基于希尔伯特-黄变换的潮汐分析方法研究

张 亮，张佳丽，张学峰，张安民

基于希尔伯特-黄变换的潮汐分析方法研究

张 亮，张佳丽，张学峰，张安民

(天津大学海洋科学与技术学院，天津 300072)

经验模态分解(EMD)是希尔伯特-黄变换(HHT)的核心组成部分．在对传统HHT方法研究与分析的基础上，发展了改进的集合经验模态分解的方法(MEEMD)对海洋潮汐进行分析．MEEMD方法根据水位数据序列的特点，通过添加成对白噪声和计算排列熵的方式来剔除分解过程中出现的虚假本征模态函数(IMF)，从而抑制了模态混叠现象．数值模拟和实测水位数据实验表明，MEEMD方法可以在有效抑制模态混叠现象的基础上，对含有噪声的原始水位序列实现自适应滤波．MEEMD方法分解得到的高频IMF1和IMF2分量占原始水位数据总能量的90%以上，IMF1和IMF2分量的平均周期和平均振幅分别与调和分析得到的半日分潮与全日分潮结果基本一致．通过分析认为，IMF1和IMF2之和是主要半日分潮、全日分潮以及浅海分潮的叠加．传统的潮汐调和分析方法有赖于长期的水位记录，且需要水位数据的一些先验知识，涉及到的天文知识与数学计算也较为复杂．准调和分析可以处理短期的水位数据，但仍然涉及天文知识与复杂数学计算，对数据的完整性也要求较高．当收集到的水位数据因为存在噪声或者信息缺失，不足以进行传统的调和或准调和分析时，可以使用HHT方法进行有效的补充分析，以获得主要半日分潮、全日分潮和余水位的幅值信息，因此，该方法可以作为一种很好的潮汐分析的补充方法．

改进的集合经验模态分解；希尔伯特-黄变换；滤波；分潮

海洋潮汐是海水受到月球和太阳的吸引力作用而产生的一种周期性升降运动．产生潮汐现象的主要原因是由于地球上各点距离月球的相对位置不同，所受到的引力也不同，这种不同导致地球上的海水做相对运动，引起海面升降．而实际的潮汐受到陆地、海底地形起伏变化，海底摩擦以及地球自转等影响是十分复杂的，呈现出非平稳、非线性的特征．传统的潮汐分析方法有调和分析和准调和分析．潮汐的调和分析方法是建立在分潮的概念上，将潮汐看成是以不同频率传播的各种分潮叠加产生的现象，目的是求出各个分潮的振幅和迟角[1-2]．潮汐调和分析根据过去一段时间的潮汐观测资料，计算各个分潮的调和常数，用于潮汐预报以及计算各种基准面等，其中涉及天文知识与数学计算，整个过程较为复杂．潮汐准调和分析适用于手工计算，通过对一天或几天的短期观测数据计算获得准调和分潮．准调和分潮是以一个分潮为主，其余分潮的调和常数与这个主要分潮建立一定关系后合并为一项，此项的振幅和角速率不再是常量，而是随时间缓慢变化[3]．希尔伯特-黄变换(Hilbert-Huang transform，HHT)是Haung等于1998年提出的一种分析非线性、非平稳信号的方法[4-6]. HHT作为一种新的信号分析理论，其关键部分为经验模态分解(empirical mode decomposition，EMD).大部分通过EMD分解得到的固有模态函数(instrinsic mode function，IMF)可以反映真实的物理过程，同时也有大量实验表明，EMD方法是目前提取信号趋势或均值的最好方法．在海洋科学研究中，EMD方法已应用于海平面变化趋势、风暴潮和海温异常预测等方面的研究[7-10]．Cheng等[11]使用EMD的方法对潮汐的振幅进行分析得到海平面上升和气候变化的关系；Pan等[12]应用EMD方法对具有非平稳、非线性特征的河流潮汐进行分析并验证了方法的有效性．但EMD方法本身存在一些问题，其中一个主要问题是模态混叠，针对这个问题，很多学者提出了包括集合经验模态分解(ensemble empirical mode decomposition，EEMD)[13]、补充的EEMD(comple-mentary EEMD，CEEMD)[14]、改进的EEMD(modi-fied EEMD，MEEMD)等解决方法[15]. 另外，黄大吉等[16]针对HHT存在的端点处理问题，提出了包络的极值延拓法和镜像闭合延拓法，两种方法都能很好地处理端点问题，使得EMD分解得到合理的各个IMF模态．在前述文献研究的基础上，本文提出了采用基于MEEMD的希尔伯特-黄变换方法对潮汐信号进行分析，有效抑制了模态混叠问题并提高了频率分辨率，同时该方法还具有很好的自适应滤波效果，是潮汐分析的一种有效方法．

