浙江省专升本高等数学考试应用题分析初探

金友良

摘  要：通过全日制专升本考试，选拨普通高等学校高职高专优秀应届毕业生升入普通本科高等院校，进行2年的深造，每年吸引着很多的优秀高职生报考。该文通过精读浙江省专升本高等数学教学大纲，明确考试应用题的基本要求，系统分析2005—2019年浙江省专升本高等数学考试应用题，筛查考试热点，寻找一定的规律，归纳出以下5类应用题型的解题方法，为专升本考生提供参考。

关键词：专升本  考试热点  应用题  解析

中图分类号：G642    文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2020）03（c）-0203-02

从2005年起，我们浙江省专升本考试独立组卷，至今已有15年。通过全日制专升本考试，选拨普通高等学校高职高专优秀应届毕业生升入普通本科高等院校，进行两年制的继续深造学习，修完所需学分，毕业时授予普通高等教育本科学历证书和学位证书，享受与普通四年制本科同等待遇，这为我们高职高专学校优秀毕业生提供了一条继续深造的快捷之路。

我们学校为了这些优秀应届毕业生顺利考入心仪的本科高等院校，每年都组织进行专升本考试复习辅导。笔者开设全日制专升本高等数学考试复习辅导多年，一直对浙江省专升本《高等数学》考试大纲以及历年的浙江省专升本《高等数学》考试题目进行了系统的、针对性分析，从中总结经验，归纳考试要点，为更好地辅导专升本高等数学考试复习打下良好的基础。

应用题属于综合性的题目，是利用微积分知识解决实际问题。在每次专升本考试中都属于大题，是单个题目所占分值最高之一。由于学生普遍缺乏解决实际问题的能力，应用能力较弱，平时考试也体现大多数学生这方面能力尤其薄弱，导致每次应用题考试失分较多。针对这一情况，该文就浙江省高等数学专升本考试应用题试题进行了收集、分析、归纳，整理归纳出以下一些常用解题方法，希望对以后参加全日制专升本高等数学考试的学生起到一定的帮助作用。

1  精细解读全日制专升本高等数学考试大纲，明确应用题考试的基本要求

（1）会建立一些简单实际问题的函数关系式。

（2）理解函数极值的概念，会求函数的极值和最值，会解决一些简单的应用题。

（3）利用定积分几何意义，解决简单的平面图形面积问题。

（4）会利用定积分计算平面图形的面积以及平面图形绕坐标轴旋转一周所得的旋转体的体积。

2  分析历年应用题考试试题，筛查应用题考试热点

（1）利用定积分几何意义，解决简单平面图形的面积问题。

（2）利用定积分计算平面图形的面积。

（3）利用定积分计算平面图形绕坐标轴旋转一周所得旋转体的体积。

（4）利用导数，解决实际最优化问题。

（5）平面图形的面积、旋转体的体积和最优化问题的综合应用问题。

（6）平面图形的面积、旋转体的体积与常微分方程相结合的综合应用题。

3  典型试题解析

3.1 利用定积分几何意义，解决简单平面图形的面积问题

定积分的几何意义：当f（x）≥0时，（其中s表示由x=α，x=b，x轴以及y=f（x）所围成的曲边梯形面积）;当f（x）<0时，-s。

例1（2006年浙江省专升本考试选择题*4题）曲线y=x（x-1）（2-x），（0≤x≤2）与x轴所围成图形的面积可表示为（ ）。

解：当0≤x<1时，y≤0;当1≤x≤2时，y≥0，则所求平面图形面积可表示为。

例2（2017年浙江省专升本考试填空题*14题）在区间[α，b]上f（x）>0，f'（x）<0，f''（x）>0，，S2=f（b）（b-α），S3=0.5[f（α）+f（b）]（b-α），则S1，S2，S3的大小顺序为（  ）。

分析：由f（x）>0说明S1表示由x=α，x=b，x轴以及y=f（x）所围成的曲边梯形面积;由f'（x）<0说明f（x）在[α，b]上单调递减，f（b）0说明曲线y=f（x）在[α，b]上是凹的，S3表示由x=α，x=b，x轴以及直线所围成的直角梯形面积。利用以上结论，画一个草图，马上可以看出所求的结论：S2

3.2 利用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积

解此类应用题的基本步骤：（1）根据题意画出所求面积的平面图形草图或所求体积的旋转之前的平面图形草图;（2）求出要确定定积分上、下限有用的交点坐标;（3）列公式求面积或体积。

例3（2010年浙江省专升本考试综合题*1题）设平面图形D是由曲线y=ex，y=e及y轴所围成的，求：（1）平面图形D的面积;（2）平面图形D绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积。

