内化数学活动经验的“思”与“辨”

吴维芸

摘要：《义务教育数学课程标准（2011年版）》施行近十年来，帮助学生积累数学活动经验，已经成为广大数学教师的共识。经验是人对活动的个体体验，具有不稳定性、可变性和差异性;“经历”不等于“获得”，经验也不代表能力。因此，数学教学应该引导学生展开“思”与“辨”，由“经历”向“获得”转化，将不稳定的经验转化为稳定的能力。 具体地，在探究活动中，思过程，辨规律;在操作活动中，思方法，辨本质;在实践活动中，思复合，辨体验。

关键词：数学活动经验探究操作实践

《义务教育数学课程标准（2011年版）》施行近十年来，帮助学生积累数学活动经验，已经成为广大数学教师的共识。众所周知，经验是人对活动的个体体验，具有不稳定性、可变性和差异性;“经历”不等于“获得”，经验也不代表能力。因此，数学教学应该引导学生展开“思”与“辨”，由“经历”向“获得”转化，将不稳定的经验转化为稳定的能力。

一、自主探究活动：思过程，辨规律

探究是数学活动的重要形式，是学生在教师的引导下，对具体的研究素材进行数学探究和规律发现的过程。学生自主经历探究活动，不仅是学习用数学的眼光观察、用数学的思维思考的基本途径，也是积累数学基本活动经验的重要阵地。由于数学课堂一贯地重视“基础知识”和“基本技能”，很多教师往往把教学重点落在结论上，殊不知结论的获得离不开过程。过程是丰富多彩的，蕴含着数学活动经验的积累，体现着数学的价值。引导学生在活动中思考过程、辨析规律，才能把学生在自主探究活动中获得的零碎的个人感受上升到与“双基”相融合的理性经验。

例如，在学习了“分数乘法”后，教师安排了如下探究题：

在学生尝试观察、计算、验证后，教师引导学生交流：（1）你发现规律了吗？每一题的规律分别是什么？（2）你是怎么发现每一题的规律的？（3）这三题的规律有什么不同？能给它们分分类吗？

这个自主探究活动实际上是分两个层次进行的。第一个层次，让学生自主观察，通过观察发现规律，根据规律计算出结果。经历这一过程，学生能发现分数之间的大小关系，感觉到寻找分数之间的关系是有方法的，但这样的感觉是模糊的、粗浅的，甚至可能有一定的偏差。因此，教师需要安排第二层次的教学。“你是怎么发现每一题的规律的”，实际上就是引导学生对探究过程中最重要的部分进行回顾和反思，把内隐的经验通过语言表达出来。而“这三题的规律有什么不同？能给它们分分类吗”，则引导学生思辨这一类规律问题的核心，发现三道例题的目标指向是各不相同的：第一题是把分数的分子和分母分开来思考的，学生在前面的学习中已经积累了找整数规律的经验，在这里就能把已有的经验运用到分子或分母的规律发现中，实现经验的提升;在第二题中，通过前三个分数，学生得到的猜想是“分母不变，分子依次除以2”，但第五个分数的分母变成了20，这让学生意识到要把分数看成一个整体，依次乘12;有了第二题的经验，学生在解决第三题时的难点就变成了思考从23到1（结合从1到32）发生的变化，即“倒数”的运用。

通过以上两个层次的回顾，学生思辨了自主探究活动的过程，将原来积淀的计算经验和低层次的思维经验不断升华，抽象得到解决这一类问题的基本路径。

二、动手操作活动：思方法，辨本质

小学生的思维以直观形象为主，而数学学习需认识比较抽象一般的数学知识。对此，可以安排动手操作活动帮助学生完成这一过程。在动手操作活动中，学生能通过具体的操作行为，接触到丰富的学习材料，形成直观经验。