1 HHT方法简介

1.1 MEEMD方法

EMD方法中出现的模态混叠现象是指在一个IMF中包含差异极大的特征时间尺度，或者相近的特征时间尺度分布在不同的IMF中，造成波形混叠，难以辨认[17-18]．为了抑制模态混叠现象，提出了EEMD方法和CEEMD方法．CEEMD方法是EEMD方法的改进，该方法通过在原始信号中添加成对幅值有限且均值为零的白噪声，再通过对分解结果进行总体平均来消除白噪声的影响，进而达到抑制模态混叠现象的目的．但是分解结果易受到添加白噪声参数的影响，若选择不当会产生虚假IMF分量并破坏分解的自适应性．MEEMD方法为了弥补上述CEEMD方法的不足，提出了用计算排列熵(permutation entropy，PE)[19]的方法来剔除信号中的虚假分量，筛选出主要IMF分量．排列熵是一种能有效度量信号复杂程度的物理量，信号越复杂，排列熵值越高，反之，则熵值越低[20]．而含有噪声的信号往往具有较高的随机性，信号复杂程度高，排列熵值相比于不含噪声的信号更高．

MEEMD算法具体步骤如下所述．

式中为待分析信号()的采样点个数．

或

通过MEEMD方法，将原始数据序列分解为个IMF分量及余项之和，余项代表数据的平均趋势．

1.2 希尔伯特变换

希尔伯特变换是在MEEMD分解的基础上进行的，利用希尔伯特变换求解每阶IMF的瞬时频率，从而得到信号的振幅-时间-频率表示，即希尔伯特谱．通过计算希尔伯特谱对整个周期的积分得到希尔伯特边际谱．

将式(5)分解得到的各IMF分量进行希尔伯特变换，得到

经过计算获得信号的希尔伯特谱可表示为

希尔伯特谱是瞬时振幅在频率-时间平面上的分布，具有良好的时频聚集性[5]．

式中为周期．边际谱描述了信号在整个时频内，同一频率幅值或能量叠加值在频域的分布情况．

瞬时能量表示每个时刻在整个频域所积累的能量．

2 数值模拟分析与方法有效性验证

2.1 数值模拟水位序列的MEEMD与EMD分解

为了验证HHT方法的有效性，采用数值模拟的方式来进行验证．潮汐可以看作是多个分潮的叠加，调和分析方法把潮位看成是多个分潮余弦振动之和，根据最小二乘或波谱分析原理，由实测的潮位数据计算出各分潮的平均振幅和迟角，其中分潮的平均振幅和迟角为分潮的潮汐调和常数[2]．根据潮汐调和分析理论，不考虑非天文潮位，设潮汐为个分潮叠加，得到的潮高表达式为

准调和分析是通过引入不同分潮之间的关系，将不同分潮合并为一项，获得振幅和角速率随时间缓慢变化的准调和分潮[3]．这样，潮位的准调和分潮表达式可以表示为

式中：0代表平均海面高度加上长周期分潮；和是和天文情况有关的变量，分别叫作准调和分潮的振幅系数和迟角订正；代表准调和分潮．

这里根据资料来源处的验潮站数据，采用固定的振幅和迟角进行潮汐模拟计算，选取M2、S2、K1和Mf 四个分潮，其中M2分潮振幅为10m，其余分潮采用相对振幅．输入参数如表1所示．