分析：画草图，得出平面图形D是y型区域图，且旋转体是绕y轴旋转，因此把y作为积分变量要简便一些。

解：作图（省略），通过作图，得：

，

例4（2009年浙江省专升本考试综合题*3题）设曲线y=-x2+x+2与y轴交于点P，过P点做该曲线的切线，求切线与该曲线及x轴围成的区域绕x轴旋转生成的旋转体的体积。

分析：利用导数求出所求的切線方程，画出平面图形草图分析，所求的旋转体的体积应该是两个x轴上的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的旋转体体积之差。

解：P点坐标为（0，2），y'=-2x+1，k=1，所求切线：y=x+2，画出草图，切线与x轴的交点为（-2，0），该曲线与x轴左边交点为（-1，0），则。

3.3 利用导数解决最优化问题

此类题目，首先要审题，已知什么，要求什么的最大值（点）或最小值（点），解题步骤：（1）要设一些未知量;（2）根据题意列出目标函数，同时根据实际意义确定函数的定义域;（3）求出极值可疑点;（4）利用二阶导数判定可疑点是极大点还是极小点，又由极值的唯一性，断定它是所求的最值点;（5）根据题目的要求做出相应的回答。

例5（2010年浙江省专升本考试综合题*2题）欲围成一个面积为150m2的矩形场地，所用的材料的造价其正面是6元/m2，其余三面是3元/m2，问场地的长、宽各为多少时，才能使所用的材料费最少？

分析：已知场地的面积，高度为定值，未知长、宽，求使用材料的最小点。

解：设场地的宽为xm，则长为m，设高为定值h米，使用材料费为y元，由题意得：

，令得x=10，又，x=10是唯一极值可疑点，所以是最小点。答略。

3.4 平面图形面积、旋转体体积及最优化问题的综合应用题

例6（2007年浙江省专升本考试综合题*1题）设直线y=αx与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，直线y=αx，x=1与抛物线y=x2所成图形的面积为S2，当α<1时，试确定α的值，使得S=S1+S2最小。

分析：通過画草图，可以知道要分两种情形作图，一种是当0<α<1时，另一种是当α≤0时，然后分别利用定积分求出S，再利用导数求出最小点。

解：作两种草图（略），当0<α<1时，y=αx与y=x2的交点是（0，0），（α，α2）

，令得，

S''（α）=2α>0，所以，当0<α<1时，。

当α≤0时，y=αx与y=x2的交点是（0，0），（α，α2）

，，S（α）在α≤0时单调最小，故在α≤0时S（0）为S（α）的最小值，，又，所以在α<1时，S的最小值在时取得。

例7（2017年浙江省专升本考试综合题*24题）设D1是y=2x2，x=α，x=2，y=0围成，D2是y=2x2，x=α，y=0围成（其中0<α<2）。（1）求D1绕x轴所得旋转体体积V1，D2绕轴y所得旋转体体积V2;（2）求α的值，使V1+V2最大，并求最大值。

分析：通过画草图，求出V1，V2，从而求出V=V1+V2，再利用导数求出最大点。

解：作草图（略）（1），，

（2），令，得α=1，

因，又α=1是唯一极值可疑点，所以是α=1最大点。答略。

3.5 平面图形面积、旋转体体积与常微分方程综合应用题

例8（2018年浙江省专升本考试综合题*25题）f（x）在[1，+∞）上导函数连续，f（x）>0，已知曲线f（x）与直线x=1，x=t（t>1）及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得旋转体体积是该曲边梯形面积的πt倍，求f（x）。

分析：先求出曲边梯形面积和旋转体体积，由题意列出方程，利用求导得到一个微分方程，再解出这个微分方程。

解：由题意得：，

两边求导：，

两边再求导：，即，，

即，由一阶线性微分方程公式得：，

由f（1）=f2（1）得f（1）=1，代入通解得，故曲线方程为。

4   结语

对于专升本高等数学考试中的应用题，还要强调在做应用题之前要审题清楚，已知什么，未知什么，求什么，是什么类型的应用题。如是最优化问题，熟练掌握最优化解题五步骤;如是求平面图形面积或旋转体体积，熟练掌握此类题目3个解题步骤;如是综合应用，分别用以上两种解题方法，就可以顺利解决。复习时，要让学生多训练、多总结，就一定能大大提高学生解决应用题能力。

参考文献

[1] 刘新华.浅析自考“高等数学（一）”的应用题应考[J].新课程研究，2008（7）：45-46.

[2] 郭培俊.浙江省专升本《高等数学》试卷分析[J].温州职业技术学院学报，2014（3）：24-28.

[3] 张春红.专升本《高等数学》考试中导数与微分部分内容解析[J].职业技术，2016（11）：70-71.