例如，在《认识长方形和正方形》一课中，为了研究“长方形的特征”，教师提供了如图1所示的3组小棒，让学生选一组围长方形。

然后，展开了如下交流——

师你们选的是哪一组？

生（展示围法，如图2）第②组。

师为什么不选其他两组呢？

生第①组小棒长度不一，围不成长方形。

生第③组小棒长度都一样，围出来的是正方形。

师（出示图3）老师也用第②组小棒围了一个图形，它是长方形吗？

生不是。

师为什么不是？

生要把同样长度的小棒面对面放。

师（同步板书）就是对边相等。（出示图4）那这个图形满足对边相等条件，为什么还不是呢？

生边要对齐，不能斜。

师把边对齐以后，什么发生了变化？

生角。

师用三角尺上的直角去比一比，看看这四个角是什么角？

（学生操作后得到结论：四个角都是直角。教师同步板书。）

师所以，我们就得到了长方形的特征：对边相等，四个角都是直角。

学生选择小棒围长方形的过程用时较少，但是动手试一试的操作活动让他们获得了对长方形边长特征的直观感受。这是构建个人理解不可或缺的重要经验。当然，这样的感受明显带有个体认识的成分，还存在原始、模糊的情况。因此，在学生完成了操作活动后，教师带领学生反思围长方形的方法，即解决“怎么选”和“怎么摆”的问题。当然，回顾的是方法，思辨的却是长方形的本质特征。教师先展示学生正确的围法，使其建立清晰的表象。在表象建立后，学生需要完成从操作经验到思维经验的提升，因此教师安排了两次示错：第一次示错，突出“相对的边长度相等”;第二次示错，借边的位置关系发现角的特征。通过这两次示错，把学生对长方形模棱两可的生活经验提升为正确、清晰、数学化的认知，即长方形的特征要从边和角两个方面思考。

三、综合实践活动：思复合，辨体验

数学综合实践活动，是学生运用数学知识解决问题的创造性过程，也是学生积累数学活动经验的重要载体。在数学综合实践活动中，复合程度越高的问题对学生的经验要求也越高，有许多活动都需要学生有多种经验参与其中：既要有操作的活动经验，也要有探究的活动经验，甚至需要应用意识的加入。在经历问题的解决过程之后，引导学生对解决问题的过程、策略进行思辨，对解决问題过程中的感悟进行分析，有助于学生完成知识的联结、经验的提升。

例如，苏教版小学数学教材六年级下册在“比例尺”内容之后，安排了“你家在学校的什么方向？从学校到你家的距离大约有多远？先确定比例尺，再把你家的位置在下图（见图5）中表示出来，与同学交流”的综合实践活动，旨在帮助学生在问题解决中加深对比例尺的概念及其应用价值的认识。

你家在学校的什么方向？从学校到你家的距离大约有多远？先确定比例尺，再把你家的位置在下图中表示出来，与同学交流。

对此，可以在教学前，让学生走一走从学校到家的路，记一记方向，估一估距离。课上，首先让学生在图上指一指、说一说自己家的位置以及学校到家的距离，然后引导学生用“我家在学校的（）方向，距离学校大约（）千米”的格式来表达。接着，让学生量一量所给长方形地图的长、宽，确定一个合适的比例尺，并标在图中。这里，选取两种典型的比例尺（数值比例尺、线段比例尺）进行全班交流。最后，让学生在图中画出自己家的位置，画好后交给同桌，由同桌根据图示猜测对方家的位置和学校到其家的距离。

解决这个实际问题，需要用到“确定方向”“估算距离”“比例尺”这三个知识点，由于问题本身的实践性、综合性和开放性，所以对学生来讲是有一定难度的。首先，虽然学生在第一学段学习了“认方向”，也在“认识千米”的学习过程中积累过“步测”的经验，但是这个经验并没有在实践中得到梳理、验证和应用。因此，通过“走一走”“指一指”等活动去激活经验。其次，学生在本单元学习了比例尺的意义，也能运用比例尺解决一些简单的实际问题。通过对“家到学校的实际距离”与“图纸所给的可用空间”的衡量，确定一个合适的比例尺，学生就能将前面学习中积累下来的活动经验运用于生活，对活动经验进行再认识、再体验。此外，通过对比例尺确定过程的思辨，学生原有的经验得到了概念化和形式化。最后，安排同桌互相交换读图验证，一方面是让学生对思维过程进行质疑和补充，另一方面也使学生能够对整个问题解决过程中的关键经验要素进行回顾和分析，有利于多种经验的复合和提升。

值得注意的是，无论学生经历怎样的数学活动，进行怎样的思辨活动，都需要积极的情感意志加入。因此，在学生经历数学活动的过程中，教师在引导学生对活动要素进行思辨的同时，也要关注学生或成功或失败的情绪体验。

总之，帮助学生积累数学活动经验，需要教师明确目标，根据数学活动的类型，确定学生活动的方式，使学生通过经历产生体验，经过思辨形成探究的、操作的、情感的或復合的基本活动经验。