振动弛张筛动力学分析与Simulink仿真

王新文，常凯峰，张星汉，贺 壮

(中国矿业大学(北京) 化学与环境工程学院，北京 100083)

普通振动筛在对潮湿细粒黏煤进行干法深度筛分时，经常会发生堵孔的现象，这是该类煤炭颗粒小，比表面积大，遇水易黏的特性导致的，若通过调整激振力或改变工作频率来调整筛面的振动强度，会影响振动筛的结构强度，增加维修成本，降低筛分效率。近年来弛张筛的出现有效减少了这种现象的发生。弛张筛结构特殊，在工作时主浮筛框相对运动，带动柔性筛面做规律的张弛运动，这种筛面的振动形式能够给筛面上的物料很大的加速度，弛张筛因此具有筛面振动强度大，筛分效率高，不易堵孔等特点。弛张筛以其诸多优点在国内市场很受欢迎，现阶段我国自主研发的弛张筛已经在诸多矿场得到应用。

段旭升[1]介绍了振动弛张筛的结构基本特点，并建立单自由度力学模型分析了振动机理。黄培文[2]着重研究了振动稳定阶段的运动微分方程式，提出了以四自由度代替二自由度的计算振动筛的方法。王新文等[3，4]，建立了直线激振力偏移质心的理论，在忽略阻尼影响的条件下，将筛机的运动看作刚体的运动，即随质心的平动和绕质心转动的叠加，建立了振动弛张筛简化的力学模型和振动微分方程，绘制了主浮筛框的幅频特性曲线，解释了弛张筛振动的机理。目前振动弛张筛的振动运动的理论计算和参数设计大都停留在将弛张筛看作沿X、Y方向为双质体，忽略转动的阶段。实际上，由于激振力不通过质心，弛张筛在运动过程中会围绕质心转动。由于剪切弹簧在水平安装时竖直方向上存在刚度和阻尼，所以在进行运动学分析时，不仅应该将弛张筛看作是沿X、Y方向上双质体的振动，而且应考虑筛框转动对运动的影响[5，6]。

MATLAB/Simulink具有强大的仿真运算功能，利用MATLAB的数值计算功能对微分方程进行数值求解能够为研究振动系统动力学提供极大地便利。对振动系统的仿真分析可以采用积分模块建模、状态空间方程模块建模和S-Function模块建模[7]。本文对弛张筛的运动轨迹进行仿真分析。通过理论推导及建模仿真得到在考虑转动、考虑阻尼的条件下振动弛张筛筛框上任意点的运动轨迹。为振动筛的设计研究提供了可供参考的理论基础。

1 数学模型的建立

振动弛张筛由主动筛框、浮动筛框、激振器、隔振弹簧以及剪切弹簧等组成。振动弛张筛的结构如图1所示，激振器装在主动筛框上，产生的激振力通过剪切弹簧传递到浮动筛框上，浮动筛框和主动筛框在水平和竖直两个方向上做近似简谐运动，隔振弹簧起着支撑和隔振的作用[8，9]。

图1 振动弛张筛力学模型

振动弛张筛动力学分析：在正常工作状态中，弛张筛的运动可以看作是刚体的平面运动：由于激振力不通过质心，该系统的运动可以简化为平面上双质体六自由度运动：①质体1、2在水平方向x方向上的运动；②质体1、2在竖直方向y方向上的运动；③由于激振力不通过质心，质体1、2在随质心平动的同时绕各自质心的转动。

在实际工作中，隔振弹簧的刚度相同，且布置时按照几何对称。剪切弹簧在浮动筛框上下侧成对布置，前后方向相对浮动筛框质心对称[10]。当弛张筛振动时，作用在质体的力有惯性力、弹性力以及阻尼力，这些力合力为零，在考虑弹簧阻尼的情况下，列出它们的运动微分方程如下：

式中，m为激振器偏心快质量；M1、M2为主、浮筛框质量；r为偏心距；ω为偏心快旋转角速度；k1、k2为隔振弹簧在X、Y方向上的刚度；k2、k2y为剪切弹簧在X、Y方向上的刚度；J1、J2为主动筛框与浮动筛框的转动惯量；φ1、φ2为主动筛框、浮动筛框绕各自质心的转动角度；l1x、l1y为激振器与质心水平方向、竖直方向上的距离；lee为剪切弹簧X方向作用线相对主动筛框质心竖直距离；l1xe为隔振弹簧X方向作用线与主动筛框质心的竖直距离；a、b为靠出料口、入料口剪切弹簧竖直方向上的作用点与主动筛框质心的水平距离；a′、b′为靠出料口、入料口剪切弹簧竖直方向上的作用点与浮动筛框质心的水平距离；其中X1、X2为主浮筛框沿筛面方向位移；Y1、Y2为主浮筛框垂直于筛面的位移。

