致密双星系统就是小质量延展体围绕快速旋转的克尔黑洞运动的情况。

延展体的动力学方程如下[22]：

其中，Jγδϵσ是质量四极矩张量，它与Rαβγσ具有相同的对称性。文中所有指标都用度规张量进行升降。

延展体的四速度与四动量之间的关系式如下[29]：

现在我们来讨论质量四极矩张量Jαβγδ[26]：

其中，Q是延展体四极矩(与坐标系的选取无关)。CQ是衡量自旋产生的四极矩大小的无量纲参数，其数值代表了自旋产生的四极矩的大小，与延展体状态方程有关。已知旋转的致密天体的半径和质量，其CQ可以由下式近似表达[32]：

其中，G是万有引力常数，c为光速，R为天体半径。在不同密度和不同模型下，计算出的CQ值不同。对于中子星(质量为1.4M⊙，半径为12 km)，CQ取值范围一般是2∼8，本文取值为4；对于黑洞来说，CQ=1；对于一般白矮星，CQ≈104[33]。

由于潮汐相互作用取决于延展体的内部结构，因此，通过测量中心黑洞潮汐作用产生的四极矩，可以获得关于延展体的致密性及其状态方程的重要信息。表征潮汐产生的四极矩大小的参数2为[26]：

表1 不同质量白矮星的潮汐和自旋产生的四极矩

3 自旋和四极矩对引力波的影响

自旋对轨道演化的主要影响是，它会导致轨道平面进动，从而改变轨道在空间中的方向。本文采用符号S表示自旋参数，它是mM的倍数，而不是m2的倍数。Corinaldesi和Papapetrou[10]指出，在忽略潮汐耦合的情况下，致密天体(白矮星、中子星和黑洞)的自旋参数S远小于1。

表2 不同质量致密天体的自旋角动量和潮汐半径

当小质量天体与大质量克尔黑洞之间的距离小于Rtidle时，小质量致密天体将会被中心黑洞产生的巨大潮汐力撕裂。RISCO是最内稳定圆轨道(innermost stable circular orbit,ISCO)的半径。当小天体绕大质量黑洞运行的距离小于Rtidle时，不再存在稳定的圆轨道。对于极端质量比双星系统，相应的自旋和多极矩参数也都较小。根据Bini等人[27]的研究结果，自旋和四极矩对ISCO的影响很小，因此，我们采用试验粒子的ISCO作为小质量天体轨道运动是否稳定的判据。

ISCO半径和潮汐半径的计算公式[37]如下：

其中，Z1和Z2的表达式[38]如下：

其中，a为克尔黑洞参数，其值是M的倍数。式(10)中，a<0时，等式取加号；a>0时，等式取减号。取a=0.9，由式(10)可计算得出，RISCO=2.32。在进行数值计算的过程中，我们选取潮汐半径和最内稳定圆轨道半径的最大值作为小天体的轨道半径。

表3是选取质量为1.3M⊙的白矮星、中子星和原初黑洞的相关物理参数[36–39]，并经过以上方程计算得出的近似结果。

表3 m=1.3M⊙,ν=10−6,a=0.9,r=6M 情况下自旋和四极矩对引力波产生的影响

引力波频率与轨道频率之间的关系式如下：

由表3和表4可以看出，当致密星质量为1.3M⊙，双星质量比为10−6，距离为6M，且白矮星或中子星的自旋量与黑洞的相等时，它们与黑洞的引力波频率的相对偏差量级很小，此时，质量四极矩对白矮星或中子星的轨道运动的影响可以忽略，因此，我们无法通过引力波研究致密星的物态方程。无论是中子星，还是白矮星，其自旋会对引力波频率产生影响。如果通过引力波反演得到的自旋角动量系数明显大于1，那么，我们可以认定该致密星是白矮星。当双星质量比ν=10−5时，结论与ν=10−6时一样。