由于水位观测序列信息中除了水位信息外还包含了观测噪声等干扰，例如涌浪噪声会使水位序列曲线受到高频振动的影响，在水位观测时刻有强烈的上下振动，所以在数值模拟的水位序列中加入了功率为0.05的高斯白噪声来模拟噪声等因素的干扰．

对上述水位模拟信号分别采用EMD与MEEMD方法进行分解，得到的IMF分量个数分别为8和5，模拟水位序列和分解结果如图1～图3所示．

表1 水位序列数值模拟参数

Tab.1 Numerically simulated parameters of water-level series

从图2中可以看出EMD分解结果受噪声影响很大，出现了明显的模态混叠现象．高频分量IMF1将加入的白噪声作为一个模态与模拟水位序列中的高频成分叠加分解出来，成为一个不具备物理意义的虚假分量；而IMF2和IMF3也出现了明显的模态混叠现象，其分解结果也不具备任何物理意义；IMF4～IMF8没有明显的模态混叠现象，但是也没有周期性规律．因此，从图中观察可知，EMD方法的分解效果易受到噪声等随机因素的干扰，产生模态混叠现象与虚假分量，使得分解结果不再具备物理意义，自适应性较差．对于有噪声的数据序列，在进行EMD计算之前还需先进行降噪等预处理．从图3中可以看出，MEEMD方法分解得到的各分量没有出现模态混叠现象，特别是IMF1和IMF2分量的周期性规律明显，IMF4和IMF5也有周期性特征．从IMF分量个数上来看，MEEMD方法得到了5个IMF分量，相对于EMD方法减少了3个IMF分量，有效减少了虚假分量．其中只有IMF3不对应原始模拟水位序列的任何一个分潮成分，且没有明显的周期特征，是一个虚假分量．通过分析可知，MEEMD方法相对于EMD方法有效抑制了模态混叠现象，减少了虚假分量．除此之外，该方法可以实现在分解过程中的自适应滤波，有效解决了噪声等因素的干扰．原始的水位模拟序列有4个分潮，MEEMD方法和EMD方法得到的IMF分量均多于4个，因此要对分解结果做希尔伯特谱分析．

希尔伯特谱具有很好的时频聚集性，可以在图4中直观地看出IMF分量的时频特性，频率的单位为每小时循环数，表示为c/h．从图4(a)MEEMD得到的Hilbert-Huang谱中可以看到2条清晰的频率线，这说明分解得到的其中2个高频分量频率集中，分解效果较好．从图4(b)的边际谱中可以看到3处频率集中的位置，其中有1处位于低频段，这说明分解有效，获得了低频分量，但所占能量比例较小．图4(c)中EMD得到的Hilbert-Huang谱中频率线模糊，这说明分量的频率分散，从图4(d)的边际谱中观察可知分解结果频率分散，有较多虚假分量存在，分解效果较差．

上述数值模拟的结果初步表明，MEEMD方法能够对含有噪声的水位数据进行自适应滤波并有效抑制模态混叠现象，分解效果较好．但是该方法还具有局限性，不能将频率十分相近的分潮分离出来，而是叠加在了一起，如IMF1是半日分潮M2和S2的叠加，分解结果对于长周期分潮也没有很好的体现．因此，基于MEEMD的方法可以用于提取水位序列中的半日潮族与全日潮族；对于浅海海域，频率较高的浅海分潮也包含在高频IMF1分量中被提取出来，这样得到的IMF1和IMF2之和除了全日分潮和半日分潮成分，还有浅海分潮成分．

2.2 数值模拟水位序列的能量谱

根据式(12)计算希尔伯特能量，可以得到水位序列的能量在各IMF分量的分布情况，如图5所示．从图中可以看出，高频的IMF1和IMF2分量占总能量的绝大部分，经计算可知其能量值占总能量的96.39%，是主要的波动部分．