由于式(1)中a′与b′近似相等(剪切弹簧沿质心对称布置)，等式中所有含(a′-b′)项皆为零。方程组(1)为二阶常系数线性微分方程组，其解由一个通解和一个特解构成，当振动系统存在阻尼时，自由振动将会逐渐衰减至消失，由于振动弛张筛是由激振力引起的受迫振动，故只研究弛张筛稳定时工作的振动。根据微分方程激振力的形式可设稳态解见式(2)：

式中，α1、α2、θ1、θ2、γ、s分别为x1、y1、φ1、x2、y2、φ2的相位角；X1、X2、Y1、Y2、Φ1、Φ2为幅值。将稳态解及其1阶、2阶导数代入振动微分方程并表示成矩阵形式：

幅频响应矩阵为：

H=[K+iωC-ω2M]-1

化简后的微分方程矩阵形式为：

H-1X=F0eiω

[K+iωC-ω2M]X=F0eiω

考虑我国居民消费中耐用品消费份额不断上升的现实，本文构建了一个包含耐用品部门与非耐用品部门的多部门动态新凯恩斯主义模型，并在这一模型框架内，考察了扩张性货币政策的动态效应。研究结果显示，扩张性货币政策引起耐用品部门名义工资、耐用品部门通胀以及耐用品消费更大幅度地上升。在此基础上，进一步分析了以稳定增长为目标的政策下货币政策盯住目标选择的问题。研究结果表明，如果耐用品的寿命足够长，无论是基于缓和产出波动的角度，还是基于降低政策引致的社会福利损失的角度，货币政策盯住目标均应选择耐用品部门通胀。

根据以上方程可看作具有八个未知数的常系数线性微分方程组，根据微分方程组的求解原理，可利用克莱姆法则对以上方程进行求解。求解前将方程(1)中的系数矩阵的各项分别用字母代替，并根据振动微分方程标准形式列出幅频响应矩阵，然后将字母带入矩阵中运算，再将求得多项式中各字母代表的系数项带入多项式中化简，如此可求出各未知数的解析解。

令Δ=|K+iωC-ω2M|

a=(k1x+k2x)+iω(c1x+c2x)-ω2m1

c=leek2x+l1xek1x+iω(leec2x+l1xec1x)

d=(k1+k2)+iω(c1+c2)-ω2m1

q=-l1ymω2r0；e=-k2-iωc2；p=mω2r0；

i=-leek2x-iωleec2x；r=l1xmω2r0

g=k2+iωc2-ω2m2；g=k2x+iωc2x-ω2m2

设筛框上任意一点的坐标为(x′，y′)，式(1)中的x、y、φ稳态解可求，则该点的运动方程为：

即在理想状态下振动弛张筛的运动为平动与转动的叠加，筛机上任意一点的运动轨迹可以根据式(3)算出。因为转动是相对于质心位置而言的，故只要求出主浮筛框质心处的振幅和转角就能够求出筛框任意一点的运动轨迹。由于振动筛转动角是绕质心的转角，所以距离质心位置越远摆动越明显，因此，筛框越长，入料与出料两端的摆动幅度就越大。

2 振动弛张筛MATLAB/Simulink仿真

以FFS1840振动弛张筛为仿真对象，工作转速为11.67rad/s，偏心质量距为16069.2kg·mm，总参振质量约为4.5t。根据FFS1840弛张筛的各参数设置仿真参数[11，12]，主要参数见表1。

表1 FFS1840振动弛张筛仿真参数表

2.1 建立状态空间表达式

状态空间方程可以表示单输入单输出，多输入多输出系统、线性和非线性系统，时变和时不变系统等，状态空间方程与输出方程合称为状态空间表达式，他表征一个完整的动态过程，对于线性定常系统状态方程的表达式如下：

将系统的动力学微分方程转化为状态空间方程，定义系统的位移和速度作为状态向量，指定每个状态变量的初始值为0，将运动微分方程转化为系统的状态方程和输出方程。A表示系统内部状态的系数矩阵，称系统矩阵；B表示输入对状态作用的矩阵，称为输入矩阵；C表示输出与状态关系的矩阵，称为输出矩阵；D表示输入直接对输出作用的矩阵，称为直接性转移矩阵[13，14]。

