基于高等数学核心素养的教学设计——以导数概念为例

曲元海，于梅菊，许 晶，索春凤，陶玉杰，徐 姜

2016 年9 月13 日，中国学生发展核心素养研究成果发布会在北京师范大学举行.会议介绍了历时三年对学生发展核心素养的研究成果，对学生发展核心素养的内涵、表现、实现途径进行了说明.所谓核心素养，主要指学生应具备的、能够适应终身发展和社会发展需要的必备品格和关键能力.中国学生发展核心素养，以科学性、时代性和民族性为基本原则，以培养“全面发展的人”为核心，分为文化基础、自主发展、社会参与三个方面.具体表现为人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新六大素养，每个素养内涵又细化为3个要点，共计18个观察点.其后人们又提出正确价值观、必备品格和关键能力，各个学科纷纷研究本学科在学生核心素养培育过程中所承担的职能即学科核心素养.2017年高中数学课程标准修订过程中，提出6个数学核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析.这六个内容更像是从数学学科的关键能力这个角度来提出的.高等数学教育在核心素养方面也进行了理论上的一些探索，但在实践方面还没有具体实施.通过项目对高等数学核心素养进行深入的研究，将其概括为：以极限、微元法为核心思想，以微积分、极限运算为核心能力的素养，叫做高等数学核心素养［1］.如何在高等数学教学实践中，围绕数学核心素养进行设计实施，既要凸显高等数学学科的素养又要渗透必备品格和正确价值观，用课程思政这根主线把三者很好地结合.本文以高等数学导数概念一节为例来进行设计和分析，以期能给广大同仁以启示.

1 文化社会背景

数学教育家严士健说，应该从广泛得多的角度向学生介绍数学思想、发生规律、背景.简单说，就是要讲来龙去脉［2］.为了达到这一点，就应该讲清数学知识的背景.导数知识的历史背景可以从文艺复兴谈起，文艺复兴最先在意大利各城市兴起，之后扩展到西欧各国，于16世纪达到顶峰，带来一段科学与艺术革命，同时也带来了经济的复苏与发展.人们也遇到了难以逾越的问题亟需解决.具体概括为：由距离和时间的函数关系，求物体在任意时刻的速度和加速度，及其反问题；曲线的切线问题；函数的最大值和最小值问题；曲线的长度、曲线围成的面积、曲面围成的体积等问题［3］.正是这些问题推动了新的思想方法的诞生——微积分.因此恩格斯说：“社会一旦有技术上的需要，则这种需要会比十所大学更能把科学推向前进.”简单的几句话，就把微积分的背景及数学来源于现实并服务于现实的观点有理有据地表述清晰，数学思想方法的产生是有其特定的环境的，而本文要研究的导数恰恰可以用上面谈到的问题来创设问题情境.

2 以极限思想助力导数概念的形成

2.1 创设问题情境

实例1 变速直线运动的瞬时速度.设质点沿直线运动，其位移s是时间t的函数s=s(t).求质点在运动过程中某一时刻t0的瞬时速度.

这是一个非常接地气的问题，而且学生比较熟悉，但又似乎超出学生的知识范围，能激起学生的思维火花.

实例2 曲线的切线问题.一条曲线，求其上一点的切线.

学生对切线的认识是中学接触到的圆的切线，定义为与圆只有一个交点的直线叫圆的切线.这一定义仅仅对圆是适用的，对一般的曲线的切线，这样定义就不科学了.如何定义曲线的切线，引起了学生认知的冲突.

2.2 抽象概括为共性的方法

在分析这两个问题的处理方法时，瞬时速度是通过平均速度的极限；求切线的重点是求切线的斜率，然后通过点斜式即可求出切线的方程.在处理斜率所采取的方法是通过割线斜率的极限来获得的.不同问题，但采取的方法是相同的，即都是通过一个极限完成的.通过物理和数学上两个例子的分析，进而抽象出问题的本质是计算函数的增量与自变量的增量的比值，当自变量的增量趋于零时，比值的极限问题.再进行进一步概括就是函数在某一点的导数的概念.

在分析上述两个例子的过程中，隐含着重要的哲学思想，从平均速度到瞬时速度，从割线斜率到切线斜率，包含着量变到质变的哲学观点，也体现着概念之间的联系的观点［4］.教学时要让学生感悟和体会，对学生形成正确的世界观很有意义.

之所以通过不同学科的例子来抽象概括出导数的定义，是为了让学生经历比较分析抽象概括等思维过程，感受数学来源于现实，服务于现实，同时学生能从情境中体会数学概念的形成过程，并能更深刻地理解概念，能更好地应用概念.这样做也符合学生的认知规律，也能更好地让学生知道知识的来龙去脉，掌握学习概念的基本过程，学会学习.