（d）EMD分解结果的边际谱

图5 IMF分量能量分布

3 实验分析

3.1 资料来源

为验证HHT方法的适用性，本文对实测的水位记录进行了实验与分析．资料来源于美国国家海洋和大气管理局(NOAA)，本研究选取了位于美国南滩编号为9435380验潮站水位记录中，2016—2017年的逐时水位记录作为实测分析数据．NOAA提供的资料显示，该验潮站建于1967年1月28日，位于北纬44°37.5′N，西经124°2.7′W，时间子午线为120°W，起算基准面为平均低低潮面(MLLW)．将资料数据进行MEEMD分解，对分解得到的各IMF分量进行希尔伯特变换后得到希尔伯特谱、边际谱与能量谱，并计算各IMF分量的平均振幅与平均周期．将基于HHT方法分析得到的结果与NOAA提供的该验潮站潮汐调和分析数据以及经过准调和分析获得的结果进行对比，验证了方法的适用性．

3.2 实测水位记录的分析结果

图6是2016—2017年的长期水位序列经MEEMD分解后得到的9个IMF分量与余项．从图中可以看出高频IMF分量的分解效果较好，同一IMF分量中没有出现模态混叠现象．其中IMF1和IMF2两个高频分量有明显的周期性波动．因为潮汐的波动是由多个分潮叠加而成的复杂振动，并且原始数据序列中还带有噪声等因素的干扰，因此分解的结果中IMF分量较多，需要进一步的分析．

为了更加清晰地了解各IMF分量的时频特性，对IMF1～IMF9进行Hilbert谱分析，得到Hilbert-Huang谱以及边际谱，如图7所示．图7(a)是Hilbert-Huang谱，反映了水位序列的时间-频率特性．从图7(a)中可以发现两条清晰的频率线，分别在频率为0.08c/h与0.04c/h附近，这表示其中两个主要高频IMF分量的频率聚集性良好，具有明显的周期性；在低频0～0.02c/h之间也有频率聚集现象，这表明在低频范围内IMF分量的频率也较为集中，但与两处高频聚集区相比并不明显．图7(b)是边际谱，反映了水位序列的幅值-频率特性．与Hilbert-Huang谱相比，在低频0～0.02c/h之间的频率聚集现象更为明显．这部分频率可能有长周期分潮与之对应，但是相对于高频分量所占比例较小．通过实验分析可知，实测数据的分析结果与数值模拟的结果相符合．

除了1年以上的长期观测数据，还需要对短期的水位数据进行分析．图8(a)和图8(b)分别为选取了2017年中某3d和7d的水位数据分解结果．短期观测的水位数据得到较少的IMF分量，3d和7d两组水位序列均分解出3个IMF分量．

图6 2016—2017年原始水位序列与IMF1～IMF9及余项

图7 2016—2017年水位序列Hilbert-Huang谱与边际谱

从图8中可以看出，短期水位序列的分解结果没有出现明显的模态混叠现象，各IMF分量均具有周期波动特性．将选取的3d水位序列进行时频分析，得到图9(a)和图9(b)的Hilbert-Huang谱和边际谱图．从图中可以看出，短期水位序列也具有类似于长期水位序列的时间-频率特性，频率主要在0.08c/h和0.04c/h附近聚集，且振动能量在0.08c/h附近更为集中；在低频和更高频的区域几乎没有能量分布．

图8 短期原始水位序列及分解结果

图9 3 d水位序列Hilbert-Huang谱与边际谱

图10是归一化的各IMF分量的能量以及各IMF分量与原始水位序列相关系数的对比分析．其中相关系数表征IMF分量与原始序列的相似程度，相关系数较大的IMF分量与原始序列相似程度高，带有更多能量．从图中的对比观察可知，各IMF的能量分布与相关系数分布趋势一致，高频IMF分量占据原始水位序列的绝大部分振动能量，经计算能量占有率为94.98%，这与谱分析的结果一致．短期水位序列的分析结果也是如此，高频IMF1和IMF2分量几乎占据了振动的全部能量．通过实验分析可知，不管是长期还是短期实测水位数据，分析结果均与数值模拟的结果相符合．

图10 归一化能量与相关系数对比

3.3 HHT分析方法与潮汐调和分析结果对比

NOAA提供的资料显示，该验潮站处由潮汐调和分析得到共37个分潮，其中主要半日分潮、全日分潮和浅水分潮的调和常数与周期如表2所示，振幅高度以当地长期平均海面(MSL)为零点起算．