表4 m=1.3M⊙,ν=10−6,a=0.9,r=6M 情况下自旋和四极矩对引力波产生的影响

表5和表6表示，在ν=10−4的双星系统中，通过比较白矮星3∗与白矮星4∗可以看出，白矮星自旋引起的四极矩对轨道运动的影响可忽略。因此，从白矮星1与白矮星2∗进行对比以及白矮星2与黑洞进行对比的两组引力波频率的相对偏差可以看出，当白矮星的自旋与黑洞的自旋相等时，中心黑洞潮汐作用产生的白矮星四极矩会对白矮星的轨道运动产生影响。中子星的自旋与原初黑洞自旋相等时，两者辐射的引力波频率十分接近；中子星的自旋与黑洞自旋相差较大时，两者产生的频率相对偏差和双星质量比均相差不大，因此，自旋会影响中子星的轨道运动。

表5 m=1.3M⊙,ν=10−4,a=0.9,r=3.9M 情况下自旋和四极矩对引力波产生的影响

表6 m=1.3M⊙,ν=10−4,a=0.9,r=3.9M 情况下自旋和四极矩对引力波产生的影响

表7表明，在双星质量比为10−2，小天体距中心黑洞6M处，中子星2与黑洞1相比，以及中子星1与黑洞2相比，其辐射的引力波频率相对偏差可以区分，因此，可以认为自旋会影响中子星的轨道运动。中子星2与黑洞2的自旋相同，但是潮汐参数和自旋参数不同，产生的引力波频率相对偏差的量级与ν相比很小，说明质量四极矩对中子星产生的影响很小，可以忽略。中子星1与黑洞1相比，中心黑洞潮汐作用导致的中子星形变对其轨道运动产生的影响可以忽略，因此，中子星自旋产生的四极矩对延展体轨道运动产生的影响也可以忽略。

表7 m=1.3M⊙,ν=10−2,a=0.9,r=6M 情况下自旋和潮汐效应对引力波产生的影响

4 总结与展望

本文利用MPD方程对大质量比旋进系统进行分析，通过数值计算得到了致密星沿圆轨道绕中心黑洞旋进运动的轨道频率，并根据该轨道频率与引力波频率之间的关系获得了双星系统辐射的引力波频率。这些引力波可以通过空间激光引力波探测器LISA进行观测，有的引力波频率甚至在LIGO的敏感探测频段内。通过改变频率的方法，我们分析了潮汐效应和小天体自旋对引力波频率产生的影响。由于致密天体的致密程度不同，所以白矮星、中子星或黑洞的因潮汐作用和自旋导致的形变对轨道的影响也不同。

对于一个质量约为1M⊙的致密天体，当小天体距离中心黑洞非常近时，我们得到以下研究结果：(1)本文研究的所有质量比的情况下，自旋对白矮星和中子星的轨道运动产生的影响都不可忽略；(2)在10−6∼10−2质量比区间，自旋产生的四极矩对中子星产生的影响很小，可以忽略；(3)质量比为10−4时，极端自旋状态下的白矮星自旋产生的四极矩不可忽略；(4)由于中子星的密度大，潮汐作用产生的四极矩对中子星的影响很小，可以忽略，因此，我们无法通过引力波探测器反演中子星和黑洞的物态方程；(5)在极端质量比的情况下，小质量天体几乎可以看作质点，因此，潮汐作用产生的四极矩对白矮星的影响很小，可以忽略；(6)在10−4∼10−2的质量比范围内，潮汐作用产生的四极矩对白矮星轨道运动的影响不可忽略。

从这些结果可以看出，中子星和白矮星的质量四极矩对其轨道运动产生的影响不同。当大质量克尔黑洞的质量约为几百个太阳质量时，产生的引力波频率较高，可以由LIGO探测到，但是无法从中反演出中子星物态方程的状态参数。本文中，我们讨论了沿圆轨道运动的大质量双星系统。关于带有偏心率和轨道倾角的情况，以及通过引力波信号反演得到的自旋和四极矩参数，我们将在后续工作中进行详细介绍。