2.2 利用MATLAB/Simulink建立仿真模型

打开Simulink模块，用正弦波、状态空间和示波器搭建模型，指定X1、X2、Y1、Y2、φ1、φ2为仿真结果。将方程组1化简为状态方程的表达式的形式，并将表1中的参数到带入化简后的方程组1中，根据最终表达式的形式可以得到矩阵A、B、C、D。在状态空间模块设置A=A；B=B；C=C；D=D。由于在振动弛张筛的动力学系统中没有输入直接对输出作用的矩阵，故直接转移矩阵D=0。仿真时间设置为30s，仿真步长设置为0.002，采用ode4定步长算法。状态空间模块建模如图2所示，各参数设置完成后开始仿真，仿真程序与结果得到的振动筛质心的位移、转角随时间变化曲线如图3所示。

图2 状态空间模块建模

图3 主浮筛框质心位置的振幅与转角

由图3可看出，振动筛在启动后5s后质心的振幅就基本达到稳定状态，稳定状态下6个自由度方向上的振动形态是简谐振动。主动筛框在稳定工作状态下，质心在x、y轴方向上的振幅分别为2.5mm，3.5mm，筛框绕质心的转动角度为0.0013rad；浮动筛框质心在x、y轴方向上的振幅分别为7.1mm，4.6mm，绕质心的转动角为0.0017rad。在质心位置附近，由于转动的角度很小，所以运动轨迹基本与质心相似，为椭圆形。

2.3 筛框特征点动力学仿真

根据筛箱上任意点的运动轨迹的计算公式，可以较为准确的分析筛框上任意点的振幅、轨迹。为了更为直观的了解主浮筛框的运动状态，根据建立的振动弛张筛力学模型在主动筛框和浮动筛框上分别选取三个具有代表性的特征点，建立仿真程序分析其运动轨迹[15-18]。特征点位置如图4所示。

图4 FFS1840筛框理论特征点位置

分别以主动筛框和浮动筛框的质心为坐标原点，建立沿筛面和垂直于筛面的坐标系，取六个特征点，分别为：主浮筛框质心处、主浮筛框出料口处、主浮筛框入料口处。坐标参数见表2。

表2 坐标参数表

建立Simulink动力学仿真模型如图5所示，结合表2中任意点的坐标参数，可对各特征点的运动轨迹进行仿真。仿真结束后，取仿真开始20s后稳定状态的数据导出运动轨迹，能够清晰地看出该点的运动状态，从筛框入料端与出料端的运动轨迹呈现“正八字”的特点，即入料口和出料口两端的轨迹都向质心偏斜，这是由于振动筛激振器回转中心在筛框上端导致的。具体运动轨迹如图6所示。

图5 特征点仿真计算模型

图6 特征点仿真计算出的轨迹

筛框各点的运动轨迹可以近似看作大小不同的椭圆。为进一步研究摆动对筛框运动的影响，可通过求取质心与两端特征点轨迹的椭圆长轴的大小求得该点处的最大振幅，进而分析出摆动对入料端和出料端的影响大小。根据运动轨迹可知，由于摆动对振动弛张筛筛框运动的影响，筛框入料口和出料口的最大振幅(椭圆长轴)比质心处的振幅大，振幅增量见表3。

表3 振幅增量表 mm

虽然摆动角度较小，但随着振动筛的大型化，筛框长度越长，两端摆幅越大，这就可能引起剪切弹簧局部撕裂等问题，影响生产效率。由于摆动的产生是因为激振器的回转中心不通过质心，在进行振动弛张筛的筛设计时，可根据需要增加或减小激振器回转中心与质心的距离，来控制振动筛的摆动量。

3 结 论

1)建立了振动弛张筛线性六自由度动力学模型，给出微分方程解法。完善了振动驰张筛的理论模型，为今后振动筛设计提供参考。

2)结合实例计算出主浮筛框质心位移与转角。利用MATLAB/Simulink动力学仿真，根据筛框上任意点运动方程计算出FFS1840弛张筛筛框上特殊点的运动轨迹。仿真结果表明：振动筛在稳定工作时，筛框绕质心的转动可能会对入料端和出料端产生较大影响，因此在进行建模时为确保计算的准确，应当考虑振动筛转动作用的影响。