陈晓彤,梁建莉
(浙江师范大学 数学与计算机科学学院,浙江 金华 321000)
图1 带直杆的圆环运动
圆环的动能是:
直杆AB的动能是:
系统的Lagrange函数是:
(1)
由此可得系统的哈密顿方程为:
(2)
带直杆的圆环系统是一个不可积的哈密顿系统,首先研究无重力时的运动情形,即g=0的情形.这时系统是可积的,对应的哈密顿函数为:
(3)
由能量守恒,系统有一个首次积分
H0(x,px,φ,pφ)=h.
(4)
由式(2)可知px为常数,即系统的动量守恒.对任意给定的H0=h,由式(3)可局部解得:
(5)
将式(5)代入式(2)消去px得:
(6)
记px,±=Λ0,±(φ,pφ),则
即系统(6)是以Λ0,±(φ,pφ)为哈密顿函数的哈密顿系统,此系统还有一个首次积分:
px,±=Λ0,±(φ,pφ)=h1.
(7)
这些平衡点都是不稳定的平衡点,且构成相平面上的两条连续曲线.
系统(6)的两组平衡点对应h1的4个特殊值:
这样就对应四族点,构成4条连续曲线:
当参数h和h1固定时,对任意x,式(4)和式(7)定义了两个二维流形,把式(4)定义的二维流形记作M0(x),称为等能量面,M0(x)同胚于一个二维环面T2,把式(7)定义的二维流行记作Mh1.当h和h1给定后,一个具体的运动对应于上述两个二维流形的交线,它通常是一条或两条闭曲线,把他们称为h1-曲线.通过分析,我们得到如下结论:
从全局看,系统(6)的积分曲线正好代表了等能量面M0(x)上的h1-曲线.积分曲线被曲线L14和L23分成三部分.一部分同伦于闭曲线L23内的一点,一部分同伦于闭曲线L14内的一点,一部分介于L14和L23之间.在每种运动过程中,角φ沿相同方向重复变化,所有闭曲线关于φ都是系统(6)的周期解.
系统的作用变量I(h1)可由以下过程求出:
即该系统满足柯尔莫哥洛夫非退化条件.
对我们所关心的系统(2),哈密顿函数可以写成
Hg(x,px,φ,pφ)=H0(x,px,φ,pφ)+gH1(x,φ),
(8)
(9)
其中
当能量hg很大时,εH1(x,φ)很小,这样系统就可以看作是无重力运动的周期扰动.若
(10)
对固定的h∈R+和x,式(10)定义了一个等能量面Mε(x),对充分小的ε>0,它同胚于二维环面T2.由式(10)可局部解得
(11)
其中
由此可得
上节已证明,无重力系统即未扰系统的每个解关于φ都是周期解,始终在不变环面上,解的周期取决于相轨线的位置.对于扰动系统,由于Λ0,±(φ,pφ)满足柯尔莫哥洛夫非退化条件,由KAM理论,扰动系统的轨线仍保持在不变环面上.从相平面上看,相对于无重力系统的平衡曲线,扰动系统也有相应的固定曲线,它们对应于关于φ的周期解.在固定曲线周围的大部分不变曲线仍然存在,与未扰系统的不变曲线相比,仅仅发生了微小形变,但破裂的曲线也构成稠密集.同样,当ε>0充分小时,扰动系统也存在与未扰系统的不变环面相对应的不变环面,其上的流是拟周期流,并且此不变环面充分接近未扰系统的不变环面.扰动系统的不变曲线存在表明,扰动系统仍然具有无重力系统的运动规律.以上研究表明:对扰动系统(9),当ε>0充分小时,扰动系统的轨线仍保持在不变环面上.