表2 验潮站分潮参数

Tab.2 Tidal parameters of tide gauge stations

为了与调和分析的结果进行对比，计算出2016—2017年的长期水位序列各IMF的平均周期和平均振幅．根据式(8)与式(9)计算得到各IMF的瞬时幅值与瞬时频率序列后，再分别求这两个序列的均值，可得平均振幅和平均周期如表3所示．

通过对比表2和表3的分析结果可知，IMF1和IMF2分量的平均周期与平均振幅分别与半日分潮和全日分潮接近．IMF1分量的平均周期与半日分潮周期一致，特别是与M2分潮的周期最为接近，平均振幅略大于M2分潮的振幅，这说明该分量包含的不是单一分潮，而是多个半日分潮的叠加，其中可能还包含频率更高但是比例很小的浅海分潮成分，因为M2分潮占比最大，所以更多体现出M2分潮的性质．IMF2分量的平均周期与全日分潮周期一致，特别是与K1分潮的周期最为接近，但是平均振幅却小于K1分潮的振幅，这说明该分量中部分成分被分解到了其他模态中．因为在分解过程中各IMF分量之间的正交性不能完全保证，MEEMD方法虽然可以有效抑制模态混叠现象却不能完整解决，在分解时会存在能量损失．

表3 各IMF分量的平均振幅与平均周期

Tab.3 Average amplitude and period of IMF components

3.4 HHT分析方法与潮汐准调和分析结果对比

根据潮汐的准调和分析方法，分别选取3组长度为3d的水位记录，进行准调和分析，得到K1、O1、M2、S2、M4、MS4准调和分潮的振幅(单位：m)，如表4所示．

表4 准调和分潮振幅

Tab.4 Quasi-harmonic tidal amplitude m

对3组实验数据进行HHT分析，得到各IMF分量的平均周期和平均振幅如表5所示．

表5 各次实验IMF分量的平均振幅和平均周期

Tab.5 Average amplitude and period of IMF components in each experiment

通过表5中的数据可知，实验1和实验3分别获得了3个IMF分量，而实验2获得了2个IMF分量，但是3次实验获得的IMF1和IMF2分量的平均振幅和平均周期十分相近，平均振幅可分别对应于表4中准调和分潮结果中M2和K1分潮的振幅．而通过表3和表5的对比可知，在平均周期上IMF1和IMF2分量的平均周期分别介于M2、S2和K1、O1之间，所以可以认为这两个分量分别为半日准调和分潮和全日准调和分潮的叠加；因为在振幅上M2和K1分潮占主导地位，且在分解过程中存在能量损失，因此IMF1和IMF2分量分别主要对应于M2和K1准调和分潮．IMF3分量的平均振幅和平均周期与表4中的准调和分析结果没有明显的对应关系，且实验1和实验3的结果差别很大，所以IMF3分量不具备明显的分潮特性，可能为其他长周期分潮的叠加．因为每次选取的实验数据长度只有3d，对应于一个朔望月(29.5306d)的不同时期，所以获得的平均振幅结果会有一定差异．例如当朔或望时为大潮期，获得的分量平均振幅较大；而当上、下弦月时为小潮期，获得的分量平均振幅较小，表3和表4的振幅分析结果与此相一致．3d水位数据不能很好地体现长周期分潮的性质，因此虽然IMF3具有明显的波动规律，但选取不同时间的水位数据得到的IMF3分量的平均周期结果可能不同．准调和分潮获得了浅水分潮成分，在HHT分析结果中并没有体现，可能包含在IMF1分量中或是损失于分解过程中．

