课例：导数中的一类函数构造法

吴瑾

【摘要】构造函数作为一个基本数学方法被广泛应用，导数中经常出现使用构造函数法的例子.专题课作为高三第一轮复习中必不可少的一类课型，要求学生通过专题复习课不仅要学会一类问题的解决方法，还要能归纳总结，举一反三，延伸拓展，提高数学提出、分析和解决问题的能力.下面就与大家分享笔者曾讲授的“导数中一类函数构造法”一课，本课主要研究由抽象函数f（x）与其导函数f′（x）构成的不等式，比较有关函数式大小的问题.该类问题可借助基本初等函数的导数公式和导数的运算法则构造新函数，利用新函数的单调性来解决.

【关键词】构造函数;导函数;新函数

一、提出问题

教师：在导数的学习中，我们经常会碰到这样一类不等式.由抽象函数f（x）与f′（x）构成，比较有关函数式大小.今天我们一起来探索解决这一类问题的方法.

例1 （投影）设函数f（x）在R上存在导数f′（x），对任意的x∈R有f（x）+f（-x）=2x且在（0，+∞）上，f′（x）>1，若f（2-a）-f（a）≥2-2a，则实数a的范围是（）.

教师：请大家结合前面的方法完成例3.

（学生讨论，教师巡视、查看，兩分钟后学生10讲解）

教师：（投影解答过程）思路非常清晰.那同学们能自己归纳出这一类不等式构造的新函数吗？

教师：（投影学生归纳总结内容）非常好！经过前面三个例题，我们发现通过抽象函数y=f（x）和基本初等函数的导数运算，构造新函数是解决这一类问题的关键.

四、回顾反思

教师：通过本节课的学习，我们体会到解决由抽象函数f（x）与f′（x）构成不等式，比较有关函数式大小的问题，其关键点在于基本初等函数的求导和导数运算法则，所以在今后的学习中应回归教材，夯实基础，学会归纳总结，构建自身的知识体系.

【参考文献】

[1]郑显辉.构造函数在导数中的应用[J].中学数学，2019（7）：53-54.