2.3 运用极限思想定义导数

抽象概括导数定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0取得增量Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）时，相应地，因变量取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)；若存在，那么称函数y=f(x)在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导数［5］，记为f′(x0)，即

2.4 剖析导数概念内涵

给出定义后，接着对该定义进行几点说明：

（1）函数在某邻域有定义，同时保证当自变量x在x0取得增Δx（点x0+Δx仍在该邻域内）.

（2）计算函数增量与自变量增量比值的极限.

（3）极限必须存在（当然在某点的导数是个具体的数值）.

关于导数的数学符号表示，牛顿的老师巴罗就曾在他的著作《微分三角形》中引用了a:e来表示，后来牛顿用x˙，y˙来表示，人们称之为点主义［6］.后来莱布尼兹用不久又表示为而y′这种表示方法是由法国大数学家拉格朗日在1797 年第一个给出的，沿用至今.通过简要的语言介绍导数的符号表示，可以让学生感受数学符号发展的历史，将数学文化的元素润物无声地浸透到数学课堂，使学生受到数学文化的熏陶，丰满了数学教学的内涵.

2.5 拓展导数的思想文化

在讲述导数概念的过程中，可以穿插关于微积分发明权之争的历史事实.牛顿从运动学的角度给出导数的定义，莱布尼兹从几何学的角度给出导数的概念.历史上关于谁先发明了微积分引起了一场旷日持久的论战.牛顿、莱布尼兹以及他们的追随者相互之间进行口诛笔伐，这一无为的论战持续了二十多年.现在可以说，牛顿和莱布尼兹各自独立地发明了微积分，这也印证了这句话，紫罗兰在世界各地都能开放.牛顿更多地关心建立微积分的体系和基本方法，而莱布尼兹则致力于建立运算公式和创立微积分的符号.可惜，当时迷信牛顿的崇拜者，夹杂着狭隘的民族偏见，迟迟不接受莱布尼兹创造的符号及其方法，固步自封，不对外交流，阻碍了英国分析数学的发展，结果使得其本已领先的数学水平很快就落后于欧洲大陆.文明因交流而多彩，文明因互鉴而丰富，历史证明盲目排外的做法是错误的.通过这个所谓维权之争，让学生明白道理，一个国家或个人离不开对一切先进科学技术、文化的学习和交流，培养学生的国际认同感，要有国际视野，本土情怀，这也是学生素养的一个重要组成部分.你吃的是猪，长出来的是你的肉，而不可能是猪肉；你喝的是牛奶，长出来的还是你的肉而不是牛肉.其中的道理值得人们思考.

3 通过极限运算强化导数概念的应用

学习概念的最终目的还是为了应用，在设计导数概念应用过程中，在注重计算之外（函数的增量与自变量的增量之比的极限），要重点围绕导数概念的本质，在实际问题中，凡是需要讨论各种具有不同意义的变量的变化“快慢”问题，即所谓函数的变化率问题，就是导数的用武之地.不管问题是物理上的或是数学上的以及其他方面的，这样学生能清楚感受到导数概念应用的一般性，同时能更准确更深刻地理解导数概念的内涵.

首先，按照导数的定义计算常数函数、幂函数、三角函数、指数函数、对数函数的导数，巩固训练学生对定义应用及其计算能力，这也是数学核心素养的一个方面.选取这些函数也是为后面的导数法则学习奠定基础.

其次，对导数的几何意义也要重点探究.因为它是导数概念在数学上的一个重要应用，也体现着数学上的数形结合思想，因此值得关注.

最后，应该设计一些实际问题，让学生体会导数概念应用的具体情境.如，物体绕定轴旋转，如果旋转是非匀速的，如何求物体在某时刻的角速度问题；物体的温度高于周围介质的温度时，物体就不断冷却.物体的温度与时间具有一种函数关系，如何求物体在某时刻的冷却速度问题；工厂生产产品的成本函数已知，如何求边际成本问题等.

4 以极限思想为核心建立概念间联系

对数学概念的认知应该把它放到一个知识系统中去贮存，建立概念之间的联系，这样才能更好地认识概念、贮存概念、提取概念.

对导数概念的学习也要建立它与其他相关概念之间的联系.如，连续这个概念是通过极限来定义的，是通过函数的增量在自变量增量趋于零时的极限为零来定义的；导数的定义也是通过一个极限来定义的.它们之间是什么关系呢？经过讨论可以得出：对一元函数来说，可导必连续，但连续不一定可导.以及与后面要学习的可微的关系.这样就建立起如下概念之间的联系：极限、连续、可导、可微.

一元函数可微⇔可导⇒连续⇒极限存在；反过来不一定成立，这样就形成了一个相关概念的体系.

综上所述，在进行导数概念教学时，既要注重传统意义上的概念的引入、概念的形成、概念的应用，也要注重在教学过程中植入数学文化的元素；既要围绕数学学科的核心素养进行设计，也要隐含正确的价值观和必备品格的要素.把课程思政的内涵自然巧妙的融入进课程内容，达到教书育人，让学生全面和谐地发展.