4 结 语

希尔伯特-黄变换(HHT)是一种新的处理非平稳、非线性信号或数据的方法，本文采用基于改进的总体平均经验模态分解(MEEMD)的HHT方法对原始水位数据进行分析．通过MEEMD方法，把具有潮汐波动与其他噪声干扰的复杂验潮站水位数据记录，分解为有限数目且具有一定物理意义的本征模态函数(IMF)．通过希尔伯特变换计算各IMF的瞬时频率、幅值等得到数据序列的时频表示与能量分布情况．通过数值模拟与实测数据实验分析，HHT方法可以对原始数据进行自适应滤波分解，得到的高频IMF分量的时频聚集性良好，但是包括长周期分潮在内的低频分量的分解效果并不理想．将分解结果与传统的潮汐调和分析得到的分潮进行对比可知，IMF1和IMF2分量分别与主要半日分潮和全日分潮一致，其和可以认为是主要半日分潮、全日分潮以及高频浅海分潮的叠加．虽然MEEMD方法有效抑制了模态混叠现象，但是对于结构复杂的信号或数据仍有模态混叠现象存在，需要对各分量做进一步细致的分析．对于3～7d短期的实测数据，HHT方法的分解结果没有出现明显的模态混叠现象，高频IMF1和IMF2分量的平均振幅分别与准调和分析获得的M2和K1相一致，且分析结果具有较高精度．虽然本研究没有使用HHT方法对浅水分潮进行进一步的分析，但该方法相比于传统调和分析方法来说，仍然具有一定优势，尤其当收集到的水位数据没有经过预处理(如含有涌浪等高频噪声)或水位数据残缺不全、数据来源信息不明而不足以进行传统的调和或准调和分析时，可以使用HHT方法进行有效的补充分析，以获得主要半日分潮、全日分潮和余水位的幅值信息．该方法目前还不能够用于精确地预报潮位，但是在采用该方法提取有效水位特征信息基础上，可以借助神经网络等方法实现对潮位的预测和预报，这部分内容需要做进一步的研究．

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Study of the Analysis of Tides Based on the HHT Method

Zhang Liang，Zhang Jiali，Zhang Xuefeng，Zhang Anmin

(School of Marine Science and Technology，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

Empirical mode decomposition(EMD)is the core component of the Hilbert-Huang transform(HHT).Based on research and analysis of the traditional HHT method，we developed a method known as modified ensemble empirical mode decomposition(MEEMD)to analyze ocean tides．With respect to the characteristics of a water-level data series，we used MEEMD method to eliminate the false intrinsic mode function(IMF)in the decomposition process by adding paired white noise and calculating the permutation entropy，thus suppressing the occurrence of mode aliasing．A comparison of the numerical simulation results with measured water-level data shows that MEEMD method can effectively suppress modal aliasing and realize adaptive filtering for original water-level sequences with noise．In this study，the high-frequency IMF1and IMF2components decomposed by MEEMD method accounted for more than 90% of the total energy of the original water-level data．The average period and amplitude of the IMF1and IMF2components were basically consistent with the results of the semidiurnal-constituent and diurnal-constituent tidal components obtained by harmonic analysis，respectively．The results show that the sum of IMF1and IMF2is the superposition of the main semidiurnal，diurnal and shallow water tidal components，respectively. Traditional tidal harmonic analysis methods rely on long-term water-level records and require some prior knowledge of the water-level data．The astronomical knowledge and mathematical calculations involved are also more complex．Quasi-harmonic analysis can process short-term water-level data，but still requires astronomical knowledge and complex mathematical calculations，as well as high data integrity．When the collected water-level data are inadequate for traditional harmonic or quasi-harmonic analysis due to noise or lack of information，the HHT method can be used for effective supplementary analysis to obtain the magnitude information of the main semidiurnal constituent，diurnal constituent，and residual water levels．Therefore，MEEMD-HHT method can be used as a good supplementary method for tidal analysis．

modified ensemble empirical mode decomposition(MEEMD)；Hilbert-Huang transform(HHT)；filtering；tidal constituent

P731.23

A

0493-2137(2020)07-0725-11

10.11784/tdxbz201908071

2019-08-30；

2019-10-07.

张 亮（1983—  ），男，博士，讲师，liangzhang@tju.edu.cn．

张学峰，xfz_nmdis@126.com.

国家自然科学基金资助项目(41876014，11801402).

Supported by the National Natural Science Foundation of China(No. 41876014，No. 11801402).

(责任编辑：金顺爱)